灰色系统理论讲稿2010

问题引入某地区最近17年来年度平均降雨量数据（单位：mm）序列为X=(390.6,412.0,320.0,559.2,380.8,542.4,553.0,310.0,561.0,300.0,632.0,540.0,406.2,313.8,576.0,586.6,318.5)如果将年平均降雨量低于320mm时认为旱灾发生，试根据上述数据预测下一次旱灾发生在几年后？灰色系统理论讲稿理学院：翟艺书主要内容（1）什么是灰色系统？（2）灰色系统理论的应用范畴？（3）灰色系统的分析方法？（4）如何建立灰色系统GM（1，1）模型？（5）如何利用灰色系统实现预测？（6）灰色人工神经网络模型？（7）作业1什么是灰色系统？客观世界中很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。灰色系统理论就是研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。该理论以“部分信息已知，部分信息未知”的小样本、贫信息不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取出有价值的信息，从而实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。目前，灰色系统理论应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。

2灰色系统理论的应用范畴？

灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面：（1）灰色关联分析；（2）灰色预测：人口预测；初霜预测；灾变预测….等等；（3）灰色决策；（4）灰色预测控制。3灰色系统的分析方法？

-进行关联分析客观世界中的事物往往现象复杂，因素繁多。我们往往需要对系统进行因素分析，这些因素中哪些对系统来讲是主要的，哪些是次要的，哪些需要发展，哪些需要抑制，哪些是潜在的，哪些是明显的。一般来讲，这些都是我们极为关心的问题。事实上，因素间关联性如何、关联程度如何量化等问题是系统分析的关键和起点。因素分析的基本方法过去主要采取回归分析等办法，但是这种方法需要大量数据作为基础，计算量大。而灰色系统理论采用的关联分析方法可以克服这个弊端。灰色系统理论进行关联分析的两种方法：一根据数据的几何关系分析法；二利用关联公式分析法例如，某地区1977～1983年总收入与养猪、养兔收入资料见表1。

很显然，几何形状越接近，关联程度也就越大。当然，直观分析对于稍微复杂些的问题则显得难于进行。因此，需要给出一种计算方法来衡量因素间关联程度的大小。（1）数据变换技术预处理为保证建模的质量与系统分析的正确结果，对收集来的原始数据必须进行数据变换和处理，使其消除量纲和具有可比性。（2）进行关联度量化计算4如何建立灰色系统

GM（1，1）模型？

1.GM(1,1)模型G表示grey（灰色），M表示model（模型），GM（1，1）表示1阶的、1个变量的模型。设

其中则称为GM(1,1)模型的基本形式。定义1.1定理1.1

设有非负序列：为的1-AGO（即一次累加）序列：

其中；为的紧邻均

值生成序列：

其中若为参数列，

且

则GM(1,1)模型的最小二乘估计参数列满足

定义1.2设为非负序列，为的1-AGO（即一次累加）序列，为的紧邻均值生成序列，则称微分方程为ＧＭ（１，１）模型（灰色方程）的

白化方程，也叫影子方程。定理１.2设如定理1.1中所述，其中,则１.白化方程的解（也称时间响应函数）为２.GM(1,1)模型的时间响应序列为３.还原值2例题设有原始数据序列

X0=(x0(1),x0(2),x0(3),x0(4),x0(5))=(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679)

试用GM(1,1)模型对X0进行模拟第一步：对X0作1-AGO，得X1=(X1(1),X1(2),X1(3),X1(4),X1(5))=(2.874,6.152,9.489,12.897,16.558)第二步：对X1作紧邻均值生成。令得Z1=(Z1(2),Z1(3),Z1(4),Z1(5))=(4.513,7.820,11.184,14.718)可得B,Y第3步：对参数列进行最小二乘估计，得=[-0.03723.06536]第4步：确定模型为时间响应式为第5步：求X1的模拟值第6步：还原出的模拟值，由得对比原数据X0=(x0(1),x0(2),x0(3),x0(4),x0(5))=(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679)

5如何利用灰色系统实现预测？灰色预测是指利用GM模型对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，同时也可以对行为特征的异常情况发生的时刻进行估计计算，以及对在特定时区内发生事件的未来时间分布情况做出研究等等。这些工作实质上是将“随机过程”当作“灰色过程”，“随机变量”当作“灰变量”，并主要以灰色系统理论中的GM(1,1)模型来进行处理。灰色预测在工业、农业、商业等经济领域，以及环境、社会和军事等领域中都有广泛的应用。特别是依据目前已有的数据对未来的发展趋势做出预测分析。灰色预测方法灰色预测的步骤数据的检验与处理首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据序列做必要的检验处理。建立模型按照上节的方法建立灰色模型GM(1,1),则可以得到预测值3．检验预测值4．预测预报由模型GM(1,1)所得到的指定时区内的预测值，根据实际问题的需要，给出相应的预测预报。定义

设原始数据序列相应的预测模型模拟序列:

残差序列:

相对误差序列:灰色灾害预测应用灰色灾害预测实质上是异常值预测，什么样的值算作异常值，往往是人们凭经验主观确定。灰色灾害预测的任务是给出下一个或几个异常值出现的时刻，以便人们提前准备，采取对策。定义：设原始序列X=(x(1),x(2),…,x(n))，给定上限异常值（灾变值）a,称X的子序列Xa(x(q(1)),x(q(2)),……x(q(m)))={x(q(i))>=a,i=1,2,…,m}为上灾变序列。同理，可定义下灾变序列。二者统一称为灾变序列。定义：设X为原始序列，称Q0=(q(1),q(2),……q(m))为灾变日期序列。灾变预测就是要通过对灾变日期序列的研究，寻找其规律性，预测以后若干次灾变发生的日期，灰色系统的灾变预测是通过对灾变日期序列建立GM(1,1)模型实现的。例某地区最近17年来的年度平均降雨量数据（单位：mm）序列为X=(390.6,412.0,320.0,559.2,380.8,542.4,553.0,310.0,561.0,300.0,632.0,540.0,406.2,313.8,576.0,586.6,318.5)如果将年平均降雨量低于320mm时认为旱灾发生，试根据上述数据预测下一次旱灾发生在几年后？解：取灾变值为a=320,得下限灾变序列为Xa=(x(3),x(8),x(10),x(14),x(17))=(320.0,310.0,300.0,313.8,318.5)与之对应的灾变日期序列为Q0=(q(1),q(2),q(3),q(4),q(5))=(3,8,10,14,17)其1-AGO序列为Q1=(3,11,21,35,52)的紧邻均值生成序列为Z1=(7,16,28,43.5)设q(k)+az1(k)=b,易知B,Y,由最小二乘法得[a,b]=[-0.2536616.258339]故灾变日期序列的GM(1,1)序号响应式为即由此可得Q0的模拟序列为由得残差序列为再由相对误差序列由此可计算出平均相对误差为平均相对精度为1-=97.81%，故可用进行预测，即从最近一次旱灾发生的日期算起，5年以后，可能发生旱灾。为了提高预测的可靠程度，可以取若干个不同的异常值，建立多个模型进行预测。计算的MATLAB程序如下：clc,cleara=[390.6,412,320,559.2,380.8,542.4,553,310,561,300,632,540,406.2,313.8,576,587.6,318.5]';t0=find(a<=320);t1=cumsum(t0);n=length(t1);B=[-0.5*(t1(1:end-1)+t1(2:end)),ones(n-1,1)];Y=t0(2:end);r=B\Yy=dsolve('Dy+a*y=b','y(0)=y0');y=subs(y,{'a','b','y0'},{r(1),r(2),t1(1)});yuce1=subs(y,'t',[0:n+1])digits(6),y=vpa(y)%为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解yuce=diff(yuce1);yuce=[t0(1),yuce]例北方某城市1986～1992年道路交通噪声平均声级数据见表6

表6市近年来交通噪声数据[dB(A)]经验证，该模型的精度较高，可进行预测和预报。计算的MATLAB程序如下：clc,clearx0=[71.172.472.472.171.472.071.6];n=length(x0);lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n)range=minmax(lamda)x1=cumsum(x0)fori=2:nz(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1));endB=[-z(2:n)',ones(n-1,1)];Y=x0(2:n)';u=B\Yx=dsolve('Dx+a*x=b','x(0)=x0');x=subs(x,{'a','b','x0'},{u(1),u(2),x1(1)});yuce1=subs(x,'t',[0:n-1]);digits(6),y=vpa(x)%为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解yuce=[x0(1),diff(yuce1)]epsilon=x0-yuce%计算残差delta=abs(epsilon./x0)%计算相对误差rho=1-(1-0.5*u(1))/(1+0.5*u(1))*lamda%计算级比偏差值6灰色人工神经网络模型？灰色GM（1，1）模型利用累加生成后的新数据建模，在一定程度上弱化了原始数据的随机性，容易找出数据变换规律，且具有建模所需样本少的优点。而人工神经网络具有很强的鲁棒性和容错性,同时由于结构上的并行性,使得它有很强大的并行处理能力、自学习、自组织、自适应能力,可以充分逼近任意复杂的非线性关系。灰色神经网络的提出正是结合了二者的优点。灰色BP网络建模原理及方法设有时间序列{x0(i)},i=1,2,…,n,利用GM(1,1)模型可得模拟值定义：时刻L的原始数据x0(L)与GM(1,1)模型模拟值之差，记为,即1)建立残差序列{}的BP网络模型设{}为残差序列，i=1,2,…,n,若预测阶数为S,即用的信息来预测i时刻的值，将作为BP网络训