理论力学第12章动能定理

第十二章动能定理理论力学

1第十二章动能定理动能定理动能的改变与作用力的功之间的关系

引言：本章讨论机械运动的另一种度量——动能以及动能的改变与作用力的功之间的关系（动能定理）。机械运动除保持机械运动的传递形式外，还可转变为其他形式的运动（如热、电、光等）。前面讨论了物体机械运动的一种度量——动量，并建立了动量的改变与作用于质点或质点系的力之间的关系。2§12-1力的功

一、

常力在直线运动中的功单位J（焦耳）1J=1N·m

第十二章动能定理θ＞90°时，功为负值；当θ＜90°时，功为正值；当θ=90°时，即力和位移方向垂直，力在此位移上不作功。3二、变力在曲线运动中的功1、元功：变力F在无限小位移dr上所作的功。第十二章动能定理自然轴系的元功：直角坐标形式的元功：2、功当质点从M1运动到M2时，力F所作的功W就等于在这段路程中所有元功之和。4三、合力的功合力之功定理第十二章动能定理合力所作的元功等于各分力的元功的代数和；合力在质点任一段路程中所作的功，等于各分力在同一路段中所作的功的代数和。则51、重力的功质点系由重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。得第十二章动能定理四、几种常见力的功62、弹性力的功弹簧自然长度L0，一段固定于O，另一端系一质点M。弹簧刚度系数k(N/m)弹性力的功为第十二章动能定理—单位矢量弹性力7得即弹性力的功也与路径无关第十二章动能定理时弹簧的变形量和始末位置分别表示质点在运动的21022011,MMlrlr-=-=dd83.作用于转动刚体上的力及力偶的功则若常量由得从角转动到角过程中力的功为第十二章动能定理设刚体绕固定轴Z转动，一力F作用在刚体上M点。若刚体有微小转角dφ，则力F在弧长ds上所作的元功为：即作用于转动刚体上的力的元功等于该力对于转轴的力矩与刚体微小转角的乘积。94.摩擦力的功第十二章动能定理摩擦力阻碍物体的运动，摩擦力做负功；有时摩擦力对物体起着主动力的作用，这时摩擦力做正功。如果纯滚动时（只滚不滑）：刚体与固定轨道的接触点为刚体的速度瞬心，因而该点的速度为零，同时该点也为摩擦力的作用点。刚体沿固定轨道作纯滚动时（只滚不滑），其接触点处的摩擦力不作功。105.内力的功第十二章动能定理刚体内各质点间相互作用的内力的功之和恒等于0。11§12-2动能二、质点系的动能一、质点的动能瞬时量，动能标量，动量mv矢量单位第十二章动能定理质点系在某一位置时各质点的动能之和称为质点系在该位置的动能。12第十二章动能定理质点做任意运动时，直接利用上式较复杂，可将质点系的运动分解为随质心C的平动和相对于质心C的运动。设质心速度vC，任一质点Mi相对于质心C的的速度为vir，根据速度合成定理，Mi的绝对速度为：二、质点系的动能于是有：质点系的动能等于质点系随同质心C的平动的动能与质点系相对于质心C运动的动能之和。——柯尼希定理。13三．刚体的动能riZ3．平面运动刚体2．定轴转动刚体1．平动刚体P第十二章动能定理作平面运动的刚体的动能，等于刚体随质心平动的动能与绕质心转动的动能之和。或等于刚体绕速度瞬心轴转动的动能。14§12-3动能定理1．质点的动能定理：质点动能定理的微分形式质点动能定理的积分形式第十二章动能定理15对质点系中的一质点：质点系动能定理的积分形式对整个质点系，有:2．质点系的动能定理

质点系动能定理的微分形式即:第十二章动能定理质点系动能的改变量，等于作用于质点系上的所有力在同一运动过程中所作的功的代数和。——质点系积分形式动能定理161．质点系内力的功

只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。第十二章动能定理2．理想约束反力的功刚体内各质点间相互作用的内力的功之和恒等于0。不可伸长的绳索内力功之和等于零。关于功的讨论173、理想约束

光滑固定面固定铰支座、光滑铰链、柔索类等约束的约束力作功等于零.称约束力作功等于零的约束为理想约束.

对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可.

应用动能定理求解例12-2，P197第十二章动能定理18解:例

已知:m,h,k,其它质量不计.求:第十二章动能定理19例

已知：轮O的R1

、m1,质量分布在轮缘上;均质轮C

的R2、m2纯滚动,初始静止;θ,M

为常力偶。求:轮心C

走过路程S时的速度和加速度第十二章动能定理20轮C与轮O共同作为一个质点系解:第十二章动能定理21第十二章动能定理22上式两端对t求导,得第十二章动能定理23§12-4势力场、势能、机械能守恒定律2．有势力：在势力场中质点所受的力。简称势力。

重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。1．势力场：如上面两个例子，在力场中运动时，做的功只于位置有关与路径无关，这种力场叫势力场。

一．势力场第十二章动能定理力场：设存在一空间，当质点进入该部分空间时，就受到一个大小和方向都完全由所在的位置确定的力的作用，这部分空间就叫力场。如质点在地球表面受重力作用，地球表面空间叫重力场。离地球表面较远时，质点受万有引力作用，在地球表面较远的空间叫引力场。24

称势能零点二．势能：有势力对零势点的功用V表示。

第十二章动能定理1.重力场中的势能质点质点系有势力所作的功称为质点在点M相对于基准点M0的势能。质点在势力场中从位置M运动到M0时，有势力的功为：252.弹性力场的势能第十二章动能定理δ

为质点在位置M时的弹簧的变形量。26三.机械能守恒定律机械能守恒.T+V称为机械能第十二章动能定理质点系在非有势力作用下运动，机械能不守恒。在质点系的运动过程中，机械能和其他形式的能量之和仍保持不变，这就是能量守恒定律。质点系在仅有势力作用下运动时，其机械能保持不变。27

例

：已知：重物m=250kg,以v=0.5m/s匀速下降，钢索

k=3.35×N/m.不计轮重.求:轮D突然卡住时，钢索的最大张力.δstmgδmaxⅠⅡ自然位置平衡位置D第十二章动能定理28卡住前

卡住前:解:δstmgδmaxⅠⅡ自然位置平衡位置D第十二章动能定理卡住后29得由有δstmgδmaxⅠⅡ自然位置平衡位置D第十二章动能定理即30选桌面高度为重力场势能零点12-71

应用机械能守恒定律求解例12-2第十二章动能定理l-bb31§12-5动力学普遍定理及综合应用

一、动力学普遍定理:动量定理、动量矩定理、动能定理。第十二章动能定理二、动力学两类问题：1.已知力求运动，优先用动能定理、动量矩定理2.已知运动求力，用动量、质心运动定理三、综合问题：已知力求力力动能定理动量矩定理运动质心运动定理动量定理力32求：重物下降h时,v、a及滚轮与地面的摩擦力.

长处无初速释放.例:已知两均质轮m,R

;物块m,ｋ,纯滚动,于弹簧原第十二章动能定理33解:第十二章动能定理α34将式（a）对t

求导（a）第十二章动能定理得35其中第十二章动能定理求地面的摩擦力，取滚轮为研究对象：36例

已知：均质杆长l，质量

m，静止