川大自动控制原理第九章

第九章线性离散控制系统自动控制原理1本章主要内容离散控制系统的基本概念信号的采样与保持

采样过程与采样定理，零阶保持器离散系统的数学描述

z变换，差分方程，脉冲传递函数（开环、闭环）离散系统的z域分析法

稳定性，极点分布与暂态性能，稳态误差，

根轨迹法（自学）离散系统的频域分析法（自学）离散系统的状态空间分析法（自学）离散系统的综合（自学）2典型的离散控制系统如图：脉冲控制器保持器Äy-reT受控对象u9.1离散控制系统的基本概念

是连续的误差信号，经采样开关后，变成一组脉冲序列，脉冲控制器对进行某种运算，产生控制信号脉冲序列，保持器将采样信号变成连续信号

，作用于受控对象ue3最常见的离散控制系统：计算机控制系统A/D：模拟信号→数字信号，图中还包括连续信号→离散信号的采样过程D/A：数字信号→模拟信号，图中还包括离散信号→连续信号的保持过程A/DD/A数字控制器受控

对象测量计算机reu(t)

y(t)计算机控制系统原理图执行

机构4计算机控制系统的主要特点修改控制器结构及参数很方便（改变控制程序）；便于实现各种先进控制，能完成复杂的控制任务；控制精度高，抗干扰能力强，能有效抑制噪声；有显示、报警等多种功能。有利于实现“智能化”、“网络化”、“管控一体化”、多级分布式控制等；分析离散系统的常用方法：Z域法，状态空间法。5连续信号0tτT离散化信号（采样）0t复现信号（保持）t9.2信号的采样与保持T：采样周期，一般是等周期采样，也可变周期或随机采样。（τ<<T，近似认为τ→0）信号恢复一般采用零阶保持，也可采用一阶或其他保持方式。6采样信号可看作是经脉冲序列

调制后的结果：一、采样过程t0f(t)t0t0f*(t)1T2T2TT采样器是否产生误差？7t0T2Tt01T2T单位幅值脉冲与理想脉冲的区别8采样信号的拉氏变换理想单位脉冲序列采样信号为二、采样信号的数学表达式Z变换是离散信号拉氏变换的有理式表达形式9仿真实验：采样周期与采样效果零阶保持器取采样周期为T=0.1，0.4，0.810仿真结果连续信号T=0.1T=0.4T=0.811采样周期的选取：信号变化越快，采样周期应越小，

反之则可以适当大一些。选取采样周期的理论依据是采样定理。三、香农（Shannon）采样定理（基于频谱分析）则经采样得到的离散信号可以无失真地恢复为原连续信号的条件是012采样定理的依据：信号的频谱分析000130说明：采样定理只提供了选择采样周期的理论依据，对于实际的反馈控制系统，连续反馈信号的上限频率（带宽）通常难以准确地确定，因此选择采样周期一般依靠估计。14零阶保持器是一种按恒值规律外推的保持器，它将当前采样时刻的值，保持到下一个采样时刻，即零阶

保持器t0T2T3T4Tt0T2T3T4T四、零阶保持器15零阶保持器的单位脉冲响应可表示为二个单位阶跃信号的叠加。单位脉冲响应的拉氏变换就是零阶保持器的传递函数。01T01-101零阶保持器的传递函数：注意：这里的输入为1×δ(t)，是单位幅值脉冲经理想脉冲调制后的信号，即单位理想脉冲，其拉氏变换为1。零阶

保持器16零阶保持器实际的传递函数为说明：零阶保持器实际的传递函数01T01-101式中的τ与U*(s)的τ抵消后等价于理想脉冲通过没有τ的零阶保持器，所以在分析中可以不考虑τ。零阶

保持器179.3离散系统的数学描述一、Z变换与Z反变换18关于Z变换的几点说明：Z变换只表达了连续函数在采样时刻的特性，不包含采样时刻之间的信息。对f(t)采样后的f

(t)是唯一的，但f(t)

所对应的f(t)不唯一；f

(t)与

F(z)之间的变换是唯一的。

Z变换的无穷级数表达式与信号在采样时刻的取值一一对应。19S平面与Z平面的对应关系：根据Z变换定义，有

Z平面ImRe01-1

S平面0因此，根据F(z)极点的分布，可以判断其对应的时间函数f

(t)

收敛与否、收敛的快速性与平稳性等。20例1：求f(t)=1(t)的Z变换１.级数求和法Z变换的求法例2：求f(t)=e-αt

，t≥0的Z变换极点幅值=1信号不发散也不收敛α>0时,极点幅值<1信号收敛α<0时,极点幅值>1信号发散|a|>1时,信号发散；|a|<1时,信号收敛；|a|=1时,信号恒值或等幅振荡（不发散也不收敛）21例3：求f(t)=sin(ωt)的Z变换相异极点的幅值=1信号不发散也不收敛0j极点在Z平面的位置122例4：求f(t)=e-αt

sin(ωt)的Z变换α>0时,极点幅值<1信号收敛α<0时,极点幅值>1信号发散α=0时,相异极点的幅值=1等幅振荡0j极点在Z平面的位置10j极点在Z平面的位置123a<1时,极点幅值<1信号收敛a>1时,极点幅值>1信号发散a=1时,互异极点幅值=1等幅振荡0j极点在Z平面的位置1××242.部分分式法例5：已知连续函数的拉氏变换为解：求Z变换注意极点的对应关系25解：26Ｚ变换的基本性质１.线性定理2.延迟定理式中k、T均为常量.证：27注：连续系统的迟后环节e-kTs

在离散系统中只是z-k，属于有理式，便于分析。因此，对于有迟后环节的系统，按离散时间系统进行分析和设计通常较连续时间系统更方便。tkT0f(t)f(t-kT)延迟定理的直观表示283.超前定理如果，则有第一个表达式对应蓝色实线的Z变换；zkF(z)对应全部蓝色线的Z变换，所以只有当虚线部分=0时才有第二个表达式tkT0f(t)f(t+kT)超前定理的直观解释-kT294.终值定理设f(t)的Z变换为F(z)，且F(z)

在z平面不含有单位圆上及圆外的的极点（除z＝１外），则f(t)的终值为0jZ平面1F(z)允许的极点分布区域注：终值定理主要用于F(z)有极点1这种情况，其他情况直接就可判断。30极点在Z平面单位圆上0j1不求也可判断!314.初值定理设f(t)的Z变换为F(z)，则f(t)的初值为32５.位移定理例：用位移定理求f(t)=e-at

sin(ωt)的Z变换设f(t)的Z变换为F(z)，则有336.Z域微分定理设f(t)的Z变换为F(z)，则有证：34例：用微分定理求f(t)=t，t≥0的Z变换例：用微分定理求f(t)=t2，t≥0的Z变换单位幅值的重极点发散35极点位置与收敛性的关系：a>0时,极点幅值<1信号收敛a<0时,极点幅值>1信号发散（即重极点与前面单极点的结论相同）例：用微分定理求f(t)=te-at，t≥0的Z变换36Z反变换1.长除法例1：求的反变换长除法主要用于求出信号的前面有限个采样时刻值，一般难以找到f(nT)的一般规律，即闭式表达形式。37例1的长除法过程：（z的多项式除法）38例1的长除法过程：（z-1的多项式除法）392.部分分式法步骤:把F(z)/z

展开为部分分式求各个部分分式项的Z反变换之和例：已知，求解：使分解后的分子都含有z40练习Ⅰ

B9.1,(6),(7);

B9.4,(2),(3);

B9.5,(1),(3);41三、脉冲传递函数1、

基本概念定义：对于线性离散定常系统，在零初始条件下，系统输出采样信号的Z变换与输入采样信号Z变换之比，称为系统的脉冲传递函数。u(t)TG

(s)u*(t)Ty*(t)y(t)U(z)G

(z)Y(z)42单位脉冲响应的输入信号可看作单位幅值脉冲经理想脉冲调制而产生的，对于有保持器的离散时间系统，单位脉冲响应的实际输入是单位幅值脉冲，即脉冲传递函数的物理意义脉冲传递函数是单位脉冲响应g(t)经采样后的离散信号g*(t)的Z变换。gkg2g1……t/T系统的单位脉冲响应序列g*(t)g3012g03k43gkg2g1……t/T系统的单位脉冲响应序列g*(t)g3012g03k任意输入时的响应y(k)与单位脉冲响应序列的关系：uku2u1……t/T系统的的输入脉冲序列u*(t)u3012u03k44与前面的结果完全一致！根据脉冲传递函数的定义求输出y(k)：该结论实际上就是离散系统的“卷积定理”U(z)G

(z)Y(z)452、采样系统的开环脉冲传递函数（1）两个串联环节之间有采样开关隔开该结论可推广到n个环节串联，各相邻环节之间都有采样开关隔开的情况。u(t)TG1(s)u*(t)Tv*(t)G2(s)Ty*(t)46u(t)TG1(s)u*(t)Tv*(t)G2(s)Ty*(t)47（2）两个串联环节之间无采样开关隔开该结论可推广到n个环节直接串联的情况。u(t)TG1(s)u*(t)G2(s)Ty*(t)48u(t)TG1(s)u*(t)G2(s)Ty*(t)49有零阶保持器的开环脉冲传递函数u(t)TGh(s)u*(t)G0(s)Ty*(t)零阶保持器很有用！50u(t)TGh(s)u*(t)G0(s)Ty*(t)零阶保持器51有无保持器的区别（1）没有保持器的情况u(t)Tu*(t)G(s)Ty*(t)y(t)10t52（2）有零阶保持器的情况u(t)TGh(s)u*(t)G0(s)Ty*(t)uh(t)y(t)由于零阶保持器实际的传递函数为其分母中含有的τ与U*(s)的τ抵消后等价于理想脉冲通过没有τ的零阶保持器，所以符合实际情况，在分析中不必再考虑τ的影响。01T01该结论可以推广到采用其他保持器、以及有保持器的反馈控制系统5301T等价于G0的输入如右图u(t)TGh(s)u*(t)G0(s)Ty*(t)uh(t)y(t)54与前面实际情况的结果一致！u(t)TGh(s)u*(t)G0(s)Ty*(t)uh(t)y(t)55u(t)TGh(s)u*(t)G0(s)Ty*(t)零阶保持器脉冲传递函数与差分方程U(z)G

(z)Y(z)56差分方程的计算：①迭代法计算机作为控制器，执行时也按差分方程进行迭代计算。57②Z变换法Z变换法只能用于U(z)确定时，迭代法则适用于任意的u(k)58零初始值的含义及差分方程的Z变换：对上述两个差分方程进行Z变换的效果是一样的（Z变换利用延迟定理）（Z变换利用超前定理）59U(z)G

(z)Y(z)u(k)系统y(k)（利用延迟定理）（利用超前定理）60零初始值的含义及差分方程的Z变换（续）：（Z变换利用延迟定理）（Z变换利用超前定理）61由输入输出差分方程求状态空间表达式：有高阶差分

项时如何求？不唯一u(k)系统y(k)62由脉冲传递函数求状态空间表达式：引入中间变量h(k)初值为零不唯一63可控规范形，可直接由传递函数或差分方程写出所以状态空间模型为64线性离散系统状态空间表达式的一般形式u(k)系统y(k)65由状态空间表达式求脉冲传递函数：唯一u(k)系统y(k)66（1）有一个采样开关的闭环系统TG(s)H(s)－3、闭环脉冲传递函数67附：闭环脉冲传递函数的推导TG(s)H(s)－68TG(s)H(s)－69（2）有数字控制装置的采样系统D*(s)TG(s)TH(s)－思考：计算过程有何规律？70附：闭环脉冲传递函数的推导D*(s)TG(s)TH(s)－71（3）有扰动作用的采样控制系统D*(s)TG1(s)TH(s)－G2(s)72附：扰动作用部分E1(z)和Y1(z)的推导D*(s)TG1(s)TH(s)－G2(s)73常见情况：反馈环节为比例环节D*(s)TG1(s)TH(s)－G2(s)74D*(s)TGh(s)TH(s)－G2(s)75解：D*(s)TGh(s)TH(s)－G2(s)76y(k)收敛于0.5极点在单位圆内77y(k)收敛于0.2578y(k)发散与T无关79K在什么范围内取值时y(k)收敛？y(k)振荡80练习Ⅱ

B9.6,(1),(4);

B9.7,(a),(b);

B9.9;819.4离散系统的z域分析法一、离散系统的稳定性1、S域到Z域的映射根据Z变换定义，有

Z平面ImRe01-1

S平面082线性离散系统稳定的充要条件是：系统的全部极点均位于Z平面的单位圆内。（1）稳定条件（开、闭环）2、离散系统的稳定性R(z)Y(z)83（2）闭环系统的稳定条件TG(s)H(s)－稳定的充要条件是：特征方程的根（闭环系统的极点）全部位于Z平面的单位圆内。84稳定的充要条件是：特征方程的根（闭环系统的极点）全部位于Z平面的单位圆内。D*(s)TG(s)TH(s)－85（3）低阶系统的稳定性判别（一、二阶）KTGh(s)T－G0(s)T↑K的稳定域↓；T→0K的稳定域→连续系统的情况（连续系统的特征式为s+1+K）86（4）高阶系统的稳定性判别可以使Z平面映射为类S平面:Z平面的单位圆W平面的虚轴；单位圆内W平面的左半复平面；单位圆外W平面的右半复平面。采用双线性变换为何不直接映射为S平面？能否利用劳斯判据87

W平面0Z平面的单位圆映射为W平面的虚轴；Z平面的单位圆内映射为W平面的左半复平面；Z平面的单位圆外映射为W平面的右半复平面；在W平面应用劳斯判据与在S平面完全相同。

Z平面x01-1jyZ平面与W平面的映射关系88G(s)－T=0.25s89为使采样系统稳定，应使所有系数>0,所以有0<K<17.3比较：对于没有采样开关的二阶连续系统，K的稳定域是K>0。（特征式为s2+4s+K）加入采样开关通常对系统的稳定性不利，而提高采样频率，稳定性将得到改善，但最多与连续系统一样。改变T会有什么结果？90用根轨迹法可以得出同样的结论

Z平面x01-1jy××0.368绘制根轨迹图无须变换，直接针对G(z)即可；分析稳定性是看根轨迹法的哪些部分位于Z平面的单位圆内。利用MATLAB绘图：a=zpk([0],[1,0.368],0.158,'Variable','z')

rlocus(a)极点零点增益91根轨迹图92G(s)－T=0.2s93要求第一列>0，所以有K的稳定域为0<K<0.4001

（由一、三行条件得）比较：对于无采样开关时的连续系统，K的稳定域为0<K<294根轨迹图95二、离散系统极点分布与暂态性能系统响应由暂态和稳态分量组成，稳态分量主要取决于输入，而暂态分量则主要取决于系统传函；R(z)Y(z)r(k)系统y(k)系统传函的极点决定了暂态分量的基本形态，也就是决定了响应的发散或收敛、以及收敛情况下的快速性和平稳性；与连续系统类似，系统传函可按极点进行部分分式分解，总的响应是各部分响应的叠加。96S平面与Z平面的对应关系：根据Z变换定义，有

Z平面ImRe01-1

S平面0S平面极点的实部决定Z平面极点的幅值，S平面极点的虚部决定Z平面极点的相位。因此，根据系统极点的分布，可以判断其对应的时间响应收敛与否、收敛的快速性与平稳性等。97实数极点的情况0j极点a在Z平面可能的位置1×××××××-198系统实数极点分布与相应的暂态分量响应形态Z平面ImRe0199复数极点的情况0jZ平面的复数极点1××0j期望的极点分布区域1期望区域100ImRe1–1闭环复数极点分布与相应的暂态分量响应形态Z平面101Simulink仿真例改变K如何影响系统的闭环极点和阶跃响应？采样周期T=0.25s程序：ac9no2积分作用102分析利用MATLAB绘制根轨迹图，分析K与闭环极点的关系D(z)G(z)Y(z)R(z)-E(z)K的稳定域为0<K<17.3

同前面例103根轨迹图104仿真结果1极点距单位圆越近，响应越慢K增大使振荡性加剧极点距单位圆距离相同时，调节时间基本相同K=0.523K=0.979K=3.59K=8.63105仿真结果2K=13.9K=16.3K增大使振荡性加剧但调节时间基本相同106仿真结果3K=16.9振荡性加剧调节时间变长107说明：对暂态性能的进一步分析对离散系统同样可以应用根轨迹法，根轨迹图的绘制与连续系统完全相同，但分析基于Z平面；离散系统的频率分析法有两种。一种是直接在z域进行分析（令z=ejTω），频率特性为周期性函数，只须分析一个周期；另一种是先进行双线性变换，然后再运用频率法（方法同连续系统）108三、离散系统的稳态误差D(z)G(z)-1091.内模原理跟踪稳态误差为零的条件为闭环系统稳定（Δ=a+b

的根在单位圆内）开环传函Gk(z)包含与参考输入R(z)相同的不稳定极点第二个条件称为内模原理（InternalModelPrinciple）D(z)G(z)Y(z)R(z)-E(z)110说明满足内模原理通常要依靠控制器，而不是受控对象；只要系统满足内模原理和闭环稳定的条件，即使系统存在模型误差，只要没有破坏系统的稳定性，就能保证稳态误差为零。D(z)G(z)Y(z)R(z)-E(z)与连续时间系统的结论类似1112.内模原理的特例：R(z)为典型输入信号U(z)Y(z)基本概念：离散积分环节（离散积分作用）112若Gk(z)包含n个离散积分环节，则称闭环系统为n型系统Gk(z)-R(z)为典型输入信号时跟踪稳态误差为零的条件：113不满足内模原理时如何求稳态误差？①根据终值定理②对误差函数进行分式分解1143.根据终值定理求稳态误差前提：E(z)

没有单位圆上及圆外的的极点（除z＝１外）Gk(z)-终值定理主要用于不满足内模原理、且R为