机械振动-西安交大版

第二篇

机械振动与机械波机械振动基础第六章广义振动：任一物理量(如电路中的电流、电压的变化、电磁波中场强的变化、一年四季气温的变化等)在某一数值附近反复变化。机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。(如树叶的摆动、鼓膜的振动、心脏的跳动、晶体中原子的振动等。）机械振动是最直观、最基本的振动形式6-1

简谐振动的动力学特征简谐振动——最简单最基本的线性振动。

简谐振动：一个作往复运动的物体，其偏离平衡位置的位移x（或角位移）随时间t按余弦（或正弦）规律变化的振动。6.1.1

简谐振动一、弹簧振子模型弹簧振子：弹簧—物体系统平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置轻弹簧—质量忽略不计，形变满足胡克定律物体—可看作质点简谐振动微分方程令:其通解为：简谐振动的振动方程简谐振动的特征：力学方程1.动力学方程2.运动学方程3.判断系统作简谐振动的依据结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。二、微振动的简谐近似_单摆摆球对C点的力矩简谐振动微分方程简谐振动的振动方程令:l单摆作小角度摆动时：复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。当时令:其通解为：一、简谐振动的运动学方程6.1.2

简谐振动的运动学简谐振动的微分方程简谐振动的运动学方程根据运动方程可得任意时刻的速度和加速度：速度：加速度：二、描述简谐振动的特征量1、振幅A简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。初始条件频率：单位时间内振动的次数。2、周期、频率、圆频率角频率:周期T：物体完成一次全振动所需时间。物体在2π秒时间内所作的完全振动的次数，用ω表示，单位为弧度/秒(rad.s-1)。对弹簧振子固有角频率固有周期固有频率单摆复摆0

是t=0时刻的位相—初位相3、位相和初位相—位相，决定谐振动物体的运动状态或:位相差两振动位相之差。当=2k

,k=0,±1,±2…,两振动步调相同,称同相当=(2k+1)

,k=0,±1,±2...两振动步调相反,称反相2

超前于1

或1滞后于

2

位相差反映了两个振动不同程度的参差错落设有:toTxx1x2例1、一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为m的物体。今将物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐振动。因此,此振动为简谐振动。以平衡位置O为原点弹簧原长挂m后伸长某时刻m位置伸长受弹力平衡位置解：求平衡位置例:如图m=2×10-2kg,

弹簧的静止形变为L=9.8cmx0=-9.8cm,v0=0⑴取开始振动时为计时零点，写出振动方程；

(2)若取x0=0，v0>0为计时零点，写出振动方程,并计算振动频率。XOmx解：⑴设振动方程为由初条件得由x0=Acos0=-0.098<0cos0<0,取0=振动方程为：x=9.810-2cos(10t+)m(2)按题意t=0

时x0=0，v0>0x0=Acos0=0,cos0=00=/2,3/2

v0=-Asin>0,sin0

<0,取0=3/2x=9.810-2cos(10t+3/2)m对同一谐振动取不同的计时起点不同，但、A不变固有频率XOmx以弹簧振子为例谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为v，位移为x谐振动的动能和势能是时间的周期性函数6.1.4

简谐振动的能量机械能简谐振动系统机械能守恒动能势能情况同动能。机械能简谐振动系统机械能守恒对弹簧振子结论：弹簧串联对弹簧振子结论：弹簧并联课堂练习：复摆机械能动能6.1.5简谐振动的旋转矢量表示法0t=0t+0t=txoX用旋转矢量表示相位关系同相反相4-5一个沿X轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．如果t=0时质点的状态分别是：

(1)；

(2)过平衡位置向正向运动；

(3)过x=A/2处向负向运动；

(4)过处向正向运动．

试求出相应的初位相，并写出振动方程．

解：设振动方程为：(1)(2)(4)(3)4-8图为两个谐振动的x-t曲线，试分别写出其谐振动方程．

解：(1)(2)例题：一个质点沿x轴作简谐运动，振幅A=0.06m，周期T=2s，初始时刻质点位于x0=0.03m处且向x轴正方向运动。求：（1）初相位；（2）在x=-0.03m处且向x轴负方向运动时物体回到平衡位置所需要的最短时间。解：（1）用旋转矢量法，则初相位在第四象限（2）从x=-0.03m处且向x轴负方向运动到平衡位置，意味着旋转矢量从M1点转到M2点，因而所需要的最短时间满足依题意园频率:课堂练习一、同方向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动,其频率仍为质点同时参与两个同方向同频率的谐振动:合振动:6.2

简谐振动的合成如A1=A2,则A=0两分振动相互加强两分振动相互减弱分析若两分振动同相：若两分振动反相:初相与振幅大振动相同.振动合成的三角形法则N个同方向、同频率振动的合成：合振动不是简谐振动式中随t缓变随t快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动二.同方向不同频率简谐振动的合成分振动合振动当21时,拍

合振动忽强忽弱的现象拍频:单位时间内强弱变化的次数

=|2-1|

xtx2tx1t*四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成合振动分振动合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线质点离开平衡位置的位移讨论利用旋转矢量合成合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线质点离开平衡位置的位移合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。=5/4=3/2=7/4=0==/2=3/4Q=/4P

·.时，逆时针方向转动。时，顺时针方向转动。*五、垂直方向不同频率可看作两频率相等而2-1随t缓慢变化合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。轨迹称为李萨如图形yxA1A2o-A2-A1简谐振动的合成两分振动频率相差很小两振动的频率成整数比李萨如图形一、阻尼振动阻尼振动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。辐射阻尼：振动以波的形式向外传波，使振动能量向周围辐射出去。4-5

阻尼振动受迫振动共振阻尼振动的振动方程（系统受到弱介质阻力而衰减）振子动力学方程振子受阻力系统固有角频率阻尼系数弱介质阻力是指振子运动速度较低时，介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比—阻力系数弱阻尼弱阻尼每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，周期越接近于谐振动。阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的准周期临界阻尼临界阻尼系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来过阻尼过阻尼系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置二、受迫振动受迫振动振动系统在周期性外力作用下的振动。弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程令周期性外力——策动力稳定解(1)频