第19讲 圆的弧长及扇形面积

第19课圆的弧长和图形面积的计算要点梳理1．圆的弧长及扇形面积(1)半径为r，弧为n°的圆心角所对的弧长公式：

l＝____________；(2)半径为r，孤为n°的圆心角所对的扇形面积公式：S＝____________．首页1．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为(

)A．10π

B.

C.

π

D．πC题型分类题型一圆弧长【例1】(2013·玉林)如图，实线部分是半径为15m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长是________m.40π如图，连接O1O2，CD，CO1，CO2，DO1，DO2.∵O1O2＝CO2＝CO1＝15cm，∴∠CO2O1＝60°，∴CD所对的圆心角＝360°－120°＝240°，∴∠CO2D＝120°，首页1．(2013·宜宾)如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中CD，DE，EF，…的圆心按点A，B，C循环．如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是

(结果保留π)．︵︵︵4π例2(2013·黄冈)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为________．【思路分析】如图，根据旋转的性质知，点A经过的路线长是三段：①以90°为圆心角，AD长为半径的扇形的弧长；②以90°为圆心角，AB长为半径的扇形的弧长；③以90°为圆心角，矩形ABCD的对角线长为半径的扇形的弧长．图34－1忽视关键位置的运动路径【问题】如图，将半径为2cm的圆形纸板沿着长和宽分别为16cm和12cm的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，圆心所经过的路线长是____cm.【分析】错误解答是圆心所经过的路线长为2×(16＋12)＝56(cm)．错误在于圆形纸板绕矩形外侧滚动一周，其圆心运动路程实际上不是一个矩形的周长，而是原矩形周长和圆的周长和，如图．【正解】圆心所经过的路线长为2×(16＋12)＋2π×2＝(4π＋56)(cm)．(2)(2013·贵阳)在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，有一个半径为1的硬币与边AB、AD相切，硬币从如图所示的位置开始，在矩形内沿着边AB、BC、CD、DA滚动到开始的位置为止，硬币自身滚动的圈数大约是()A．1圈B．2圈C．3圈D．4圈解析如图，作OE⊥AD，OF⊥AB，则E、F为AD、AB与⊙O的切点，易证四边形OEAF是正方形，则AF＝OE＝1.首页(2)(2013·贵阳)在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，有一个半径为1的硬币与边AB、AD相切，硬币从如图所示的位置开始，在矩形内沿着边AB、BC、CD、DA滚动到开始的位置为止，硬币自身滚动的圈数大约是()A．1圈B．2圈C．3圈D．4圈∵⊙O的周长＝2π×1＝2π，硬币从如图所示的位置开始，在矩形内沿着边AB、BC、CD、DA滚动到开始的位置为止，硬币自身滚动的路程是：2(AB＋BC)－8AF＝20－8＝12，∴硬币自身滚动的圈数大约是：12÷2π≈2(圈)．故选B.B首页要点梳理2．求阴影部分面积的几种常见方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形构造方程法；(5)去重法．首页例3、如图，以矩形ABCD的边AB为直径的半圆切CD于点E，已知AB=a，则夹在BD、DE及弧EB间的阴影部分面积为ABCDO题型分类

题型二扇形面积公式1．如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是(

)A.

B.

C．π－

D．π－第2题图例5．（’１４乐山）如图，正方形ABCD的边长为３，以A为圆心，２为半径作圆弧，以D为圆心，３为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别为S１、Ｓ２．则Ｓ１－Ｓ２＝．要点梳理圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr.(1)圆锥侧面积公式：S圆锥侧＝___________；(2)圆锥全面积公式：S圆锥全＝___________；(3)圆锥侧面展开图扇形圆心角公式：θ＝___________．πrl

πrl＋πr2

首页3．圆锥的侧面积和全面积助学微博三个等量关系(1)展开图扇形的弧长＝圆锥下底的周长；(2)展开图扇形的面积＝圆锥的侧面积；(3)展开图扇形的半径＝圆锥的母线．首页题型分类题型三圆锥【例7】如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不叠合)，求这个圆锥的高．首页知能迁移3(1)(2013·绥化)直角三角形两直角边长是3cm和4cm，以该三角形的边所在直线为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是_________________cm2.(结果保留π)当以3的边所在直线为轴旋转一周时，其所得到的几何体的表面积当以4的边所在直线为轴旋转一周时，其所得到的几何体的表面积首页知能迁移3(1)(2013·绥化)直角三角形两直角边长是3cm和4cm，以该三角形的边所在直线为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是_________________cm2.(结果保留π)当以5的边所在直线为轴旋转一周时，其所得到的几何体为共一个底面的两圆锥，其底面圆的面积半径＝，所以此几何体的表面积首页(2)(2013·佛山)如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线AB与高AO的夹角．(参考公式：圆锥的侧面积

S＝πrl，其中r为底面半径，l为母线长．)分析设出圆锥的半径与母线长，利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长得到圆锥的半径与母线长，进而表示出母线与高的夹角的正弦值，也就求出了夹角的度数．首页(2)(2013·佛山)如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线AB与高AO的夹角．(参考公式：圆锥的侧面积

S＝πrl，其中r为底面半径，l为母线长．)解设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则πl＝2πr，l＝2r，∴母线AB与高AO的夹角为30°.首页答题规范12.圆锥中容易混淆的概念考题再现扇形的半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，求圆锥的侧面积是