直线、平面垂直的判定与性质

直线、平面垂直的判定与性质一、基础知识1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：文字语言 图形语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都判定定理垂直?，则该直线与此垂直于同一个平面的性质定理两条直线平行如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直.2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言一个平面过另一个平判定定理面的垂线?，则这两个平面垂直两个平面垂直，则一性质定理个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

符号语言a，b?αa∩b＝O?l⊥αl⊥al⊥ba⊥α?a∥bb⊥α符号语言l?β?α⊥βl⊥αα⊥βl?β?l⊥αα∩β＝al⊥a[?要求一平面只需过另一平面的垂线． ]二、常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．考点一 直线与平面垂直的判定与性质[典例] 如图，在四棱锥 P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明] (1)在四棱锥 P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，CD⊥平面PAC.∵AE?平面PAC，CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.PD?平面PCD，∴AE⊥PD.PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，AB⊥平面PAD，∵PD?平面PAD，AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.[解题技法] 证明线面垂直的 4种方法(1)线面垂直的判定定理：

l⊥a，l⊥b，a?

α，b?

α，a∩b＝P?l⊥α.(2)面面垂直的性质定理：

α⊥β，α∩β＝l，a?

α，a⊥l?a⊥β.(3)性质：①a∥b，b⊥α?a⊥α，②α∥β，a⊥β?a⊥α.(4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l?l⊥γ.(客观题可用)[口诀归纳]线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清 .平面之内两直线，两线相交于一点，面外还有一直线，垂直两线是条件 .[题组训练]1．(2019·徽知名示范高中联考安)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B＝E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD.(1)求证：BD⊥平面A1ACC1；(2)若AB＝1，且AC·AD＝1，求三棱锥 A-BCB1的体积．解： (1)证明：如图，连接 ED，∵平面AB1C∩平面A1BD＝ED，B1C∥平面A1BD，B1C∥ED，E为AB1的中点，∴D为AC的中点，AB＝BC，∴BD⊥AC.A1A⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴A1A⊥BD.又∵A1A，AC是平面A1ACC1内的两条相交直线，∴BD⊥平面A1ACC1.(2)由AB＝1，得BC＝BB1＝1，12由(1)知AD＝2AC，又AC·AD＝1，∴AC＝2，AC2＝2＝AB2＋BC2，∴AB⊥BC，11△ABC＝AB·BC＝，22∴V＝VB1-ABC＝1△＝1×1×1＝1A-BCB13SABC·BB1326.2.如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图所示，取 AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD?平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB＝BC，∴BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD?平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.考点二 面面垂直的判定与性质[典例](2018江·苏高考)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.[证明] (1)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB?平面A1B1C，A1B1?平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形 ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.因为A1B∩BC＝B，A1B?平面A1BC，BC?平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1?平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.[解题技法]证明面面垂直的2种方法利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证定义法明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题定理法利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决[题组训练]1．(2019·汉调研武)如图，三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥PC，PB＝2.求证：平面 PAC⊥平面ABC.证明：取AC的中点O，连接BO，PO.因为△ABC是边长为 2的正三角形，所以BO⊥AC，BO＝ 3.1因为PA⊥PC，所以PO＝2AC＝1.2 2 2因为PB＝2，所以OP＋OB＝PB，所以PO⊥OB.所以BO⊥平面PAC.又OB?平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC.2.(2018安·徽淮北一中模拟)如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA＝AD.求证：(1)AF∥平面PEC；(2)平面PEC⊥平面PCD.证明：(1)取PC的中点G，连接FG，EG，F为PD的中点，G为PC的中点，∴FG为△CDP的中位线，1∴FG∥CD，FG＝2CD.∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，1∴AE∥CD，AE＝2CD.∴FG＝AE，FG∥AE，∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG，又EG?平面PEC，AF?平面PEC，∴AF∥平面PEC.(2)∵PA＝AD，F为PD中点，∴AF⊥PD，PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD，AD∩PA＝A，CD⊥平面PAD，∵AF?平面PAD，CD⊥AF.又PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD.由(1)知EG∥AF，∴EG⊥平面PCD，又EG?平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD.[课时跟踪检测 ]A级1．设a，b是两条不同的直线， α，β是两个不同的平面，则能得出A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a?α，b⊥β，α∥β D．a?α，b∥β，α⊥β解析：选C 对于C项，由α∥β，a?α可得a∥β，又b⊥β，得2．(2019湘·东五校联考)已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l?①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是 ( )

a⊥b的是( )a⊥b，故选C.β，给出下列命题：A．①④

B．③④C．①②

D．①③解析：选A 对于①，若 α∥β，m⊥α，l?β，则m⊥l，故①正确，排除 B.对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l?β，所以α⊥β.故④正确．故选 A.3．已知PA垂直于以 AB为直径的圆所在的平面， C为圆上异于 A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是

(

)A．PA⊥BCC．AC⊥PB

B．BC⊥平面D．PC⊥BC

PAC解析：选

C

由PA⊥平面

ACB?PA⊥BC，故

A不符合题意；由

BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，故B、D不符合题意；AC⊥PB显然不成立，故C符合题意．4.如图，在四面体 ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面

ABC

内的射影

H必在(

)A．直线

AB上

B．直线

BC

上C．直线AC上 D．△ABC内部解析：选A 因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平央ABD，又AC?平面ABC，所以平面 ABC⊥平面ABD，所以点 D在平面ABC内的射影 H必在直线 AB上．5.如图，在正四面体

P-ABC

中，

D，E，F

分别是

AB，BC，CA

的中点，则下面四个结论不成立的是 ( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC解析：选D 因为BC∥DF，DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以 BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中， AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE，又DF∥BC，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B、C均正确．6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________个；与AP垂直的直线有________个．解析：∵PC⊥平面ABC，PC垂直于直线AB，BC，AC.AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，AB⊥平面PAC，又∵AP?平面PAC，AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：3 17．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．解析：①正确；②正确；满足③的α与β不一定垂直，所以③错误；直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．故所有的真命题的序号是①②.答案：①②8．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABC-A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH?平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．答案：①③9．(2019·原模拟太)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．(1)求证：AD⊥平面PNB；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥 P-NBM的体积．解： (1)证明：连接 BD.PA＝PD，N为AD的中点，PN⊥AD.又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，BN⊥AD，又PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB.(2)∵PA＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝ 3.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥NB，∴S△PNB＝1×3×3＝3.22AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB.又PM＝2MC，∴VP-NBM＝VM-PNB＝2VC-PNB＝2×1×3×2＝2.3332310.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明：(1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AC∥A1C1，在△ABC中，因为 D，E分别为AB，BC的中点．所以DE∥AC，于是DE∥A1C1，又因为DE?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，因为A1C1?平面A1B1C1，所以AA1⊥A1C1，又因为A1C1⊥A1B1，A1B1∩AA1＝A1，AA1?平面ABB1A1，A1B1?平面ABB1A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1，因为B1D?平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D，又因为B1D⊥A1F，A1C1∩A1F＝A1，A1C1?平面A1C1F，A1F?平面A1C1F，所以B1D⊥平面A1C1F，因为直线B1D?平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.B级1．(2018·国卷Ⅱ全)如图，在三棱锥 P-ABC中，AB＝BC＝2 2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．解：(1)证明：因为所以PO⊥AC，且连接OB，

PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，PO＝2 3.因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝1AC＝2.2所以PO2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB.又因为AC∩OB＝O，所以PO⊥平面ABC.(2)作CH⊥OM，垂足为H，又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC＝1AC＝2，CM＝2BC＝42，∠ACB＝45°，23325OC·MC·sin∠ACB45所以OM＝3，CH＝OM＝5.所以点C到平面POM的距离为455.2．(2019·南中原名校质量考评河)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，F分别是CD，PC的中点．求证：(1)BE∥平面PAD；(2)平面BEF⊥平面PCD.证明：(1)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中点，AB∥DE且AB＝DE，∴四边形ABED为平行四边形，AD∥BE，又BE?平面PAD，AD?平面PAD，BE∥平面PAD.(2)∵AB⊥AD，∴四边形 ABED为矩形，BE⊥CD，AD⊥CD，∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA⊥CD，又PA∩AD＝A，CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，∵E，F分别是CD，PC的中点，PD∥EF，∴CD⊥EF，又EF∩BE＝E，CD⊥平面BEF，∵CD?平面PCD，∴平面 BEF⊥平面PCD.第六节 直线、平面平行与垂直的综合问题考点一立体几何中的探索性问题[典例](2018全·国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧?CD所在平面垂直，M是?CD上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．[解](1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM.因为M为?CD上异于C，D的点，且 DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.因为DM?平面AMD，所以平面 AMD⊥平面BMC.(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.证明如下：连接AC交BD于O.因为四边形 ABCD为矩形，所以O为AC的中点．连接OP，因为P为AM的中点，所以MC∥OP.又MC?平面PBD，OP?平面PBD，所以MC∥平面PBD.[题组训练]1.如图，三棱锥 P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥P-ABC的体积；(2)在线段PC上是否存在点M，使得AC⊥BM，若存在，请说明理由，并求PM的值．MC解：(1)由题设AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，1·AB·AC·sin60＝°3可得S△ABC＝2.2由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱锥 P-ABC的高，又PA＝1，所以三棱锥13.P-ABC的体积V＝·S△ABC·PA＝63(2)在线段PC上存在点 M，使得AC⊥BM，证明如下：如图，在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC.因为BN∩MN＝N，所以AC⊥平面MBN，又BM?平面MBN，所以AC⊥BM.在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝12，3从而NC＝AC－AN＝，PM AN 1由MN∥PA，得MC＝NC＝3.2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC＝PD＝2，E为PC的中点，CB＝3CG.(1)求证：PC⊥BC；(2)AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC.因为四边形 ABCD是正方形，所以 BC⊥CD.又PD∩CD＝D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，所以BC⊥平面PCD.因为PC?平面PCD，所以PC⊥BC.(2)连接AC，BD交于点O，连接EO，GO，延长GO交AD于点M，连接EM，则PA∥平面MEG.证明如下：因为 E为PC的中点，O是AC的中点，所以EO∥PA.因为EO?平面MEG，PA?平面MEG，所以PA∥平面MEG.2因为△OCG≌△OAM，所以AM＝CG＝，2所以AM的长为3.考点二 平面图形的翻折问题[典例](2018·国卷Ⅰ全)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.(1)证明：平面 ACD⊥平面ABC；2(2)Q为线段AD上一点，P为线段 BC上一点，且 BP＝DQ＝3DA，求三棱锥 Q-ABP的体积．解：(1)证明：由已知可得，∠ BAC＝90°，即BA⊥AC.又因为BA⊥AD，AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD.因为AB?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得， DC＝CM＝AB＝3，DA＝3 2.2又BP＝DQ＝3DA，所以BP＝2 2.1如图，过点 Q作QE⊥AC，垂足为E，则QE綊3DC.由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.因此，三棱锥Q-ABP的体积为VQ-ABP＝1×S△ABP×QE＝1×1×3×22sin45°×1＝1.332[题组训练

]1．(2019

·北五校联考湖

)如图

1所示，在直角梯形

ABCD

中，∠

ADC＝90°，AB∥CD，1AD＝CD＝2AB＝2，E

为

AC

的中点，将△

ACD

沿

AC

折起，使折起后的平面

ACD

与平面ABC垂直，得到如图 2所示的几何体 D-ABC.(1)求证：BC⊥平面ACD；(2)点F在棱CD上，且满足 AD∥平面BEF，求几何体 F-BCE的体积．解：(1)证明：∵AC＝ AD2＋CD2＝2 2，BAC＝∠ACD＝45°，AB＝4，∴在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC×AB×cos45°＝8，AB2＝AC2＋BC2＝16，∴AC⊥BC.∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC＝AC，BC⊥平面ACD.(2)∵AD∥平面BEF，AD?平面ACD，平面ACD∩平面BEF＝EF，∴AD∥EF，∵E为AC的中点，∴EF为△ACD的中位线，由(1)知，几何体F-BCE的体积VF-BCE＝VB-CEF＝1×S△CEF×BC，3S△CEF＝1S△ACD＝1×1×2×2＝1，4422112＝2∴VF-BCE＝××23.322．(2018合·肥二检)如图1，在平面五边形ABCDE中，AB∥CE，且AE＝2，∠AEC＝560°，CD＝ED＝7，cos∠EDC＝7.将△CDE沿CE折起，使点D到P的位置，且AP＝3，得到如图 2所示的四棱锥 P-ABCE.(1)求证：AP⊥平面ABCE；(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线 l，求证：AB∥l.证明：

(1)在△CDE

中，∵

CD＝ED＝

7，cos∠EDC＝5，7由余弦定理得 CE＝ 72＋ 72－2× 7× 7×57＝2.连接AC，AE＝2，∠AEC＝60°，∴AC＝2.又AP＝3，∴在△PAE中，AP2＋AE2＝PE2，即AP⊥AE.同理，AP⊥AC.AC∩AE＝A，AC?平面ABCE，AE?平面ABCE，∴AP⊥平面ABCE.(2)∵AB∥CE，且CE?平面PCE，AB?平面PCE，AB∥平面PCE.又平面PAB∩平面PCE＝l，∴AB∥l.[课时跟踪检测 ]1.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是圆内接四边形 (记此圆为W)，且PA⊥平面ABCD.(1)当BD是圆W的直径时，PA＝BD＝2，AD＝CD＝3，求四棱锥P-ABCD的体积．(2)在(1)的条件下，判断在棱PA上是否存在一点Q，使得BQ∥平面PCD？若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由．解：(1)因为BD是圆W的直径，所以BA⊥AD，因为BD＝2，AD＝3，所以AB＝1.同理BC＝1，所以S四边形ABCD＝AB·AD＝3.因为PA⊥平面ABCD，PA＝2，1＝23所以四棱锥P-ABCD的体积V＝S四边形ABCD·PA3.32(2)存在，AQ＝3.理由如下．延长AB，DC交于点E，连接PE，则平面 PAB与平面PCD的交线是PE.假设在棱PA上存在一点 Q，使得BQ∥平面PCD，则BQ∥PE，所以AQ＝AB.PAAE经计算可得BE＝2，所以AE＝AB＋BE＝3，所以AQ＝2.3故存在这样的点Q，使BQ∥平面PCD，且AQ＝2.32.如图，侧棱与底面垂直的四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AA1＝4，DC＝2AB，AB＝AD＝3，点M在棱A1B11A1B1.已知点E是直线CD上的一点，AM∥平面BC1E.上，且A1M＝3(1)试确定点 E的位置，并说明理由；(2)求三棱锥 M-BC1E的体积．解：(1)点E在线段CD上且EC＝1，理由如下：在棱因为所以

C1D1上取点N，使得D1N＝A1M＝1，连接MN，DN，D1N∥A1M，所以四边形D1NMA1为平行四边形，MN綊A1D1綊AD.所以四边形 AMND为平行四边形，所以 AM∥DN.因为CE＝1，所以易知 DN∥EC1，所以AM∥EC1，又AM?平面BC1E，EC1?平面BC1E，所以AM∥平面BC1E.故点E在线段CD上且EC＝1.(2)由(1)知，AM∥平面BC1E，所以VM-BCE＝VA-BCE＝VC-ABE＝1×1×3×3×4＝6.111323．(2019湖·北武汉部分学校调研)如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1-ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.(1)证明：BE⊥平面D1AE；(2)设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点 M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出AM的值；若不存在，请说明理由．AB解：(1)证明：∵四边形 ABCD为矩形且 AD＝DE＝EC＝BC＝2，∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE，又平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，BE⊥平面D1AE.AM 1(2)当 ＝时，MF∥平面D1AE，理由如下：取D1E的中点L，连接FL，AL，∴FL∥EC，又EC∥AB，1∴FL∥AB，且FL＝4AB，∴M，F，L，A四点共面，又MF∥平面AD1E，∴MF∥AL.∴四边形AMFL为平行四边形，AM1AM＝FL＝4AB，AB＝4.4．如图1所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于点E(不同于点D)，延长AE交BC于点F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1-BCD，如图2所示．(1)若M是FC的中点，求证：直线 DM∥平面A1EF.(2)求证：BD⊥A1F.(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线 A1B与直线CD能否垂直？请说明理由．解：(1)证明：∵D，M分别为AC，FC的中点，DM∥EF，又∵EF?平面A1EF，DM?平面A1EF，DM∥平面A1EF.(2)证明：∵EF⊥BD，A1E⊥BD，A1E∩EF＝E，A1E?平面A1EF，EF?平面A1EF，BD⊥平面A1EF，又A1F?平面A1EF，∴BD⊥A1F.(3)直线A1B与直线CD不能垂直．理由如下：∵平面BCD⊥平面A1BD，平面BCD∩平面A1BD＝BD，EF⊥BD，EF?平面BCD，EF⊥平面A1BD，又∵A1B?平面A1BD，∴A1B⊥EF，又∵DM∥EF，∴A1B⊥DM.假设A1B⊥CD，∵DM∩CD＝D，A1B⊥平面BCD，A1B⊥BD，与∠A1BD为锐角矛盾，∴直线A1B与直线CD不能垂直．5．(2019·南名校联考河)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，四边形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，点M在线段EF上．(1)求证：BC⊥平面ACFE；(2)当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．解：(1)证明：在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，所以四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，所以∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，所以AC⊥BC.又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE.3(2)当EM＝3a时，AM∥平面BDF，理由如下：如图，在梯形 ABCD中，设AC∩BD＝N，连接FN.由(1)知四边形ABCD为等腰梯形，且∠ABC＝60°，所以AB＝2DC，则CN∶NA＝1∶2.2 3易知EF＝AC＝ 3a，所以AN＝3 a.3因为EM＝3a，23所以MF＝3EF＝3a，所以MF綊AN，所以四边形 ANFM是平行四边形，所以AM∥NF，又NF?平面BDF，AM?平面BDF，所以AM∥平面BDF.6.如图所示的五面体 ABEDFC中，四边形ACFD是等腰梯形，ADFC，∠DAC＝60°，BC⊥平面ACFD，CA＝CB＝CF＝1，AD＝2CF，点G为AC的中点．(1)在AD上是否存在一点 H，使GH∥平面BCD？若存在，指出点H的位置并给出证明；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥 G-ECD的体积．解：(1)存在点H使GH∥平面BCD，此时H为AD的中点．证明如下．取点

H为

AD

的中点，连接

GH，因为点

G为

AC

的中点，所以在△

ACD

中，由三角形中位线定理可知

GH∥CD，又GH?平面

BCD，CD?

平面

BCD，所以

GH∥平面

BCD.(2)因为AD∥CF，AD?平面ADEB，CF?平面ADEB，所以CF∥平面ADEB，因为CF?平面CFEB，平面CFEB∩平面ADEB＝BE，所以CF∥BE，又CF?平面ACFD，BE?平面ACFD，所以BE∥平面ACFD，所以VG-ECD＝VE-GCD＝VB-GCD.因为四边形 ACFD是等腰梯形，∠ DAC＝60°，AD＝2CF＝2AC，所以∠ACD＝90°，又CA＝CB＝CF＝1，所以CD＝3，CG＝12，又BC⊥平面ACFD，所以VB-GCD＝1×1CG×CD×BC＝1×1×1×3×1＝3.32322123所以三棱锥 G-ECD的体积为12.第七节 空间角考点一异面直线所成的角[典例](1)(2018全·国卷Ⅱ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()2B.3A.2257C.2D.2(2)(2019成·都检测)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为()11A.2B．－233C.2D．－2[解析](1)如图，连接BE，因为AB∥CD，所以AE与CD所成的角为∠EAB.在Rt△ABE中，设AB＝2，则BE＝5，则tan∠EAB＝BE＝5，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为5AB22.(2)如图，分别取 AB，AD，BC，BD的中点 E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，FG，则EF∥BD，EG∥AC，所以∠FEG为异面直线AC与BD所成的角．易知FO∥AB，因为AB⊥平面BCD，所以FO⊥平面BCD，所以FO⊥OG，设AB＝2a，则EG＝EF＝2a，FG＝a2＋a2＝2a，所以∠FEG＝60°，所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为1，2故选A.[答案] (1)C (2)A[题组训练]1．在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB＝ 2BB1，则AB1与BC1所成角的大小为 ( )A．30°B．60°C．75°D．90°解析：选D将正三棱柱ABC-A1B1C1补为四棱柱ABCD-A1B1C1D1，连接C1D，BD，则C1D∥B1A，∠BC1D为所求角或其补角．设BB1＝2，则BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，BD23，又因为BC1＝C1D＝6，所以∠BC1D＝90°.2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解：(1)如图所示，连接B1C，AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是 AC与A1D所成的角．AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)连接BD，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E，F分别为AB，AD的中点，EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.考点二 直线与平面所成的角[典例](1)(2018全·国卷Ⅰ)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()A．8B．62C．82D．83(2)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为9，底面是边长为3的正三角4形．若P为底面A1B1C1的中心，则 PA与平面ABC所成角的大小为 ________．[解析] (1)如图，连接 AC1，BC1，AC.AB⊥平面BB1C1C，∴∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝2＝4.在Rt△ACC1中，CC1＝sin30°AC21－AC2＝ 42－22＋22＝2 2，V长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×22＝82.(2)如图所示，设

O为△ABC

的中心，连接

PO，AO，易知

PO⊥平面ABC，则∠PAO为

1PA与平面ABC所成的角．S△ABC＝2×

3×

3×

sin33，60°＝4∴VABC-ABC＝S339，∴OP＝3.111△44又OA＝3×23×23＝1，∴tan∠OAP＝OPOA＝3，∴∠OAP＝60°.故PA与平面ABC所成角为60°.[答案] (1)C (2)60°[题组训练]1．在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为()106A.4B.4106C.5D.5解析：选B如图，取AC，A1C1的中点分别为M，M1，连接MM1，BM，过点D作DN∥BM交MM1于点N，则易证DN⊥平面AA1C1C，连接AN，则∠DAN为AD与平面AA1C1C所成的角．在Rt△DNA中，3DN＝2＝6sin∠DAN＝AD24.2．(2019青·海模拟)如图，正四棱锥P-ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE与平面PAC所成的角为()A．60°B．30°C．45°D．90°解析：选A如图，在正四棱锥P-ABCD中，根据底面积为6可得，BC＝6.连接BD交AC于点O，连接PO，则PO为正四棱锥P-ABCD的高，根据体积公式可得，PO＝1.因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD，又BD⊥AC，PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC，连接EO，则∠BEO为直线BE与平面PAC所成的角．在 Rt△POA中，因为 PO＝1，OA＝ 3，所以PA＝2，1BO＝3，即∠BEO＝60°.OE＝2PA＝1，在Rt△BOE中，因为BO＝3，所以tan∠BEO＝OE故直线BE与平面PAC所成角为60°.考点三 二面角[典例](1)已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角的平面角为________．(2)已知△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，M为AB的中点，现将△ACM沿CM折起，得到三棱锥P-CBM，如图所示．则当二面角P-CM-B的大小为AB＝________.60°时，PB[解析](1)如图，O为正方形ABCD的中心，M为BC的中点，连接PO，PM，OM，∠PMO即为侧面与底面所成二面角的平面角．设底面边长为a，则2a2＝(26)2，∴a＝23，∴OM＝3.又四棱锥的体积

V＝1×(2 3)2×PO＝12，∴PO＝3，3∴tan∠PMO＝

3

＝

3，∴∠PMO＝60°.故所求二面角为

60°.3(2)如图，取 BC的中点E，连接AE，EM，PE，设AE∩CM＝O，连接PO，再设AC＝2，由∠C＝90°，tanA＝ 2，可得BC＝2 2.在Rt△MEC中，可得tan∠CME＝2，在Rt△ECA中，可得tan∠AEC＝2，∴∠CME＋∠AEM＝90°，∴AE⊥CM，∴PO⊥CM，EO⊥CM，∠POE即为二面角 P-CM-B的平面角，∴∠ POE＝60°.∵AE＝22＋22＝6，OE＝1×sin∠CME＝6，∴PO＝AO＝2633.在△POE中，由余弦定理可得，PE＝262＋62－2×236×6×1＝2，3332PE2＋CE2＝PC2，即PE⊥BC.又∵E为BC的中点，∴PB＝PC＝2.在Rt△ACB中，易得 AB＝2 3，∴ABPB＝ 3.[答案] (1)60°(2) 3[题组训练]1．已知二面角的棱上有 A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2 17，则该二面角的大小为 (

)A．150°

B．45°C．120°

D．60°解析：选D如图，AC⊥AB，BD⊥AB，过A在平面ABD内作AE∥BD，过D作DE∥AB，连接CE，所以DE＝AB且DE⊥平面AEC，∠CAE即二面角的平面角．在Rt△DEC中，CD＝217，DE＝4，则CE＝213，在△ACE中，由余弦定理可得cos∠CAE＝CA2＋AE2－CE22CA×AE1，所以∠CAE＝60°，即所求二面角的大小为60°.22.如图，

AB

是⊙O

的直径，

PA垂直于⊙

O所在平面，

C是圆周上不同于

A，B两点的任意一点，且

AB＝2，PA＝BC＝

3，则二面角

A-BC-P的大小为

________．所以

解析：因为AB为⊙O的直径，所以PA⊥BC，因为AC∩PA＝A，所以

AC⊥BC，又因为PA⊥平面ABC，BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以∠PCA

为二面角

A-BC-P

的平面角．因为∠

ACB＝90°，AB＝2，PA＝BC＝

3，所以

AC＝1，所以在

Rt△PAC

中，tan∠PCA＝PA＝

3.所以∠

PCA＝60°.即所求二面角的大小为

60°.AC答案：60°[课时跟踪检测 ]111D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A11与平面A11．在正方体ABCD-ABCBEF所成角的正切值为()A．2B.2C．1D.3解析：选BA1B1与平面A1EF所成的角就是∠B1A1C，tan∠B1A1C＝B1C＝2.A1B12．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝453，那么二面角 A-BD-P的大小为()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：选A 作AO⊥BD交BD于点O，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.PA∩AO＝A，∴BD⊥平面PAO，∴PO⊥BD，∴∠AOP即为所求二面角 A-BD-P的大小．AO＝AB·AD＝12，BD5tan∠AOP＝AOAP＝33，故二面角A-BD-P的大小为30°.3.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN的长度为()A．5B．6C．8D．10解析：选A如图，取AD的中点P，连接PM，PN，11BD＝3，则PM∥BD，PN∥AC，PN＝AC＝4，PM＝22∴∠MPN即为异面直线 AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，∴MN＝5.故选A.4．已知AB∥平面α，AC⊥平面 α于点C，BD是平面α的斜线，D是斜足，若 AC＝9，BD＝6 3，则BD与平面α所成的角的大小为 ________．解析：如图，过B作BE⊥平面α，垂足为E，则BE＝9.连接DE，则∠BDE为BD与平面α所成的角．在Rt△BED中，sin∠BDE＝BDBE＝3，所以∠BDE＝60°.2答案：60°75．(2018全·国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为8，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为