任意角及其度量Ⅱ

任意角及其度量(ⅡⅢ)

AnyAngleandItsMeasures课题目标与要求1、掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化

；2、理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系；

3、会用弧度制正确表示象限角、与角a终边相同的角以及终边在各坐标轴上的角的集合；4、会用弧度制计算扇形面积和弧长．准备与导入1、回顾：在平面几何中，1度的角是怎样定义的？

把周角分成360等分，每一份叫做1度的角．这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．

设xo的圆心角所对圆弧长为l，圆的半径为r，则

2、研究：在不同半径的圆中，如果圆心角的大小相等，那么它们所对的圆弧长与所在圆的半径之比是否相等？

这说明对于不同半径的圆，l与r的比值仅与角的大小x有关，因此，我们可以用圆弧的长与圆半径的比值来表示这个圆弧所对的圆心角的大小．

准备与导入我们规定：

把弧长等于半径的弧所对的圆心角的大小叫做1弧度的角．用符号rad表示，读作弧度．弧度制

用弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制．思考：为什么用弧度制来度量角的大小是合理的？

如果一个半径为r的圆的圆心角a所对的弧长为l，那么l与r的比值就是角a的弧度数的绝对值，即：准备与导入

如图：设圆的半径为r，在直角坐标系中，将半径OA作为角的始边，当OA绕圆心旋转到角的终边位置OB时，点B所转过的弧长与r的比值就是旋转所产生的角的弧度数的绝对值，其符号取决于旋转的方向是逆时针还是顺时针．OxyAB点B所转过的弧长OB旋转的方向所成角的弧度数r逆时针方向12pr逆时针方向2r－2pr顺时针方向100r逆时针方向－100p填表：顺时针方向顺时针方向2p－p100100pr探究与深化弧度制与角度制互化

我们知道，一个半径为r的圆的周长为2pr，因此周角的弧度数为2p，即360o＝2p弧度．所以：

1弧度＝弧度弧度弧度注：用弧度制表示角的大小时，通常省略“弧度”两字，例如：180o＝p；sin1.2表示1.2弧度角的正弦．例1、将100o换算成弧度，分别用精确值和近似值

(精确到0.001)表示．解：(精确值)(弧度)解：2.3弧度＝例2、将2.3弧度换算成角度(保留两位小数)．ex2、将下列各弧度化为度：(1)150o(2)22o30’(3)－207oex1、将下列各度化为弧度：(2)(1)探究与深化探究与深化1、角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系：2、我们要熟记一些特殊角的弧度数：

每一个角都有一个唯一的实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．角度数30o45o60o90o180o270o360o弧度数探究与深化例3、把下列各角化为

的形式，并判断它们属于哪个象限．所有与角a有重合终边的角(包括角a本身)的集合表示为：注意：弧度制与角度制不能混用！(1)(2)X轴正半轴的角：X轴负半轴的角：X轴上的角：y轴正半轴的角：y轴负半轴的角：坐标轴上的角：y轴上的角：探究与深化一些重要结论第一象限的角：第二象限的角：第三象限的角：第四象限的角：一些重要结论探究与深化练习与评价例4、设扇形的圆心角为a（0<a<2p)，半径为r，弧长为l，面积为S，求证：(1)l＝ar；(2)；(3)．证明：(2)因为，而，所以；(3)将(1)代入(2)即得：(1)因为，所以l＝ar；记住在弧度制下的扇形弧长和面积公式ex3、半径为2cm，圆心角为的扇形面积为___．

ex4、半径为1的圆上的一段弧所对的弦长为1，则该弦所对应的弧的弧长为___．练习与评价ex5、已知扇的形圆心角为，半径为5，求扇形的弧长l及面积S．AOB练习与评价练习与评价解：因为a是第三象限的角，所以例6、设a是第三象限的角，试讨论是哪个象限角．当k为偶数时，设k＝2n（n∈Z)，则：，所以是第二象限角；当k为奇数时，设k＝2n＋1（n∈Z)，则：，所以是第四象限角；综上得：当a是第三象限的角，是第二或第四象限角．xyoⅠⅠⅡⅡⅢⅢⅣⅣ练习与评价回顾与小结小结：1、弧度制的定义、在