直线平面平行的判定与性质含解析

直线、平面平行的判定与性质1．(2019·西安模拟 )设α，β是两个平面，直线 a?α，则“a∥β”是“α∥β”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B依题意，由a?α，a∥β不能推出α∥β，此时平面α与β可能相交；反过来，由α∥β，a?α，可得a∥β.综上所述，“a∥β”是“α∥β”的必要不充分条件，选B.2．(2019·四川名校联考)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为AB和AC上的点，AM＝AN＝231111位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．不能确定解析：选B由题可得1＝11，＝1，所以分别取，1上的点，Q，使得CPAM3ABAN3ACBCBBP22223BC，BQ＝3BB1，连接MQ，NP，PQ，则MQ綊3B1A1，NP綊3AB，又B1A1綊AB，故MQ綊NP，所以四边形MQPN是平行四边形，则MN∥QP，QP?平面BB1C1C，MN?平面BB1C1C，则MN∥平面BB1C1C，故选B.3．(2019·枣庄诊断 )如图，直三棱柱 ABC-A′B′C′中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA′＝4，点E，F，G，H，M分别是边AA′，AB，BB′，A′B′，BC的中点，动点P在四边形EFGH内部运动，并且始终有∥平面′′，则动点P的轨迹长度为()MPACCAA．2B．2πC．23D．4解析：选D连接MF，FH，MH，因为M，F，H分别为BC，AB，A′B′的中点，所以MF∥平面AA′C′C，FH∥平面AA′C′C，所以平面 MFH∥平面AA′C′C，所以M与线段FH上任意一点的连线都平行于平面 AA′C′C，所以点 P的运动轨迹是线段 FH，其长度为 4，故选D.4．(2019·成都模拟 )已知直线a，b和平面α，下列说法中正确的是 ( )A．若a∥α，b?α，则a∥bB．若a⊥α，b?α，则a⊥bC．若a，b与α所成的角相等，则 a∥b1D．若a∥α，b∥α，则a∥b解析：选B对于A，若a∥α，b?α，则a∥b或a与b异面，故A错；对于B，利用线面垂直的性质，可知若a⊥α，b?α，则a⊥b，故B正确；对于C，若a，b与α所成的角相等，则a与b相交、平行或异面，故C错；对于D，由a∥α，b∥α，则a，b之间的位置关系可以是相交、平行或异面，故 D错．5．(2017·全国卷Ⅰ )如图，在下列四个正方体中， A，B为正方体的两个顶点， M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB与平面MNQ不平行的是( )解析：选A法一：对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ.又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C、D中均有AB∥平面MNQ.故选A.法二：对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)，连接OQ，则OQ∥AB.因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行，根据直线与平面平行的判定定理及三角形的中位线性质知，选项 B、C、D中AB∥平面MNQ.故选A.6．已知 m，n是两条不同的直线， α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m?α，n?β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α解析：选C 对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于 B，若m∥n，m?α，n?β，则α∥β或α与β相交；易知 C正确；对于 D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．故选C.7．如图所示，三棱柱-111的侧面11是菱形，设D是11上的点且1∥平面ABCABCBCCBACABBCD，则AD∶DC的值为________．1112解析：设BC1∩B1C＝O，连接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD，∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，则 A1D∶DC1＝1.答案：18．已知正方体 ABCD-A1B1C1D1，下列结论中，正确的是 ________(只填序号)．AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.解析：连接AD1，BC1，AB1，B1D1，C1D，BD，因为AB綊C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，故AD1∥BC1，从而①正确；易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；由图易知 AD1与DC1异面，故③错误；因为AD1∥BC1，AD1?平面BDC1，BC1?平面BDC1，故AD1∥平面BDC1，故④正确．答案：①②④9．在三棱锥P-ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．解析：如图，过点G作∥，分别交，于点，，过点EFACPAPCEFE作EN∥PB交AB于点N，过点F作FM∥PB交BC于点M，连接MN，则2四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝3AC1＝2，FM＝EN＝3PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：8210．(2019·南宁毕业班摸底)如图，△ABC中，AC＝BC＝2AB，四边形ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，G，F分别是EC，BD的中点．求证：GF∥底面ABC；求几何体ADEBC的体积．解：(1)证明：如图，取 BC的中点M，AB的中点N，连接GM，FN，MN.∵G，F分别是EC，BD的中点，1GM∥BE，且GM＝2BE，31NF∥DA，且NF＝2DA.又四边形ABED为正方形，∴BE∥AD，BE＝AD，GM∥NF且GM＝NF.∴四边形MNFG为平行四边形．GF∥MN，又MN?平面ABC，GF?平面ABC，GF∥平面ABC.连接CN，∵AC＝BC，∴CN⊥AB，又平面ABED⊥平面ABC，CN?平面ABC，∴CN⊥平面ABED.1易知△ABC是等腰直角三角形，∴CN＝2AB＝2，C-ABED是四棱锥，1 1 1 1VC-ABED＝3S四边形ABED·CN＝3×1×2＝6.11．如图，四边形 ABCD与四边形 ADEF为平行四边形， M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：BE∥平面DMF；平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图，连接 AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过DF与GN的交点O.连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形 ADEF的边AD，EF的中点，所以 DE∥GN.4又DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.又BD?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG.又DE?平面BDE，BD?平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.12．(2019·河南八市联考 )如图，在矩形 ABCD中，AB＝1，AD2，PA⊥平面ABCD，E，F分别为AD，PA的中点，点Q是BC上一个动点．(1)当Q是BC的中点时，求证：平面 BEF∥平面PDQ；BQ当BD⊥FQ时，求QC的值．解：(1)证明：∵E，Q分别是AD，BC的中点，ED＝BQ，ED∥BQ，∴四边形BEDQ是平行四边形，BE∥DQ.又BE?平面PDQ，DQ?平面PDQ，∴BE∥平面PDQ，又F是PA的中点，∴EF∥PD，∵EF?平面PDQ，PD?平面PDQ，∴EF∥平面PDQ，∵BE∩EF＝E，BE?平面BEF，EF?平面BEF，∴平面BEF∥平面PD