第三讲 趋势外推预测法

趋势外推预测法时间序列同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的数列形式上由现象所属的时间和现象在不同时间上的观察值两部分组成排列的时间可以是年份、季度、月份或其他任何时间形式国内生产总值等时间序列年份国内生产总值(亿元)年末总人口(万人)人口自然增长率(‰)居民消费水平(元)19901991199219931994199519961997199818547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674772.479552.811433311582311717111851711985012112112238912362612481014.3912.9811.6011.4511.2110.5510.4210.069.538038961070133117812311272629443094时间序列的分类时间序列平均数序列绝对数序列相对数序列时期序列时点序列时间序列的分类例：时间序列分析先把时间序列描绘在坐标图上，坐标的横轴表示时间t，坐标的纵轴表示所分析的经济变量下图描述了某商店某年前10个月的销售额某企业从1990年1月到2002年12月的销售数据（单位：百万元）

从这个点图可以看出。总的趋势是增长的，但增长并不是单调上升的；有涨有落。但这种升降不是杂乱无章的，和季节或月份的周期有关系。除了增长的趋势和季节影响之外，还有些无规律的随机因素的作用。时间序列变动形态时间序列是指某种统计指标的数值，按照时间先后顺序排列起来的数列。时间序列的变动形态一般分为四种：长期趋势变动，季节变动，循环变动，不规则变动。时间序列长期趋势季节变动循环变动不规则变动时间序列的基本模式1、长期趋势：是时间序列的主要构成要素，指由于某种根本性因素的影响，时间序列在较长时间内朝着一定的方向持续上升或下降，以及停留在某一水平上的倾向。它反映了事物的主要变化趋势。

2、季节变动：指由于自然条件和社会条件（生产生活条件）的影响，时间序列在一年内随着季节的转变而引起的周期性变动。

3、循环变动：是近乎规律性的周而复杂始的变动，是以数年为周期的周期变动。

4、不规则变动：是指由各种偶然性因素引起的无周期变动。

时间序列的特征含有长期趋势因素（T）含有季节变动因素（S）时间序列的走势按日历时间周期起伏。如，季节性商品季度、月份销售量；火车客运量；居民用电、用水量等。含有循环变动因素（C）其走势也呈周期性变化，但不是在一个不变的时间间隔中反复出现，而且每一周期长度一般有若干年。中、长期预测需考虑。含有不规则变动因素（I）时间序列的组合形式（1）加法型（2）乘法型

（3）混合型

其中：Yt为时间序列的全变动；Tt为长期趋势；St为季节变动；Ct为循环变动；It为不规则变动。

ttYYY=T+S+C+IY=T×S×C×I时间序列的基本特征时间序列变化的基本特征是指各种时间序列表现出的具有共性的变化规律，如趋势变化、周期性变化等根据时间序列变化的基本特征，它们可以分为：呈水平形变化的时间序列呈趋势变化的时间序列呈周期变化的时间序列具有冲动点的时间序列具有转折变化的时间序列呈阶梯形变化的时间序列呈水平型变化的时间序列经济变量的发展变化比较平稳，没有明显的上升或下降趋势，也没有较大幅度的上下波动如处于市场饱和状态的产品销售量，生产过程中出现的稳定的次品率。Ytt呈趋势变化的时间序列上升或下降的趋势变化，长期趋势变化Ytt呈周期型变化的时间序列Ytt具有冲动点（Impulse）变化的时间序列Ytt具有阶梯型变化的时间序列Ytt时间序列的转折性变化Ytt趋势外推法的基本思想 ●某些客观事物的发展变化相对于时间推移，常表现出一定的规律性：

如：经济现象（指标）随着时间的推移呈现某种上升或下降趋势，这时，若作为预测对象的该经济现象（指标）变化又没有明显的季节性波动迹象，理论上就可以找到一条合适的函数曲线反映其变化趋势。可建其变化趋势模型（曲线方程）：

●当有理由相信这种趋势可能会延伸到未来时，对于未来时点的某个Ｙ值（经济指标未来值）就可由上述变化趋势模型（直线方程）给出。这就是趋势外推的基本思想。

●趋势外推的条件有２：变化趋势的时间稳定性、曲线方程存在。常见的趋势线直线指数曲线二次曲线三次曲线修正指数曲线龚柏兹曲线某家用电器厂1998～2008年利润额数据年份19931994199519961997199819992000200120022003利润额yt2003003504005006307007508509501020某商场某种商品过去9个月的销量数据某商场过去9年市场需求量统计数据●基于２大条件（趋势的时间稳定性、曲线方程存在）趋势曲线：惯性原理：一切物体在没有受到外力作用时，总保持匀速直线运动状态或者静止状态。但匀速直线运动状态或者静止状态是相对的:惯性原理的两个前提：周围没有引力场吸引；前方没有障碍物阻挡。

假设条件：技术（或经济）发展的因素，不但决定了过去技术的发展，而且在很大程度上决定了其未来的发展。即某项技术在其过去、现在、未来的发展过程中，内、外因相对保持不变。其变化属渐进式变化，而不属于跳跃式变化。二、趋势外推法：原理与假设三个例子：预测未来两期的指标水平某家用电器厂1998～2008年利润额序列数据y2004预测y2005预测某商场某种商品过去9个月的销量序列数据y11预测Y10预测y2004预测y2005预测某商场过去9年市场需求量序列数据直线趋势外推法适用条件：时间序列数据（观察值）呈直线上升或下降的情形。该预测变量的长期趋势可以用关于时间的直线描述，通过该直线趋势的向外延伸（外推），估计其预测值。两种处理方式：拟合直线方程与加权拟合直线方程例1

某家用电器厂1993～2003年利润额数据资料如表3.1所示。试预测2004、2005年该企业的利润。年份19931994199519961997199819992000200120022003利润额yt2003003504005006307007508509501020？？?A拟合直线方程法使用最小二乘法拟合直线概念：离差与离差平方ee最小拟合程度最好★最小二乘法原理★★最小二乘法原理★本质:使历史数据到拟合直线上的离差平方和最小，从而求得模型参数的方法。演进：法国数学家勒让德于1806年首次发表最小二乘理论。事实上，德国的高斯于1794年已经应用这一理论推算了谷神星的轨道，但直至1809年才正式发表。应用：最小二乘法也是数理统计中一种常用的方法，在工业技术和其他科学研究中有广泛应用。运算过程：最小二乘法1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。法国科学家勒让德于1806年独立发现“最小二乘法”。但因不为时人所知而默默无闻。勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。

1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。最小二乘法公式∑(X—X平)(Y—Y平)

=∑(XY—X平Y—XY平+X平Y平)

=∑XY—X平∑Y—Y平∑X+nX平Y平=∑XY—nX平Y平—nX平Y平+nX平Y平=∑XY—nX平Y平∑(X—X平)^2

=∑(X^2—2XX平+X平^2)

=∑X^2—2nX平^2+nX平^2

=∑X^2—nX平^2x=12345678910111213………………代入相应的x，得出预测值y………………解例1

某家用电器厂1993~2003年利润额数据资料如表3.1所示。试预测2004、2005年该企业的利润。年份19931994199519961997199819992000200120022003利润额2003003504005006307007508509501020年份利润额yt199320019943001995350199640019975001998630199970020007502001850200295020031020xt1234567891011xt2149162536496481100121xt*yt2006001050160025003780490060007650950011220预测值y191273.7356.4439.1521.8604.5687.2769.9852.6935.31018∑66506650649000对于时间序列，xt

的取值为1到n,即自变量xt

的取值等于其下标t。采用正负对称编号法可简化计算。特别，当n为奇数时，取其中位数的编号为0，可使

拟合直线方程法的特点拟合直线方程的一阶差分为常数（一阶导数为常数）只适用于时间序列呈直线上升（或下降）趋势变化。对时间序列数据，不论其远近都一律同等看待。用最小二乘原理拟合的直线方程消除了不规则因素的影响，使趋势值都落在拟合的直线上。基本过程如下图:拟合直线方程法预测步骤图开始习题：某市1978—1986年化纤零售量如表所示，试预测1987年化纤零售量。

某市化纤零售量及其一阶差分

单位：万米年份197819791980198119821983198419851986零售量265297333370405443474508541加权拟合直线方程法拟合直线方程法简析：拟合直线方程法的基本思想是要使预测结果与实际数据的误差的平方和达到最小。离差平方和是每期的实际值与该期的预测值的偏差值的平方和，意味着：中的每一项都有同样的重要性，即无论这个误差是近期的或是远期的，都赋予同等的权重。但实际情况是，对于预测精度来说，近期误差比远期的误差更为重要。在拟合直线方程时，按照时间先后，本着重今轻远的原则，对离差平方和进行赋权，然后再按最小二乘原理，使离差平方和达到最小，求出加权拟合直线方程。由近及远的离差平方和的权重分别为其中，说明对最近期数据赋予最大权重为1，而后有近及远，按比例递减。各期权重衰减的速度取决于的取值。B：加权拟合直线方程法基本思想衰减速度越慢衰减速度越快？加权拟合直线方程法的过程与模型？？加权拟合直线方程法的过程与模型使用加权拟合直线方程法解前例1

某家用电器厂1993~2003年利润额数据资料如下表所示。试预测2004、2005年该企业的利润。年份19931994199519961997199819992000200120022003利润额2003003504005006307007508509501020年份xt利润额ytn-ta(n-t)a(n-1)yta(n-1)xtyta(n-1)xta(n-1)xt219931200100.107421.474836521.474836480.1073740.1073741821994230090.134240.265318480.53063680.2684350.5368709121995335080.167858.720256176.1607680.5033161.509949441996440070.209783.88608335.544320.8388613.35544321997550060.2621131.072655.361.310726.55361998663050.3277206.43841238.63041.9660811.796481999770040.4096286.722007.042.867220.07042000875030.512038430724.09632.7682001985020.640054448965.7651.8420021095010.80007607600880200311102001.000010201122011121∑4.57053536.576931302.741036.7180329.5381预测模型为：使用加权拟合直线方程法解题

结论分析由于时间序列线性趋势比较明显，又由于加权系数较大(0.8)，使得，加权与不加权拟合结果相近。加权的重近轻远原则，使其预测结果更接近于实际观察值。拟合直线方程法的特殊运用在现实生活中，我们常常会遇到比线性（直线）发展趋势更为复杂的问题。例子：某商品过去九年的市场总需求量时间（年）123456789总需求量（件）16527045074012202010312054609000作图观察其变化趋势（图中公式为趋势线函数方程）：某商品过去九年的市场总需求量又例2:某公司1991～2003年销售额（单位：万元）拟合直线方程的特殊运用

------非线性问题的线性化上述特别的变化趋势在实际生活中，常常会遇到比线性发展趋势更为复杂的描述问题。但在某些情况下，我们可以通过适当的变量变换，将变量间的关系式化为线性的形式。如：在满足的变量关系中，a、b，均为与t无关的未知参数，只要令，即可将其化为线性形式关系：变换变换常用转换模型（3-1）常用转换模型（3-2）对于上式两边取对数：令：则有：常用转换模型（3-3）运用拟合直线方程法，可求得：进一步用正负编号法 例子：某公司1993～2005年产品的销售额如下表，试预测2006年的产品销售额。（非线性变化趋势）观察期销售额199318199472199590199621019972701998390199957020009002001150020022310200340502004480020055400

观察期销售额xtxt2lnytxt

lnyt199318-6362.890-17.342199472-5254.277-21.383199590-4164.500-17.9991996210-395.347-16.0411997270-245.598-11.1971998390-115.966-5.9661999570006.3460.0002000900116.80