第三章布朗运动2

§2.与布朗运动有关的随机过程过程1：d维布朗运动过程2：布朗运动相关函数均值函数布朗运动是一个高斯过程性质带漂移的布朗运动的民用航空发动机实时性能可靠性预测，航空动力学报2009，Vol.1,No.12.任淑红布朗运动是一个高斯过程证明对任意自然数不是一般性，取n个不同的时间指标定义增量则过程3：布朗桥则称

为从0到0的布朗桥均值函数相关函数性质，从0到0的布朗桥是高斯过程例设常数定义从a到b的布朗桥：证明：(2)从a到b的布朗桥是高斯过程,且

布朗桥在研究经验分布函数中起着非常重要的作用。设X1,X2,…Xn,…独立同分布，Xn~U(0,1)，对0<s<1,记Nn(s)表示前n个X1,X2,…Xn

中取值不超过s的个数，称Fn(s)为经验分布函数。显然Nn(s)~B(n,s)，由强大数定理有补充：布朗桥在统计中的应用由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.则所以的极限过程是一正态过程。可以证明的联合分布趋于二维正态分布。所以当n→∞时，的极限过程即为布朗桥过程。一般的，设X1,X2,…Xn,…独立同分布，F(x)为分布函数，则随机变量F(Xi)~U(0,1)。记类似可讨论的极限分布。过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）均值函数相关函数股票价格服从几何布朗运动的证明谢惠扬过程5：反射布朗运动均值函数过程6：奥恩斯坦-乌伦贝克过程其中均值函数相关函数补充：随机变量序列或随机过程均方极限均方连续均方可导均方可积1．均方极限的定义定义设如果则称{Xn,n=1,2,…}均方收敛于X,或称X为{Xn,n=1,2,…}的均方极限，记为2

均方连续设{X(t),t∈T}是二阶矩过程,t0∈T,若则称{X(t),t∈T}在t0处均方连续

若对任意的t∈T,{X(t),t∈T}在t处均方连续,则称

{X(t),t∈T}在T上均方连续.

或称

{X(t),t∈T}是均方连续的.1.均方连续定义3

均方导数1.均方导数的定义

设是二阶矩过程，若均方极限存在,则称此极限为在t0点的均方导数.或这时称在t0处均方可导．记为

4

均方积分1.均方积分的定义设{X(t),t∈[a,b]}是二阶矩过程，f(t,u)是[a,b]×U上的普通函数，对区间[a,b]

任一划分作和式如果以下均方极限存在该均方极限值Y(u)称为在[a,b]上的均方积分.且此极限不依懒于对[a,b]的分法及的取法,则称在[a,b]上均方可积.记为即结论

设二阶矩过程{X(t),t∈T}均方可导.则(1)导数过程的均值函数等于原过程均值函数的导数，即(2)导数过程和原过程的互相关函数等于原过程的相关函数关于s的偏导数，即(3)原过程和导数过程的互相关函数等于原过程的相关函数关于t的偏导数，即的的(4)导数过程相关函数等于原过程相关函数的二阶混合偏导数，即是参数为定义设的Wiener过程.如果存在实随机过程以为其相关函数，则称该过程为Wiener过程的导数过程．记为从而称参数为的Wiener过程的导数过程为参数为的白噪声过程或白噪声.七.布朗运动的导数过程八.布朗运动的积分过程积分布朗运动是正态过程九：在某点被吸收的布朗运动本章作业1.2.3.6