微积分A2(第七章第1、2、3节)

第七章

多元函数微分法及其应用一、n维空间与多元函数R—实数的全体(集合)—数轴上点(实数)的集合

—二元有序数组(x,y)的集合—三元有序数组

(x,y,z)的集合—n元有序数组 的集合上点的坐标

x上点的坐标

(x,y)上点的坐标

(x,y,z)上点的坐标

——

一维空间——

二维空间——三维空间——n维空间§1.

多元函数的基本概念……一元函数二元函数三元函数n元函数二元与二元以上的函数统称为多元函数。二元函数的定义回忆点集D---定义域，---值域.x、y

---自变量，z---因变量.定义1

设D是平面上的一个点集，如果对于每个点

变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z

是变量x，y

的二元函数，记为或记为类似地可定义三元及三元以上函数．点集D---定义域，---值域.x、y

---自变量，z---因变量.函数的两个要素:定义域、对应法则.定义1

设D是平面上的一个点集，如果对于每个点

变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z

是变量x，y

的二元函数，记为或记为x二、多元函数的定义域在一维空间上，1．邻域在二维空间上，(.)x0y0x0xyP02．区域（内点、边界点、聚点、边界、连通集、开集、闭集、有界点集）设

E

是平面上的一个点集，对点

P，若存在则称

P

为

E

的内点。若

E

中的点都为内点，.

PE0xy2则称

E

为开集。若点集

E

的余集Ec

为开集，则称

E

为闭集。开集

若点P的任一邻域内，既含有属于

E

的点,又含有不属于

E

的点,则称

P为

E

的边界点。满足

x2+y2=4的点

(x,y)02xyE·P都为边界点。边界点的全体称为

E

的边界。E

的边界点可能属于E，也可能不属于E。若点P

的任一去心邻域内总有E中的点，则称

P

是

E

的聚点。满足

x2+

y2

=4的点

(x,y)02xy都是

E1聚点。点集E

的聚点P可以

属于E,也可以不属于E.

若开集

E

中任意两点都可用全落在

E

中的折线连接起来，则称

E

为连通集。P1P2P1P2（单连通）（多连通）连通的开集称为区域或开区域。如区域

+边界

称为闭区域。如EE

上述的所有概念可以类似推广到

n

维空间上。区域则称

E

为有界点集，否则称为无界点集。有界区域：即区域

E

能被包含在一个以原点为中心，r为半径的圆内。Er二元函数的定义域

D2

是平面上的一个区域；三元函数的定义域

D3是(三维)空间的一个区域；n元函数的定义域

Dn

是

n

维空间的一个区域。有界点集：否则称为无界区域。与一元函数相类似，对于定义域约定：

定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点的集合。例1

求的定义域．解所求定义域为例2:求下列函数的定义域

解：xy0解：x+y≥0x+y=0x+y>0xy0无界练习:（1）求下列函数的定义域:圆锥面（2）上半球面全平面xyzoxyzo

二元函数的图形（如下页图）

设函数z=f(x,y)的定义域为D，对于任意取定的对应的函数值为z=f(x,y)。

以x为横坐标、y

为纵坐标、z

为竖坐标在空间就确定一点M(x,y,z),当(x,y)取遍D

上一切点时，得一个空间点集这个点集称为二元函数z=f(x,y)的图形。二元函数的图形通常是一张曲面.例如,图形如右.例如,球面.单值分支:例1：例2：解：解：则可解得所以三、二元函数的极限与连续性定义1 设函数z=f(x,y)的定义域为D，P0(x0,y0)是D的聚点，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式的一切点

P(x,y)∈D,都有则称常数A为

f(x,y)当(x,y)→(x0,y0)时的极限成立，（又称二重极限），记作定义2

设函数

f(x,y)的定义域为

D，则称函数

f(x,y)在

P0(x0,y0)点连续。即P0(x0,y0)∈D

且是

D

的聚点，如果

若

f(x,y)在

D

内的每一点连续，则称

f(x,y)在

D

内连续，或称

f(x,y)是

D内的连续函数。问题1.二元函数与一元函数的极限定义是否一样？不同在何处？2.二元函数与一元函数的连续概念是否一样？它们的间断点有何不同？当P→P0时，函数值与极限值的距离可以对一元：对二元：1、极限定义的相同之处：无限接近于零。即

二元和一元函数一样，在某点是否有极限，与在该点是否有定义无关；

二元和一元函数的极限运算法则完全类似，可以照搬。不同之处：一元：当

x→x0时,只在

x

轴上变化，二元：PP0正是这，导致了多元函数的极限与一元函数的不同。必须特别注意！xy特殊的有P

有无数条路径通往P0，xx0

只有当

P(x,y)无论以何种方式→P0(x0,y0)时，称A为

z=f(x,y)当(x,y)→(x0,y0)时的二重极限。称

A为

z=f(x,y)的二次极限。

一般地，二重极限

≠二次极限f(x,y)都趋向于A，才能说当

P→P0时，f(x,y)以A为极限，记为

一般地，二重极限

≠二次极限仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.二重极限不同.如果它们都存在,则三者相等.例如,显然与累次极限但由后面的例2知它在(0,0)点二重极限不存在.

确定极限不存在的方法(1)如P(x,y)以某种特殊方式→P0(x0,y0)时，

f(x,y)的极限不存在，此时可断言f(x,y)

在P0(x0,y0)处的极限不存在；例1

求证

证当时，原结论成立．例2在点(0,0)处的极限。(即(x,y)=(0,0)时)若(x,y)沿x轴趋向(0,0)解:

考察函数即考察若(x,y)沿y轴趋向(0,0)(即(x,y)=(0,0)时)选路径

y=kx,

显然,极限值随

k

的不同而不同,即D内任一点

(x,y)沿直线

y=kx→

(0,0)xy.(x,y).(x,y)D例3.求解:例4.求解一:解二:例5.

解：2、连续概念的相同之处：不同之处：f(x)的图形是一条连绵不断的曲线，f(x,y)的图形是一个无孔隙、无裂缝，如不连续，其间断点是一些孤立的点。如不连续其间断点可以是一些孤立的点，也完整无缺的曲面。一元：二元：极限值等于函数值。可以连成一条曲线（间断线）。如:(1)前例1中∴(0,0)是其一个间断点,即

f(x,y)在(0,0)处不连续。(2)(3)多元初等函数：由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子表示的多元函数叫多元初等函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”：例6求极限

解是多元初等函数。定义域：于是，（不连通）有界闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上定义的多元连续函数，在在有界闭区域D上定义的多元连续函数，如（1）最大值和最小值定理（2）介值定理D上至少取得它的最大值和最小值各一次．果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．课外作业

习题7—1(A)5(3,4,6)—要求作图,6(3,5),7(2)

习题7—1(B)2§2 偏导数一、偏导数的定义及其计算表示函数

y

对自变量

x的变化率。多元(二元)函数

z=f(x,y),一元函数

y=f(x)的导数若固定一个变量(如

y)，函数

z

对另一变量(如

x)的变化率:

回忆定义：设函数

z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,当

y

固定在

y0，而

x在

x0处有增量△x时，相应地函数有增量（偏增量）：如果存在则称此极限为函数

z=f(x,y)在点(x0,y0)处对

x

的偏导数，记作同理，若固定

x=x0,

则称此极限为函数

z=f(x,y)在点

(x0,y0)处若

fx,fy

在区域D内每一点(x,y)处都存在，则对

y

的偏导数,记作称其为

z=f(x,y)对

x或

y的偏导(函)数。记作说明：3、偏导数的求导法则与一元函数导数的法则相仿。2、上述定义可以推广到二元以上的函数，如有：f(x,y,z)在D内任一点(x,y,z)对x的偏导数1、例1.解一：例1.解二：例2.解：例3.解：证例4：已知理想气体的状态方程pV=RT(R为常数)，求证：解于是，考虑点(0,0)对x

的偏导数，于是，xz

y0由一元函数导数的几何意义：z=f(x,y)L：L=tan偏导数的几何意义y=y0同理可解释MTx固定

y=y0得曲线Mz=f(x,y)Lx=x0固定

x=x0Tx偏导数的几何意义xz

y0M由一元函数导数的几何意义：z=f(x,y)L=tanx=x0固定

x=x0TxTy偏导数的几何意义xz

y0得曲线即在M

处的切线对

x轴的斜率。即在M

处的切线对

y轴的斜率。例：曲线在点处的切线与y轴正向所成的夹角是多少？解：偏导数与导数的区别(1)是函数沿平行

x

轴方向上的变化率。是函数沿平行

y

轴方向上的变化率。(2)可理解为

dy

与

dx

之“微商”；是一个整体，不可拆开，更不是微商。是函数对自变量

x

的整体变化率。（可参见前面的例题4–理想气体的状态方程）(3)一元函数：连续

可导多元函数：

连续

可偏导例：但不存在例:在点(0,0)处的极限不存在，则也不连续。函数但在点(0,0)处对x的偏导数为同理课外作业

习题7—2(A)1(3),2,3(3,4,8),6

习题7—2(B)2

二、高阶偏导数设

z=f(x,y)在区域

D

内具有偏导数在D内它们仍是x,y

它们的偏导数称为f(x,y)的二阶偏导数。二阶偏导数有四种：的函数，二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例题

例1:解：例如,可求得二者不等。

如果在点(x,y)的某邻域内函数f(x,y)的混合偏导数fxy(x,y)

与

fyx(x,y)

都存在，且它们在点(x,y)处连续，那么n元函数的连续混合偏导数与

fxy(x,y)=fyx(x,y)

求导次序无关。定理：

如果在点(x,y)的某邻域内函数f(x,y)的偏导数fx(x,y)，fy(x,y)与

fxy(x,y)

都存在，且fxy(x,y)在点(x,y)处连续，那么混合偏导数fyx(x,y)也存在，且有

fyx(x,y)=fxy(x,y)

定理：前一定理的条件可以减弱，有例2：

注:此方程又称为拉普拉斯方程,记成△u=0

证：同理，例2：课外作业

习题7—2(A)8(2,4)

习题7—2(B)3(2),4§3.

全微分一元函数y=f(x),增量△y=f(x+△x)-f(x)

若△y=A△x+o(△x)，则称

y

是可微的。其中A△x称为函数的微分,记为dy。在可微的情况下，且有回忆二元函数：z

对

x

的偏增量△xz=f(x+△x,y)–f(x,y)≈fx(x,y)△x右式称为

z

对

x

的偏微分；△yz=f(x,y+△y)–f(x,y)△z=f(x+△x,y+△y)–f(x,y)≈fy(x,y)△y右式称为

z

对

y

的偏微分。当

x,y

都有增量时，

称为

z

对应于自变量增量△x,△y的全增量。z对

y的偏增量

一.全微分的概念定义:如果函数

z=f(x,y)在点

(x,y)的全增量△z=f(x+△x,y+△y)–f(x,y)△z=A△x+B△y+o(ρ

)，且

A,B

不依赖于△x,△y而仅与

x,y

有关，

则称

z=f(x,y)在点

(x,y)可微分。

称为函数

z=f(x,y)在点

(x,y)的全微分，记作

dz,dz=A△x+B△y

若函数在区域D内各点处都可微分，则称函数在D内可微。可表示成A△x+B△y

定理1.(可微的必要条件)∵z

可微，∴△z=A△x+B△