第2章 数学模型

§2-1概述§2-2传递函数§2-3典型环节的传递函数§2-4闭环控制系统的动态结构图§2-5动态结构图的等效变换§2-6反馈控制系统的传递函数§2-7信号流图与梅逊公式第二章：控制系统的数学模型

§

2.1数学模型概述

为了从理论上对自动控制系统进行定性分析和定量计算，首先需要建立系统的数学模型。系统的数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。常用的动态数学模型有微分方程、传递函数及动态结构图。系统数学模型的建立，一般采用解析法或实验法。

解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律，列写出变量间的数学表达式，从而建立数学模型。本章仅讨论解析法，关于实验法将在后面的章节进行介绍。2.1.1线性系统的微分方程模型

很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用一个微分方程表示。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数,又称为系统的阶数。

如图机械系统，由牛顿定理得到以下关系：如图RLC网络，由电路定律可得:

不同的物理系统可能得到相似的数学表达式。如果它们对应的系数和初始条件相同，则它们的解将完全相同。这样就可以撇开系统的具体物理属性，研究这些系统的运动过程的共同规律。

有了数学表达式，就可从理论上进行普遍意义上的分析。

机械系统中，设外力F＝1，质量m＝2，弹性系数k＝1，若阻尼系数较小＝1，则发生震荡，若阻尼系数较大＝10，不会产生震荡。但无论阻尼大小如何，最终物体将下降一个单位长度，新增的弹力正好和外力相抵，系统进入一个新的平衡点。

总之，建立合理的数学模型，是至关重要的问题。许多系统，事件及项目就是因为无法建立合理的数学模型而不能加以预测和控制。2.1.2列写微分方程的一般方法用解析法列写系统或元件微分方程的一般步骤是：

1．根据实际工作情况，将系统划分为多个独立的环节，标出各环节的输入、输出变量。各环节之间无负载效应。

2．从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各环节所遵循的物理定律，列写的动态方程，一般为微分方程组。

3．消去中间变量，写出系统输入、输出变量的微分方程。

4．标准化。即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。最后将系数归化为具有一定物理意义的形式。

例2.1列写如图所示RC滤波电路的微分方程。（假设电路的输入电源的内阻为零，输出接的负载具有无限大阻抗）

解

根据基尔霍夫定律得：消除中间变量，得到滤波网络的微分方程式为：若撇开具体系统的物理属性，令r(t)为输入，c(t)为输出。线性n阶系统的输入输出微分方程式的一般表达式可写为

式中均为由系统结构参数决定的常系数，且有n≥m。令则上式可改写为：2.1.3

非线性数学模型的线性化

在建立控制系统的数学模型时，常常遇到非线性的问题。严格地讲，实际的物理系统都包含着不同程度的非线性因素。但是，许多非线性系统在一定的条件下可以近似地视作线性系统。若控制系统在工作点的附近微小运动，则可将非线性函数展开为泰勒级数，并忽略级数展开式中的高次项，从而得到只含一次项的线性化方程。即用工作点的切线代替非线性曲线。

对于一般的非线性系统，假设其输入量为r，输出量为c，并设在给定工作点处c0=f(r

0)，各阶导数均存在，则可在的邻域展开泰勒级数，即当(r－r0)，很小时，可以忽略上式中二阶以上各项，得

或

在处理非线性问题时，应注意以下几点：1．线性化是在输入、输出量围绕平衡点作小范围变化的假设下进行的。一般取零误差状态作为平衡工作状态。2．线性化以切线代替曲线，是一种近似处理。系统的实际变化量如果很大，则采用小偏差线性模型将会带来较大的计算误差。3.对于某些严重的典型非线性，不能进行求导运算，因此原则上不能用小偏差法进行线性化

例2.2

图示为一个单摆系统,输入量M为零(不加外力矩),输出量为摆幅θ(t)。摆锤的质量为m,摆杆长度为l,空气阻尼系数为μ,重力加速度为g。试建立系统的近似线性运动方程。

解对于图示的单摆系统,根据牛顿运动定律可以直接推出如下系统运动方程:

显然方程是一个二阶的非线性微分方程(因为含有sinθ),但是在摆幅较小的情况下,将其线性化处理：令非线性函数sin(θ)=f，则工作点在θ0=0，f0=0。线性化：即单摆系统的近似线性化动态方程为：§

2.2传

递

函

数

2.2.1拉氏变换

1.拉氏变换的定义将时间函数f(t)乘上指数函数e-st(其中s=σ+jω是一个复数),并且在［0,+∞］上对t积分,称为f(t)的拉氏变换,并用L[f(t)］表示。

拉氏变换将原来的时间函数f(t)转化为复变量函数F(s)。

通常将F(s)称作f(t)的象函数,将f(t)称作F(s)的原函数。

传递函数是对微分方程取拉氏变换后推导出来的概念。2.拉氏变换的计算根据定义积分计算，各典型函数的拉氏变换见下表。2)MATLAB计算

symsst;Ft=1-sin(t)Fs=laplace(Ft,t,s)

执行结果：Fs=1/s-1/(s^2+1)3.拉氏反变换已知时间函数的象函数通过拉氏反变换求出其时间函数：1)部分分式法将F(s)展开成多个典型函数的象函数之代数和，查表。例2.3F(s)含单极点和重极点时的拉氏反变换。解:2)MATLAB拉氏反变换指令：ilaplace(Fs,s,t)例2.3的MATLAB求解程序：symss,t;ilaplace(1/[s*(s+3)*(s+1)^2])计算结果与手算结果完全一样。例2.4F(s)含有共轭复极点时的反变换。解：用MATLAB求解：symsst;ft=ilaplace((s+1)/[s*(s^2+s+1)]);pretty(ft)%将符号表达式写成易读形式与手算结果一样4.拉氏变换的基本定理1)线性定理两个函数和的拉氏变换,等于每个函数拉氏变换的和,即

函数放大k倍的拉氏变换等于该函数拉氏变换的k倍,即

2)微分定理成立,则有

如果初始条件3)终值定理函数f(t)在t→+∞时的函数值(即稳定值)可以通过f(t)的拉氏变换F(s)乘以s取s→0时的极限而得到,即

总结：微分方程通过拉氏变换变成代数方程，解代数方程可求出输出的象函数，对象函数取拉反变换，可求出微分方程的解。2.2.2传递函数的定义和特点

1.传递函数的定义线性定常系统的传递函数,定义为零初始条件下,系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。设输入量为r(t)；输出量为c(t)

，定义传递函数为：

一般线性定常系统由下面的n阶线性常微分方程描述:

如果r(t)和c(t)及其各阶导数在t=0时的值均为零，则根据拉氏变换的定义和性质,对微分方程进行拉氏变换,可得

由传递函数的定义可得系统的多项式形式的传递函数为

用MATLAB指令：

Gs=tf([b0，b1，……，bm]，[a0，a1，……，an])或者

s=tf(‘s’)；Gs=关于s的多项式构造多项式形式的传递函数后，可以用MATLAB的各种控制系统指令分析系统。传递函数的零极点形式zi(i=1,2,…,m)和pj(j=1,2,…,n)分别称为传递函数的零点和极点,K1称为传递函数的增益或根轨迹增益。τi(i=1,2,…,m)和Tj(j=1,2,…,n)为系统中各环节的时间常数,K为系统的放大倍数。

用MATLAB指令：

Gs=zpk([z0，z1，……，zm]，[p0，p1，……，pn]，K)或者

s=tf(‘s’)；Gs=关于s的因式可构造零极点形式的传递函数。传递函数的参数形式

使用Gtf=tf(Gzpk)或者Gzpk＝zpk(Gtf)

可实现传递函数在零极点形式和多项式形式之间的互换。即可将传递函数进行展开和因式分解。例2.4

求传递函数的零极点形式。解G=tf([26,4],[1,14,63,90]);

F=zpk(G)

执行结果：Zero/pole/gain:2(s+2)(s+1)-------------------------(s+6)(s+5)(s+3)

2.传递函数的特点

(1)传递函数的概念适用于线性定常系统,传递函数的结构和各项系数(包括常数项)完全取决于系统本身结构,因此,它是系统的动态数学模型,而与输入信号的具体形式和大小无关,也不反映系统的任何内部信息。同一个系统若选择不同的量作为输入量和输出量,所得到的传递函数可能不同。所以谈到传递函数,必须指明输入量和输出量。

已知传递函数，可求任意输入R(s)下的输出C(s)：(2)传递函数是在零初始条件下定义的。但是，对输入量加于系统之前,系统处于稳定工作状态的情况同样适用。

(3)对于实际的物理系统和元件而言,传递函数的分子多项式的阶次总是小于分母多项式的阶次,即m＜n。它反映了一个基本事实:一个物理系统的输出不可能立即复现输入信号,只有经过一段时间后,输出量才能达到输入量所要求的数值。(4)传递函数与线性常微分方程一一对应。将传递函数展开并取拉氏反变换可得到微分方程。例如,由传递函数

可得s的代数方程

(a0s2+a1s+a2)C(s)=(b1s+b2)R(s)对方程两端取拉氏反变换，

便得到相应的微分方程

(5)传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。另一方面,研究某一种传递函数所得到的结论,可以适用于具有这种传递函数的各种系统,这就极大地提高了控制工作者的效率。

§2-3典型环节的传递函数

在传递函数中，可以分解出基本单元，控制系统也是由典型环节组成，一般可分为比例、惯性、积分、一阶微分、二阶振荡、时滞共七种。

(1)比例环节输入、输出关系及传递函数为

式中K为增益。特点:输入输出量成比例,无失真和时间延迟。实例:电子放大器,齿轮,电阻(电位器),感应式变送器等。

例2.5

求运算放大器组成的比例环节的传递函数。

解运算放大器是控制系统中最常用的器件。分析要点：①运算放大器的开环放大倍数K为无限大。②输入电阻为无限大，输出电阻为零。③输入端电压、电流均为零。如图有下列关系式：

在应用运算放大器时，往往是利用反相端输入的，因此输出、输入电压的相位相反，传递函数出现了负号。为了方便，可以暂不考虑符号。

(2)惯性环节惯性环节具有下列特性：当输入阶跃变化时，输出不能立即按比例复现输入，而是按指数曲线规律变化,经过一段时间以后才能复现输入。

例2.6图示RC线性电路，各元件特性为：

设电容电压的初始值为0，对以上两式取拉氏变换，得在复数域内电阻、电容均满足欧姆定理：U=ZI，因此，RC网络可看成直流电路网络，用直流电路分析方法分析。其中，ZR=R——阻抗

ZC=1/cs——容抗对应的复数电路如图，由直流电路的分压公式，得

由此可得RC网络的传递函数为

令输入电压ur=1V，Ur(s)=1/s，输出电压象函数为

输出电压时间函数为

取T=RC=2s和4s，绘出输出电压的响应曲线如图，输出是按指数曲线增长的，初始上升率在数值上等于时间常数T的倒数，输出经3T的时间后到达稳定值的95％，所以，网络是一个惯性环节。惯性环节的传递函数为时间常数T是惯性环节的重要参数，T越大，惯性越大，输出上升越缓慢。

积分环节的传递函数为

(3)积分环节积分环节具有下列特性；输出等于输入的积分。令r(t)为输入，c(t)为输出，积分时间常数为T。则积分环节有下列关系式

在零初始条件时，对上式取拉氏变换T=1,则G(S)=1/s，称为纯积分环节。

例2.6图示为积分运算放大器。设输出电压为ur和输入电压为uc，由复数阻抗可得下列关系式;显然为积分环节，积分时间常数T=R0C积分环节的单位阶跃输入响应曲线如图，运放的限幅电路使输出不会无穷大。(4)微分环节理想微分环节的特性；输出等于输入的微分，即输出与输入的变化速度成正比。令微分时间常数为τ。则微分环节有下列关系式

若输入量为单位阶跃函数，即r(t)=1(t)，则输出的单位阶跃响应为在零初始条件时，对上式进行拉氏变换后得传递函数为

这是一个面积为τ的脉冲，脉冲宽为零；幅值为无穷大。理想微分环节在实际中是得不到的。下面看几种实际微分环节的例子。

例2.7图示为一电感元件，若以电流i为输入量，电压u为输出量，则对上式进行拉氏变换得Ls

称为感抗。电感元件可以看作一个微分环节。且形式上满足欧姆定理。在零初始条件的电路网络中R、L、C用复数阻抗形式表示后，可使用直流电路的分析方法。

例2.8图示的近似微分电路的传递函数为式中当τ＜＜1时，才能近似地得到τ=0.01s时单位阶跃响应曲线如图一阶微分环节也不是纯微分环节，一阶微分环节的输出不仅与输入量的变化率有关，而且还和输入量的大小有关。对上式进行拉氏变换得由此可知一阶微分环节的传递函数为

一阶微分环节方框图和单位阶跃响应曲线如图。

例2.9

求图示运算放大器路的传递函数解

联解上列各式得电路的传递函数为式中τ=R0C,是一个一阶微分环节。

(5)二阶振荡环节环节输出与输出量的一阶微分、二阶微分、输出量本身及输入量均有关，多数情况下输出会出现振荡。其微分方程如下零初始条件时，对上求拉氏变换得或写作

式中——阻尼系数

——自然振荡角频率G=tf(3,[113]),step(G)

(6)时迟环节环节的特点：输出信号比输入信号迟后一定时间。其表达式为

式中τ——迟后时间对上式求拉氏变换，可得由此可知迟后环节的传递函数为传输延迟的两个例子如图MATLAB迟后环节的加入用指令：

Gputd=T%T迟后时间例如的单位阶跃响应为

Gs=tf(1);Gs.inputd=0.5

执行后得：Gs=exp(-0.5s)

step(Gs)%绘出Gs的单位阶跃响应曲线与图2-27一样。

系统中有迟后环节，则系统传递函数变为超越方程，给以后系统分析带来不便，故把迟后环节传递函数展开成级数如下

若迟后时间τ足够小，则可忽略上式中τ的高次项，迟后环节传递函数可近似为

上式说明，小时间迟后环节可近似为一个小惯性环节，且惯性时间常数等于迟后时间。§2-4闭环控制系统的动态结构图

动态结构图（简称方框图）是系统模型的图形表达方式，直观地显示了系统的结构及各环节之间的关系。2.4.1结构图的组成与绘制

1.结构图的组成

(1)方框——代表一个元件，元件的传递函数放在方框内,方框外面带箭头的线段表示输入信号和输出信号，信号只能沿箭头方向传递。

(2)分支点——信号分成多路的点。需要注意的是,无论一个分支点引出多少条信号流线,它们都是原始大小的信号。

(3)汇合点——两个以上信号的代数和运算，箭头附近的＋、－号表示信号是相加还是相减。

2.系统结构图的绘制

(1)根据系统的原理框图，将系统划分为多个独立环节。确定系统的输入量和输出量和中间变量（环节的输入、输出量）。

(2)求各个环节的传递函数，写出每个环节输出的象函数。

(3)根据每个环节的输入、输出关系将各个环节连接起来。就得到系统的动态结构图，

例2.10

图RC网络中,电压u1(t)、u2(t)分别为输入量和输出量,绘制系统的结构图。

解将RC看成环节，确定RC的输入、输出量，求出RC的传递函数（即复数阻抗），如图（b）所示。2.4.2闭环系统的结构图

一个闭环负反馈系统通常用图示的结构图来表示。

输出量C(s)反馈到相加点,并且在相加点与参考输入量R(s)进行比较。

图中各信号之间的关系为

C(s)=G1(s)E(s)

E(s)=R(s)-B(s)

B(s)=H(s)C(s)式中E(s)和B(s)分别为偏差信号和反馈信号的拉氏变换,H(s)为反馈通道传递函数。反馈信号B(s)=H(s)C(s)。

反馈信号B(s)与偏差信号E(s)之比,叫做开环传递函数,即

输出量C(s)和偏差信号E(s)之比,叫做前向通道传递函数,即

如果反馈传递函数等于1,那么开环传递函数和前向传递函数相同,并称这时的闭环反馈系统为单位反馈系统。从图2-9可以推出系统输出量C(s)和输入量R(s)之间的关系,具体推导如下:

C(s)=G1(s)E(s)E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-H(s)C(s)

消去E(s)可得

C(s)=G1(s)[R(s)-H(s)C(s)]

所以有

上式就是系统输出量C(s)和输入量R(s)之间的传递函数,称为闭环传递函数。已知闭环传递函数和输入量的拉氏变换，可得系统输出的拉氏变换C(s)：

可见,闭环系统的输出量取决于闭环传递函数和输入量。

2.4.3扰动作用下的闭环系统

实际的系统经常会受到外界扰动的干扰,通常扰动作用下的闭环系统的结构图如图。系统存在两个输入量,即参考输入量R(s)和扰动量N(s)。

扰动作用下的闭环系统结构图

返回

由于线性系统满足叠加原理,可以先对每一个输入量单独地进行处理,然后将每个输入量单独作用时的输出量进行叠加,就可得到系统的总输出量。研究扰动量N(s)对系统的影响时,可以假设参考输入信号R(s)=0,经过简单的推导可以得出系统对扰动的响应CN(s)为

所以,系统输出对扰动的传递函数GN(s)=CN(s)/N(s)为

图

同样在分析系统对参考输入的响应时,可以假设扰动量N(s)=0,这时系统对参考输入量R(s)的响应CR(s)为

所以,系统输出对参考输入的传递函数G(s)=CR(s)/R(s)为

根据线性系统的叠加原理可知,参考输入量R(s)和扰动量N(s)同时作用于系统时,系统的响应(总输出)C(s)为

图§2-5动态结构图的等效变换

利用结构图分析和设计系统时,常常要对结构图进行简化和变换。基本原则是相关联的输出不变。

1.串联环节的简化

几个环节的结构图首尾连接,称这种结构为串联环节。消去中间变量X1(s)和X2(s)得输出X3为由图（b)得输出X3为由图（a)得图（b)是图（a)的等效变换。

结论：n个环节(每个环节的传递函数为Gi(s),i=1,2,…,n)串联的等效传递函数等于n个传递函数相乘。

G(s)=G1(s)G2(s)…Gn(s)MATLAB指令：series(G1,G2)%一次只能两个串联或者G1*G2*…注意：直接用传递函数进行四则运算结果有时不是最简式，可用zpk(.)转换成零极点形式，再手工去掉偶极子。由图（a)消去中间变量X1(s)、X2(s)和X3(s)得输出X4为2.并联环节的简化

两个或多个环节具有同一个输入信号,而以各自环节输出信号的代数和作为总的输出信号,这种结构称为并联环节。结论：n个环节并联，其等效传递函数等于各个环节传递函数相加减。MATLAB求传递函数的并联指令：parallel(G1,G2)%一次只能两个并联或者G1+G2+…..由图（b)

得输出X4和上式完全一样，所以，图（b）是图（a)的等效变换，即图（a）的等效传递函数为3.反馈回路的简化图示为一个基本的反馈回路。闭环传递函数为

例2.11

设负反馈系统传递函数如下，求闭环传递函数。解代入公式，化简得用MATLAB求解：G1=tf([1],[124]);H=tf(1,[11]);G=feedback(G1,H)%求负反馈闭环传递函数结果与手算结果相同。其中：feedback(G,H,sing)是求闭环传递函数指令，sing取－1或者缺省为负反馈，sing取1是正反馈。按公式用MATLAB计算：G=G1/(1+G1*H)ransferfunction:s^3+3s^2+6s+4------------------------------------------------------------s^5+5s^4+16s^3+29s^2+34s+20上式G不是最简式，可用zpk(G)将G转换成零极点形式再消去偶极子，得到最简式：Zero/pole/gain:(s+1)(s^2+2s+4)-----------------------------------------------------------------(s+1.322)(s^2+2s+4)(s^2+1.678s+3.782)消去偶极子重新输入：

s=tf(‘s’);G=

(s+1)

/[(s+1.322)*(s^2+1.678*s+3.782)]可得到与手算结果一样的结果。

4.相加点的移动

5.分支点的移动6.相加点的换位

D=A±B±C=A±C±B

结论：相邻相加点之间可以交换位置。并且,这个结论对于多个相邻的相加点也适用。

图（a）、图（b）的输出D均为

7.分支点的换位从一个信号流线上无论分出多少条信号线,它们都代表同一个信号。所以相邻分支点之间可以随意改变位置。图

2-19相邻分支点的移动

特别注意：汇合点和分支点无论如何都不能交换位置。

例2.11试简化图示结构图,并求系统的传递函数C(s)/R(s)。

解在图中，如果不移动相加点或分支点的位置就无法化简。①将G3(s)和G4(s)之间的分支点移到G4(s)方框的输出端(注意不宜前移）②反复使用反馈回路简化和串联方框化简，可化简成下图：等效传递函数如下：

例2.12系统方框图如图所示，求系统传递函数C(s)/R(s)。解将左边的相加点后移至另一个相加点并与之换位。方框图变成并联方框和反馈方框的串联。注意：经过两个负号，反馈方框为正反馈。§2-6反馈控制系统的传递函数根据实际系统中各环节(子系统)的结构图和信息流向,可建立系统的结构图。在确定系统的输入量和输出量后,经过对系统结构图的简化和运算,就能求出系统的传递函数。

最后的传递函数为

下面举例说明系统动态结构图和传递函数的求取方法。

例2.13

求晶闸管——电动机闭环调速系统的传递函数。

解他激直流电动机的传递函数比较复杂，先求出来，根据电机学的知识，绘出直流电动机的原理图。设电枢电压ud为输入量，电动机转速n为输出量，Rd为电枢回路总电阻，Ld电枢回路总电感，ML为负载转矩。ed为感应电势。

由ud

、Rd、Ld、ed

组成一个电枢电路如图，感应电势ed

与转速n

成正比，因此可得下列方程

再由转矩平衡方程式及电动转矩M与电枢电流Id成正比，可得

对以上两式进行拉氏变换得根据各变量的关系把各环节连接起来，得到电动机动态结构图如图。该例中各物理量的单位为：飞轮矩：N.m2

，转矩：N.m，转速：r/min，时间：s

再考察调速系统的其它环节，得到如下关系：式中Ks——晶闸管整流装置的等效放大系数；

Kp——控制器的比例控制系数；

α——速度反馈系数。结合电动机动态结构图，可绘出晶闸管——电动机闭环调速系统的动态结构图如下：对以上关系式取拉氏变换，得：令负载转矩ML(s)＝0，化简电动机的方框图，得到电动机的传递函数式中——电动机机电时间常数

——电动机电磁时间常数化简转速反馈环，可得系统对于给定信号的传递函数为式中

在给定电压Ug(s)单独作用时，系统的输出转速Ng(s)为

在负载转矩ML(s)单独作用时，令给定电压Ug(s)

＝0。把ML(s)的加入点向前移动，系统方框图变成一个电动机方框外面又包围一个反馈方框，然后和一个方框串联的形式。化简如下：

最后，系统对于负载转矩ML(s)的传递函数为在负载转矩ML(s)单独作用时，系统的输出转速Nm(s)为系统的输出转速N(s)为

§2-7信号流图与梅逊公式信号流图的基本性质：

1)节点标志系统的变量，节点标志的变量是所有流向该节点信号的代数和，用“O”表示；

2)信号在支路上沿箭头单向传递；

3)支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变成另一信号；

4)对一个给定系统，信号流图不是唯一的。

信号流图:

由节点和支路组成的一种信号传递网络。信号流图中常用的名词术语：输入节点：在源节点上，只有信号输出支路而没有信号输入的支路，它一般代表系统的输入变量。

1+R1C1s

x2x5x4

x6-1

x3

x7I(s)R21/R1

x1输出节点：在输出节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它一般代表系统的输出变量。1

信号流图中没有输出节点时，可定义任一变量为输出量,然后从该节点引出一条增益为1的支路,即可形成一输出节点。

混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。注意：混和节点是先进后出，故先分支，后汇合的两个点不能用一个混和节点代替。

前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积称前向通路总增益。

回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称回路。回路上各支路增益之乘积称回路增益。

不接触回路：回路之间没有公共节点时，称它们为不接触回路。2.7.1信号流图的绘制

1.由系统微分方程绘制信号流图

1）将微分方程通过拉氏变换，得到S的代数方程；

2）每个变量指定一个节点；

3）将方程按照变量的因果关系排列；

4）连接各节点，并标明支路增益。G(s)C(s)R(s)G1(s)G2(s)H(s)R(s)E(s)D(s