高中数学必修1-5新课程创新教学设计案例共50课时

...wd......wd......wd...1集合的概念和表示方法教材分析集合概念的基本理论，称为集合论．它是近、现代数学的一个重要根基．一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建设在集合理论的根基上．另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集〔整数的集合、有理数的集合〕、点集〔直线、圆〕等，有了一定的感性认识．这节内容是初中有关内容的深化和延伸．首先通过实例引出集合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子．本节的重点是集合的基本概念与表示方法，难点是运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法正确表示一些简单的集合．教学目标1.初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法．2.初步了解“属于〞关系的意义，理解集合中元素的性质．3.掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言〔集合语言〕，培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力．任务分析这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解，这里主要根据实例引出概念．介绍集合的概念采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易承受．在引出概念时，从实例入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念．集合的表示方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生掌握．教学设计一、问题情境1.在初中，我们学过哪些集合2.在初中，我们用集合描述过什么学生讨论得出：在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合〞，“负数的集合〞；在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．3.“集合〞一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近学生讨论得出：“全体〞、“一类〞、“一群〞、“所有〞、“整体〞，……4.请写出“小于10”的所有自然数．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．这些可以构成一个集合．5.什么是集合二、建设模型1.集合的概念〔先具体举例，然后进展描述性定义〕〔1〕某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集．〔2〕集合中的每个对象叫作这个集合的元素．〔3〕集合中的元素与集合的关系：a是集合A中的元素，称a属于集合A，记作a∈A；a不是集合A中的元素，称a不属于集合A，记作aA．例：设B＝｛1，2，3｝，那么1∈B，4B．2.集合中的元素具备的性质〔1〕确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了．如上例，给出集合B，4不是集合的元素是可以确定的．〔2〕互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的．例：假设集合A＝｛a，b｝，那么a与b是不同的两个元素．〔3〕无序性：集合中的元素无顺序．例：集合｛1，2｝与集合｛2，1｝表示同一集合．3.常用的数集及其记法全体非负整数的集合简称非负整数集〔或自然数集〕，记作N．非负整数集内排除0的集合简称正整数集，记作N*或N+；全体整数的集合简称整数集，记作Z；全体有理数的集合简称有理数集，记作Q；全体实数的集合简称实数集，记作R．4.集合的表示方法［问题］如何表示方程x2－3x＋2＝0的所有解〔1〕列举法列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法．例：x2－3x＋2＝0的解集可表示为｛1，2｝．〔2〕描述法描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法．例：①x2－3x＋2＝0的解集可表示为｛x｜x2－3x＋2＝0｝．②不等式x－3＞2的解集可表示为｛x｜x－3＞2｝．③Venn图法例：x2－3x＋2＝0的解集可以表示为〔1，2〕．5.集合的分类〔1〕有限集：含有有限个元素的集合．例如，A＝｛1，2｝．〔2〕无限集：含有无限个元素的集合．例如，N．〔3〕空集：不含任何元素的集合，记作．例如，｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝＝．注：对于无限集，不宜采用列举法．三、解释应用［例题］1.用适当的方法表示以下集合．〔1〕由1，2，3这三个数字抽出一局部或全部数字〔没有重复〕所组成的一切自然数．〔2〕平面内到一个定点O的距离等于定长l〔l＞0〕的所有点P．〔3〕在平面a内，线段AB的垂直平分线．〔4〕不等式2x－8＜2的解集．2.用不同的方法表示以下集合．〔1〕｛2，4，6，8｝．〔2〕｛x｜x2＋x－1＝0｝．〔3〕｛x∈N｜3＜x＜7｝．3.A＝｛x∈N｜66－x∈N｝．试用列举法表示集合A．〔A＝｛0，3，5｝〕4.用描述法表示在平面直角坐标中第一象限内的点的坐标的集合．［练习］1.用适当的方法表示以下集合．〔1〕构成英语单词mathematics〔数字〕的全体字母．〔2〕在自然集内，小于1000的奇数构成的集合．〔3〕矩形构成的集合．2.用描述法表示以下集合．〔1〕｛3，9，27，81，…｝．〔2〕四、拓展延伸把以下集合“翻译〞成数学文字语言来表达．〔1〕｛〔x，y〕｜y＝x2＋1，x∈R｝．〔2〕｛y｜y＝x2＋1，x∈R｝．〔3〕｛〔x，y〕｜y＝x2＋1，x∈R｝．〔4〕｛x｜y＝x2＋1，y∈N*｝．点评这篇案例注重新、旧知识的联系与过渡，以旧引新，从学生的原有知识、经历出发，创设问题情境；从实例引出集合的概念，再结合实例让学生进一步理解集合的概念，掌握集合的表示方法．非常注重实例的使用是这篇案例的突出特点．这样做，通俗易懂，使学生便于学习和掌握．例题、练习由浅入深，对培养学生的理解能力、表达能力、思维能力大有裨益．拓展延伸注重数学语言的转化和训练，注重区分形似而质异的数学问题，加强了学生对数学概念的理解和认识．2集合之间的关系教材分析集合之间的关系是集合运算的根基和前提，是用集合观点理清集合之间内在联系的桥梁和工具．这节内容是对集合的基本概念的深化，延伸，首先通过类比、实例引出子集的概念，再结合实例加以说明，然后通过实例说明子集包括真子集和两集合相等两种情况．这节内容的教学重点是子集的概念，教学难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别．教学目标1.通过对子集概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念产生和形成的过程，培养学生的抽象、概括能力．2.了解集合的包含、相等关系的意义，理解子集、真子集的概念，培养学生对数学的理解能力．3.通过对集合之间的关系即子集的学习，初步体会数学知识发生、开展、运用的过程，培养学生的科学思维方法．任务分析这节内容是在学生已经掌握了集合的概念和表示方法以及两个实数之间有大小关系的根基上，进一步学习和研究两个集合之间的关系，采用从实例入手，由具体到抽象，由特殊到一般，再由抽象、一般到具体、特殊的方法，知识的产生、发生比较自然，易于学习、承受和掌握；采用分类讨论的方法阐述子集包括真子集、等集〔两集合相等〕两种情况，这可以使学生更好地认识子集、真子集、等集三者之间的内在联系．教学设计一、问题情境1.元素与集合之间的关系是什么元素与集合是附属关系，即对一个元素x是某集合A中的元素时，它们的关系为x∈A．假设一个对象x不是某集合A中的元素时，它们的关系为xA．2.集合有哪些表示方法列举法，描述法，Venn图法．数与数之间存在着大小关系，那么，两个集合之间是不是也存在着类似的关系呢先看下面两个集合：A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝．它们之间有什么关系呢二、建设模型1.引导学生分析讨论集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素．集合B中的元素4，5不是集合A中的元素．2.与学生共同归纳，明晰子集的定义对于上述问题，教师点拨，A是B的子集，B不是A的子集．子集：对于两个集合A，B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作AB〔或BA〕，就说集合A是集合B的子集．用符号语言可表示为：如果任意元素x∈A，都有x∈B，那么AB．规定：空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A，有A．3.提出问题，组织学生讨论给出三个集合：A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝，C＝｛1，2，3｝．〔1〕A是B的子集吗B是A的子集吗〔2〕A是C的子集吗C是A的子集吗4.教师给出真子集与两集合相等的定义上述问题中，集合A是集合B的子集，并且集合B中有元素不属于集合A，这时，我们就说集合A是集合B的真子集；集合A是集合C的子集，且集合A与集合C的元素完全一样，这时，我们就说集合A与集合C相等．真子集：如果集合A是集合B的子集，即AB，并且B中至少有一个元素不属于集合A，那么集合A叫作集合B的真子集，记作AB或BA．AB的Venn图为两集合相等：如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，即AB，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A中的元素，即BA，那么就说集合A等于集合B，记作A＝B．A＝B的Venn图为思考：设A，B是两个集合，AB，AB，A＝B三者之间的关系是怎样的5.子集、真子集的有关性质由子集、真子集的定义可推知：〔1〕对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC．〔2〕对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC．〔3〕AA．〔4〕空集是任何非空集合的真子集．三、解释应用［例题］1.用适当的符号〔∈，，＝，，〕填空．〔1〕3___________｛1，2，3｝．〔2〕5___________｛5｝．〔3〕4___________｛5｝．〔4〕｛a｝___________｛a，b，c｝．〔5〕0___________．〔6〕｛a，b，c｝___________｛b，c｝．〔7〕___________｛0｝．〔8〕___________｛｝．〔9〕｛1，2｝___________｛2，1｝．〔10〕G＝｛x｜x是能被3整除的数｝___________H＝｛x｜x是能被6整除的数｝．2.写出集合｛a，b｝的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．3.说出以下每对集合之间的关系．〔1〕A＝｛1，2，3，4，｝，B＝｛3，4｝．〔2〕P＝｛x｜x2＝1｝，Q＝｛-1，1｝．〔3〕N，N*．〔4〕C＝｛x∈R｜x2＝-1｝，D＝｛0｝．［练习］1.用适当的符号〔∈，，＝，，〕填空．〔1〕a___________｛a｝．〔2〕b___________｛a｝．〔3〕___________｛1，2｝．〔4〕｛a，b｝___________｛b，a｝．〔5〕A＝｛1，2，4｝___________B＝｛x｜x是8的正约数｝．2.求以下集合之间的关系，并用Venn图表示．A＝｛x｜x是平行四边形｝，B＝｛x｜x是菱形｝，C＝｛x｜x是矩形｝，D＝｛x｜x是正方形｝．拓展延伸填表表2-1集合集合中元素的个数子集的个数真子集的个数｛a｝1

｛a，b｝2

｛a，b，c｝3

｛a，b，c，d｝4

……

〔1〕你能找出“集合中元素的个数〞与“子集的个数〞、“真子集的个数〞之间关系吗〔2〕如果一个集合中有n个元素，你能写出计算它的所有子集个数与真子集个数的公式吗〔用n表达〕点评这篇案例构造严谨，思路清晰，概念和关系的引出注重从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认识过程．具体地说就是，先结合实例研究两个具体集合的关系，从而引出子集的定义，然后再结合实例说明AB，包括AB，A＝B两种情况，再给出真子集、等集的定义．这样的处理方式，符合学生的认知规律，符合新课程的理念，例题与练习由浅入深，注重数形结合，使学生从不同角度加深了对集合之间的关系的理解．拓展延伸注重培养学生从特殊到一般地解决数学问题的能力．值得注意的是，在引出子集定义时，最好明确指出，集合之间的“大小〞关系实质上就是包含关系．3逻辑联结词教材分析在初中阶段，学生已接触了一些简单命题，对简单的推理方法有了一定程度的了解．在此根基上，这节课首先从简单命题出发，给出含有“或〞、“且〞、“非〞的复合命题的概念，然后借助真值表，给出判断复合命题的真假的方法．在高中数学中，逻辑联结词是学习、掌握和使用数学语言的根基，是高中数学学习的出发点．因此，在教学过程中，除了关注和初中知识密切的联系之外，还应借助实际生活中的具体例子，以便于学生理解和掌握逻辑联结词．教学重点是判断复合命题真假的方法，难点是对“或〞的含义的理解．教学目标1.理解逻辑联结词“或〞、“且〞、“非〞的含义，了解“或〞、“且〞、“非〞的复合命题的构成．2.能熟练判断一些复合命题的真假性．3.通过逻辑联结词的学习，使学生初步体会数学语言的严密性，准确性，并在今后数学学习和交流中，能够准确运用逻辑联结词．任务分析在初中数学中，学生已经学习了一些关于命题的初步知识，但是，对命题和开语句的区别往往搞不清．因此，应首先让学生弄懂命题的含义，以便其掌握复合命题．由于逻辑中的“或〞、“且〞、“非〞与日常用语中的“或〞、“且〞、“非〞的意义不完全一样，故要直接讲清楚它们的意义，比较困难．因此，开场时，不必深讲，可以在学习了有关复合命题的真值表之后，再要求学生根据复合命题的真值表，对“或〞、“且〞、“非〞加以理解，这样处理有利于掌握重点，突破难点．为了加深对“或〞、“且〞、“非〞的理解，最后应设计一系列的习题加以稳固、深化对知识的认识程度．教学设计一、问题情境生活中，我们要经常用到许多有自动控制功能的电器．例如，洗衣机在甩干时，如果“到达预定的时间〞或“机盖被翻开〞，就会停机，即当两个条件至少有一个满足时，就会停机．与此对应的电路，就叫或门电路．又如，电子保险门在“钥匙插入〞且“密码正确〞两个条件都满足时，才会开启．与此对应的电路，就叫与门电路．随着高科技的开展，诸多科学领域均离不开类似以上的逻辑问题．因此，我们有必要对简易逻辑加以研究．二、建设模型在初中，我们已学过命题，知道可以判断真假的语句叫作命题．试分析以下8个语句，说出哪些是命题，哪些不是命题，哪些是真命题，哪些是假命题．〔1〕12＞5．〔2〕3是12的约数．〔3〕是整数．〔4〕是整数吗〔5〕x＞．〔6〕10可以被2或5整除．〔7〕菱形的对角线互相垂直且平分．〔8〕不是整数．〔可以让学生答复，教师给出点评〕我们可以看出，〔1〕〔2〕是真命题；〔3〕是假命题；因为〔4〕不涉及真假；〔5〕不能判断真假，所以〔4〕〔5〕都不是命题；〔6〕〔7〕〔8〕是真命题．其中，“或〞、“且〞、“非〞这些词叫作逻辑联结词．像〔1〕〔2〕〔3〕这样的命题，不含逻辑联结词，叫简单命题；像〔6〕〔7〕〔8〕这样，由简单命题与逻辑联结词构成的命题，叫复合命题．如果用小写的拉丁字母p，q，r，s，…来表示命题〔这里应明确〔6〕〔7〕〔8〕三个命题中p，q分别代表什么〕，那么上述复合命题〔6〕〔7〕〔8〕的构成形式分别是p或q，p且q，非p．其中，非p也叫作命题p的否认．对于以上三种复合命题，如何判断其真假呢下面要求学生自己设计或真或假的命题来填下面表格：结合学生答复情况，将上面的表格补充完整，并给出真值表的定义．要求学生对每一真值表用一句话总结：〔1〕“非p〞形式的复合命题的真假与p的真假相反．〔2〕“p且q〞形式的复合命题当p与q同为真时为真，其他情况时为假．〔3〕“p或q〞形式的复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．三、解释应用［例题］1.分别指出以下各组命题构成的“p或q〞、“p且q〞、“非p〞形式的复合命题的真假．〔1〕p：2＋2＝5，q：3＞2．〔2〕p：9是质数，q：8是12的约数．〔3〕p：1∈｛1，2｝，q：｛1｝｛1，2｝．〔4〕p：｛0｝，q：＝｛0｝．注：引导学生进一步熟悉真值表．2.说出以下复合命题的形式，并判断其真假．〔1〕5≥5．〔2〕5≥1．解：〔1〕p或q形式．其中，p：5＞5，q：5＝5．p假，q真，∴p或q为真，即5≥5为真命题．〔2〕p或q形式．其中，p：5＞4，q：5＝4，p真，q假，∴p或q为真，即5≥4为真命题．［练习］1.命题：方程x2－1＝0的解是x＝±1，使用逻辑联结词的情况是〔〕．A.没用使用逻辑联结词B.使用逻辑联结词“且〞C.使用逻辑联结词“或〞D.使用逻辑联结词“非〞〔C〕2.由以下命题构成的“p或q〞、“p且q〞形式的复合命题均为真命题的是〔〕．A.p：4＋4＝9，q：7＞4B.p：a∈｛a，b，c｝，q：｛a｝｛ａ，ｂ，ｃ｝C.p：15是质数，q：4是12的约数D.p：2是偶数，q：2不是质数〔B〕四、拓展延伸在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或〞、“且〞、“非〞字样时，应从语句的陈述中搞清含义，从而解决问题．例：小李参加全国数学联赛，有三名同学对他作如下猜想：甲：小李非第一名，也非第二名；乙：小李非第一名，而是第三名；丙：小李非第三名，而是第一名．竞赛完毕后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，问：小李得了第几名由上可知：甲、乙、丙均为“p且q〞形式，所以猜对一半者也说了错误“命题〞，即只有一个为真，所以可知是丙是真命题，因此小李得了第一名．还有一些逻辑问题，应从命题与命题之间关系去寻找解题思路．例：曾经在校园内发生过这样一件事：甲、乙、丙、丁四名同学在教室前的空地上踢足球，突然足球飞向了教室的一扇窗户，听到响声后，李主任走了过来，看着一地碎玻璃，问道：“玻璃是谁打破的〞甲：是乙打破的；乙：不是我，是丁打破的；丙：肯定不是我打破的；丁：乙在撒谎．现在只知道有一个人说了真话，请你帮李主任分析：谁打破了玻璃，谁说了真话．分析此题关键在于找清乙说的与丁说的是“p〞与“非p〞形式，因此说真话者可能是乙，也可能不是乙，是丁．由此分析可知，是丙打破的玻璃．点评这篇案例的突出特点是对知识的认知由浅入深，层层渐进．这篇案例的所有例子均结合学生的数学水平取自学生掌握的知识范围之内或者直接源于现实生活，这有利于学生对问题的实质的理解和掌握．如果在“建设模型〞的完毕时及时给出相关的例子，使学生正确区分哪些是简单命题，哪些是复合命题，学生的印象会更深．4四种命题教材分析在初中，学生接触的简单的逻辑推理及命题间关系〔原命题和逆命题〕主要来源于几何知识，有很强的几何直观性，便于掌握．高中学生要面对大量代数命题，因此，很有必要学习四种命题及四者之间的关系，以适应高中数学学习的需要，这节课的主要教学目的就在于此．同时，这节课又是学习和运用反证法这种基本解题方法的根基．这节课的重点是四种命题间的关系．学生现有的认知水平虽然脱离了初中阶段的简单几何知识，但是新的知识体系并未形成，因此，随着学生对概念理解的深入，这节课的例题将逐步引导学生理解几何命题，进而理解代数命题．这种处理方式符合学生的认知规律．教学目标通过这节课的教与学，应使学生初步理解四种命题及其关系，进而使学生掌握简单的推理技能，开展学生的思维能力．同时，帮助学生从几何推理向代数推理过渡．任务分析在这节课的教学过程中，要注意控制教学要求，即只研究比较简单的命题，而且命题的条件和结论比较明显；不研究含有逻辑联结词“或〞、“且〞、“非〞的命题的逆命题、否命题和逆否命题．这节中“假设p那么q〞形式的命题中的“p〞，“q〞可以都是命题，也可以不都是命题，不能等同于前面的复合命题．教学设计一、问题情境在以前的数学学习中，有这样的知识：菱形的对角线相互垂直．那么，这一真命题变一下形式是否真命题呢如：“如果一个四边形对角线相互垂直，那么它是菱形〞，再如：“对角线不相互垂直的四边形不是菱形〞．这些变形后的命题的真假是否和原命题有关呢为解决这一问题，这节课我们就来学习“四种命题〞．二、问题解决首先让学生回忆初中学习过的有关命题的定义：互逆命题、原命题、逆命题．〔学生答复，教师补充完整〕例：如果原命题是〔1〕同位角相等，两直线平行．让学生说出它的逆命题．〔2〕两直线平行，同位角相等．再看下面的两个命题：〔3〕同位角不相等，两直线不平行．〔4〕两直线不平行，同位角不相等．在命题〔1〕与命题〔3〕中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否认和结论的否认，这样的两个命题叫作互否命题．把其中一个命题叫作原命题，另一个就叫作原命题的否命题．在命题〔1〕与命题〔4〕中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否认和条件的否认，这样的两个命题叫作互为逆否命题．把其中一个命题叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆否命题．换句话说：〔1〕交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题．〔2〕同时否认原命题的条件和结论，所得命题是否命题．〔3〕交换原命题的条件和结论，并同时否认，所得命题是逆否命题．一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p和q的否认．于是，四种命题的形式就是：原命题：假设p那么q．逆命题：假设q那么p．否命题：假设非p那么非q．逆否命题：假设非q而非p．下面让学生考虑这样一个问题：四种命题之间，任意两个是什么关系〔学生答复，教师补充，最后出示以以下列图〕给出一个命题：“假设a＝0，那么ab＝0．〞让学生写出其他三种命题，并判断四个命题的真假，然后考虑其他三种命题的真假是否与原命题的真假有某种关系．不难发现如下关系：〔1〕原命题为真，它的逆命题不一定为真．〔2〕原命题为真，它的否命题不一定为真．〔3〕原命题为真，它的逆否命题一定为真．三、解释应用［例题］1.把以下命题先改写成“假设p那么q〞的形式，再写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．〔1〕负数的平方是正数．〔2〕正方形的四条边相等．分析：关键是找出原命题的条件p与结论q．解：〔1〕原命题可以写成：假设一个数是负数，那么它的平方是正数．逆命题：假设一个数的平方是正数，那么它是负数．逆命题为假．否命题：假设一个数不是负数，那么它的平方不是正数．否命题为假．逆否命题：假设一个数的平方不是正数，那么它不是负数．逆否命题为真．〔2〕原命题可以写成：假设一个四边形是正方形，那么它的四条边相等．逆命题：假设一个四边形的四条边相等，那么它是正方形．逆命题为假．否命题：假设一个四边形不是正方形，那么它的四条边不相等．否命题为假．逆否命题：假设一个四边形的四条边不相等，那么它不是正方形．逆否命题为真．2.设原命题是“当c＞0时，假设a＞b，那么ac＞bc〞，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．分析：“当c＞0时〞是大前提，写其他命题时应该保存，原命题的条件是a＞b，结论是ac＞bc．解：逆命题：当c＞0时，假设ac＞bc，那么a＞b．逆命题为真．否命题：当c＞0时，假设a≤b，那么ac≤bc．否命题为真．逆否命题：当c＞0时，假设ac≤bc，那么a≤b．逆否命题为真．［练习］1.命题“假设a＞b，那么ac2＞bc2，〔a，b，c∈R〕〞与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题个数为〔〕．A.3B.2C.1D.0〔B〕2.在命题“假设抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，那么｛x｜ax2＋bx＋c＜0｝≠〞的逆命题、否命题、逆否命题中，以下结论成立的是〔〕．A.三命题都真B.三命题都假C.否命题真D.逆否命题真〔D〕四、拓展延伸在对某一命题的条件和结论否认时，有些问题，学生易出错．例如，对如下词语的否认：“任意的〞、“所有的〞、“都是〞和“全是〞等．下面以“全是〞为例进展说明：所谓“否认〞，即其对立面，显然“全是〞的对立面中除了“全不是〞之外，还有“局部也是〞这一局部．因此，“全是〞的对立面〔即否认〕应是“不全是〞，而不是“全不是〞．同样，“任意的〞否认应是“某个〞，“所有的〞否认应是“存在一个〞或“存在一些〞，“都是〞的否认是“不都是〞．例如，命题：假设x2＋y2＝0，那么x，y全是0．其否命题是：假设x2＋y2≠0，那么x，y不全是0．点评这篇案例涉及两个问题：一个是定义，一个是规律，即四种命题间的关系．为了加深学生的认识，这篇案例突出了“学生参与〞，即让学生通过例子认识定义，在活动中自己归纳、总结规律．同时，这篇案例又设计了适量的例题和练习，以稳固学生在课堂活动中掌握的知识．再者，这篇案例中所有例子都十分简单，但又极具有代表性，易于学生承受和理解，这也是学生能积极地参与到课堂活动中去的一个必要条件．美中缺乏的是，这篇案例的个别环节对“反例〞的运用稍显薄弱．5充分条件与必要条件教材分析充分条件与必要条件是简易逻辑的重要内容．学习数学需要全面地理解概念，正确地进展表述、判断和推理，这就离不开对充分条件与必要条件的掌握和运用，而且它们也是认识问题、研究问题的工具．这节内容在“四种命题〞的根基上，通过假设干实例，总结出了充分条件、必要条件和充要条件的概念，给出了判断充分条件、必要条件的方法和步骤．教学的重点与难点是关于充要条件的判断．教学目标1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．2.理解充要条件，掌握判断充要条件的方法和步骤．3.通过充要条件的学习，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力，逐步提高学生分析问题、解决问题的能力．任务分析这节内容是学生在学习了“四种命题〞、会判断一个命题的真假的根基上，主要根据“pq〞给出了充分条件、必要条件及充要条件．虽然从实例引入，但是学生对充分条件、必要条件的理解，特别是对必要条件的理解有一定困难．对于本节内容的学习，首先要分清谁是条件，谁是结论，其次要进展两次推理或判断．〔1〕假设“条件结论〞，那么条件是结论的充分条件，或称结论是条件的必要条件．〔2〕假设“条件结论〞，那么条件是结论的不充分条件，或称结论是条件的不必要条件．教学设计一、问题情境［提出问题］1.写出命题“假设x＞0，那么x2＞0”的逆命题、否命题和逆否命题，并分别判断原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假．原命题：假设x＞0，那么x2＞0．真命题．逆命题：假设x2＞0，那么x＞0．假命题．否命题：假设x≤0，那么x2≤0．假命题．逆否命题：假设x2≤0，那么x≤0．真命题．2.“假设p那么q〞形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假．“假设p那么q〞为真，即如果p成立，那么q一定成立，记作pq或qp．“假设p那么q〞为假，即如果p成立，那么q不一定成立，即由p推不出q，记作pq．［进一步的问题］“假设x＞0，那么x2＞0”，为真，可记作“pq〞．〔1〕x＞0是x2＞0的什么条件〔2〕x2＞0是x＞0的什么条件二、建设模型1.学生分析讨论，教师点拔〔1〕x＞0x2＞０，x＞0是x2＞0的什么条件在这个问题中，“x＞0〞是“条件〞，“x2＞0”是“结论〞；x＞0x2＞0表示假设“条件〞成立，那么“结论〞一定成立，说明“条件〞蕴涵“结论〞，说明“条件〞是“结论〞的充分条件．〔2〕x2＞0x＞0，x2＞0是x＞0的什么条件在这个问题中，“x2＞0”是“条件〞，“x＞0〞是“结论〞；x＞0x2＞0表示假设“结论〞成立，那么“条件〞一定成立，说明“结论〞蕴涵“条件〞，即假设“条件〞成立，那么“结论〞不一定成立，说明“结论〞是“条件〞的必要条件．2.师生共同参与，给出充分条件、必要条件的定义如果pq，那么，p是q的充分条件，q是p的必要条件．3.充要条件问题：记p：三角形的三条边相等，q：三角形的三个角相等．问：p是q的什么条件解：〔1〕pq，即p是q的充分条件．〔2〕qp，即p是q的必要条件．综合〔1〕〔2〕，我们就说p是q的充要条件．如果pq，且qp，记作pq，这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，那么就说p是q的充分必要条件，简称充要条件．4.提出问题，组织学生讨论如何判断充要条件〔1〕分清谁是条件p，谁是结论q．〔2〕进展两次推理或判断，即判断pq是否成立，qp是否成立．〔3〕根据〔2〕写出结论．三、解释应用［例题］1.指出以下各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．〔1〕p：x＞0；q：x2＞0．〔p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件〕〔2〕p：x＝y；q：x2＝y2．〔p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件〕〔3〕p：两三角形面积相等；q：两三角形全等．〔p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件〕〔4〕p：两直线平行；q：内错角相等．〔p是q的充要条件，q是p的充要条件〕〔5〕p：x＝y；q：x2＋y2＝1．〔p是q的既不充分又不必要条件，q是p的既不充分又不必要条件〕2.指出以下各组命题中，p是q的什么条件．〔1〕p：〔x－2〕〔x－3〕＝0；q：x＝3．〔2〕p：四边形对角线相等；q：四边形是矩形．〔3〕p：a≠0；q：a·b≠0．〔4〕p：a＋5是无理数；q：a是无理数．〔5〕p：x≤5；q：x≤3．［练习］1.以下各组命题中的p是q的什么条件〔1〕p：x2＋y2＝0，q：x·y＝0．〔2〕p：m＞0；q：x2＋x－m＝0有实数根．〔3〕p：a＞b；q：a2＞b2．〔4〕p：x2＝3x＋4；q：x＝〔5〕p：x＞-1；q：x＞1．〔6〕p：a，b都是偶数；q：a＋b是偶数．2.〔1〕如果原命题假设p那么q为真而逆命题为假，那么p是q的条件．〔2〕如果原命题假设p那么q为假而逆命题为真，那么p是q的条件．〔3〕如果原命题假设p那么q与其逆命题都为真，那么p是q的条件．〔4〕如果原命题假设p那么q与其逆命题都为假，那么p是q的条件．四、拓展延伸1.p，q都是r的必要条件，S是r的充分条件，q是S的充分条件，那么，〔1〕S是q的什么条件〔2〕r是q的什么条件〔3〕p是q的什么条件2.“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根〞的充要条件是什么3.“3x2－10x＋k＝0有两个同号且不相等实根〞的充要条件是什么点评这篇案例注重新、旧知识的内在联系，以旧引新，过渡自然．首先，复习已学过的知识“四种命题〞和判断命题的真假，并以此巧妙地引出了推断符号pq，pq．其次，在此根基上，通过实例，创设问题情境，引出课题p是q的什么条件．最后，明确充要条件，并给出判断充要条件的方法和步骤．环环相扣，层层深入，重点突出，抓住了关键．例题与练习由浅入深，符合学生的认知规律．拓展延伸富有新意，有利于培养学生的探索能力和创新意识，有利于培养学生的思维能力和思维品质，整个设计圆满地完成了教学任务．6函数的概念教材分析与传统课程内容相比，这节内容的最大变化就是函数概念的处理方式．事实上，“先讲映射后讲函数〞比“先讲函数后讲映射〞，有利于学生更好地理解函数概念的本质．第一，在初中函数学习根基上继续深入学习函数，衔接自然，利于学生在原有认知根基上提升对函数概念的理解；第二，直接进入函数概念的学习更有利于学生将注意力放在理解函数概念的学习上，而不必花大量精力学习映射，使其认识映射与函数的关系后才能理解函数的概念．函数概念是中学数学中最重要的概念之一．函数概念、思想贯穿于整个中学教材之中．通过实例，引导学生通过自己的观察、分析、归纳和概括，获得用集合与对应语言刻画的函数概念．对函数概念本质的理解，首先应通过与初中定义的比较、与其他知识的联系以及不断地应用等，初步理解用集合与对应语言刻画的函数概念．其次在后续的学习中通过基本初等函数，引导学生以具体函数为依托、反复地、螺旋式上升地理解函数的本质．教学重点是函数的概念，难点是对函数概念的本质的理解．教学目标1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．在此根基上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．2.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．3.了解映射的概念．任务分析学生在初中对函数概念有了初步的认识．这节课的任务是在学生原认知水平的根基上，用集合与对应的观点认识函数，了解构成函数定义的三要素，认识映射与函数是一般与特殊的关系．教学设计一、问题情景1.一枚炮弹发射后，经过60s落到地面击中目标．炮弹的射高为4410m，且炮弹距地面的高度h随时间t的变化规律是h＝294t－4.9t2，〔0≤t≤60，0≤h≤4410〕．2.近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．以以下列图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979年到2001年的变化情况．3.国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的上下，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中恩格尔系数随时间〔年〕变化的情况说明，“八五〞方案以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．表6-1“八五〞方案以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况时间〔年〕19911992199319941995199619971998199920002001恩格尔系数〔%〕53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9问题：分析以上三个实例，对任一个给定的ｔ，射高ｈ、臭氧层空洞面积Ｓ、恩格尔系数是否有值与之对应假设有，有几个二、建设模型1.在学生充分分析和讨论的根基上，总结归纳以上三个实例的共同特点在三个实例中，变量之间的关系都可以描述成两个集合间的一种对应关系：对于数集Ａ中的任一个ｘ，按照某个对应关系，在数集Ｂ中都有唯一确定的值与之对应．2.教师明晰通过学生的讨论归纳出函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任一个x，在集合B中都有唯一确定的数f〔x〕与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f〔x〕，x∈A．其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域，与x的值相对应的y叫作函数值，函数值的集合：｛y｜y＝f〔x〕，x∈A｝叫作函数的值域．注意：〔1〕从函数的定义可以看出：函数由定义域、对应法那么、值域三局部组成，它们称为函数定义的三要素．其中，y＝f〔x〕的意义是：对任一x∈A，按照对应法那么f有唯一y与之对应．〔2〕在函数定义的三个要素中，核心是定义域和对应法那么，因此，只有当函数的对应关系和定义域一样时，我们才认为这两个函数一样．思考：函数f〔x〕＝与g〔x〕＝是同一函数吗三、解释应用［例题］1.指出以下函数的定义域、值域、对应法那么各是什么如何用集合与对应的观点描述它们〔1〕y＝1，〔x∈R〕．〔2〕y＝ax＋b，〔a≠0〕．〔3〕y＝ax2＋bx＋c，〔a＞0〕．〔4〕y＝kx，〔k≠0〕．解：〔3〕定义域：｛x｜x∈R｝，值域：｛y｜y≥｝对应法那么f：自变量→a〔自变量〕2＋b·〔自变量〕＋c，即：f：x→ax2＋bx＋c〔1〕，〔2〕，〔4〕略．2.：函数f〔x〕＝〔1〕求函数的定义域．〔2〕求f〔－3〕，f〔〕的值．〔3〕当a＞0时，求f〔a〕，f〔a－1〕的值．目的：深化对函数概念的理解．3.求以下函数的值域．〔1〕f〔x〕＝2x．〔2〕f〔x〕＝1－x＋x2，〔x∈R〕．〔3〕y＝3－x，〔x∈N〕．解：〔1〕｛y｜y≠0｝．〔2〕｛y｜y≥｝．〔3〕｛3，2，1，0，－1，－2，…｝．4.〔1〕：f〔x〕＝x2，求f〔x－1〕．〔2〕：f〔x－1〕＝x2，求f〔x〕．目的：深化对函数符号的理解．解：〔1〕f〔x－1〕＝〔x－1〕2．〔2〕f〔x－1〕＝x2＝［〔x－1〕＋1］2＝〔x－1〕2＋2〔x－1〕＋1．∴f〔x〕＝x2＋2x＋1．［练习］1.求以下函数的定义域．2.二次函数f〔x〕＝x2＋a的值域是［－2，＋∞〕，求a的值．3.函数f〔x〕＝［x］，［x］表示不超过x的最大整数，求：〔1〕f〔3.5〕，〔2〕f〔－3.5〕．四、拓展延伸在函数定义中，将数集推广到任意集合时，就可以得到映射的概念．集合A＝｛a1，a2｝到集合B＝｛b1，b2｝的映射有哪几个解：共有4个不同的映射．思考：集合A＝｛a1，a2，a3｝到B＝｛b1，b2，b3｝的映射有多少个点评这篇案例设计完整，条理清楚．案例从三个方面〔实际是函数的三种表示方法，为后续内容埋下伏笔〕各举一个具体事例，从中概括出函数的本质特征，得出函数概念，表达了由具体到抽象的认知规律，有利于学生理解函数概念，更好地表达了数学从实践中来．例题、练习由浅入深，完整，全面．映射的概念作为函数概念的推广，处理方式有新意．“拓展延伸〞的设计为学生加深对概念的理解，提供了素材．在“问题情景〞中的三个事例中，第一个例子中的“对应关系〞比较明显，后两个例子那么不太明显．如果能在教学设计中加以细致比照说明，效果会更好．7函数的表示方法教材分析函数的表示方法是对函数概念的深化与延伸．解析法、图像法和列表法从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．这三种表示方法既可以独立的表示函数，又可以相互转化；既各有侧重和优势，又各有劣势和缺乏；既相互补充，又使函数随自变量的变化而变化的规律直观和具体．这节内容，是初中有关内容的深化、延伸与提高．教材在复习初中三种表示方法定义的根基上，分三个层次对三种表示方法进展了比较．第一个层次：回忆与比较；第二个层次：选择与比较；第三个层次：转化与比较．教学重点：画简单函数的图像；教学难点：分段函数的解析式求法及其图像的作法．教学目标1.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法〔如图像法，列表法，解析法〕表示函数．2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并解简单应用．3.能根据简单的实际问题，建设函数关系式，画出它们的图像，进一步理解、体会函数的意义．任务分析学生在初中已经对这节内容有了初步的认识．这节的教学任务是在学生原认知水平的根基上，用对应的观点认识函数，会根据不同需要选择恰当的方法表示函数，明确三种表示方法各有优劣，在一定条件下可以相互转化．为突出根据简单的实际问题建设函数关系式，画出它们的图像这个重点，除学习教材中的实际问题外，又增加了练习．为突破分段函数这个难点增加了高斯函数作为练习．教学设计一、问题情景1.复习引入〔1〕复习初中三种函数的表示方法．〔2〕学生答复函数三种表示方法的定义．2.方法探究〔1〕复习与比较例：某种笔记本的单价是5元，买x〔x∈｛1，2，3，4，5｝〕个笔记本需要y元．试用三种表示方法表示函数y＝f〔x〕．〔2〕引导学生分析讨论①三种表示方法的各自的特点是什么所有的函数都能用解析法表示吗②函数图像上的点满足什么条件满足函数关系式y＝f〔x〕的点〔x，y〕在什么地方二、建设模型1.教师明晰函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．采用解析法的条件：变量间的对应法那么明确；采用图像法的条件：函数的变化规律清晰；采用列表法的条件：函数值的对应清楚．函数图像上的点满足函数关系式y＝f〔x〕，满足函数关系式y＝f〔x〕的点〔x，y〕在函数图像上，故函数图像即为点集p＝｛〔x，y〕｜y＝f〔x〕，x∈A｝．2.比较与分析例：下表是某校高一〔1〕班三名同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分：表7-1

第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6请你对这三名同学在高一学年度的数学学习情况进展分析．学生分析讨论：本例是用何种方法表示函数的要分析“成绩〞与“测试次数〞之间的变化规律，用何种方法表示函数注意：在这里选择何种表示方法，要根据问题的具体情况和三种表示方法的长处来确定．3.教师进一步明晰将“成绩〞与“测试次数〞之间的函数关系用函数图像表示出来，就能比较直观地看到成绩的变化情况．4.转化与比较例：画出函数y＝｜x｜的图像．5.教师归纳、整理初中作函数图像的基本方法是列表、描点和连线，但这个方法比较烦琐．我们可以把初中学过的一次函数、反比例函数、二次函数的图像作为基本图像，把要作的函数的图像转化为基本函数的图像来解决．y＝｜x｜，假设不含“｜｜〞号，那么是我们初中学过的y＝x，现在含绝对值号，故去绝对值号，得分段函数而分段函数的图像只要分段作出即可．三、解释应用［练习一］1.作出y＝｜x－1｜的图像，与函数y＝｜x｜的图像比较，并说出你发现了什么．2.作出y＝x2＋2｜x｜＋1的图像．3.假设x2＋2｜x｜＋1＝m，当m为何值时，关于x的方程有四个解三个解两个解无解［例题］某市空调公共汽车的票价按以下规那么制定：〔1〕乘坐汽车不超过5km，票价2元．〔2〕超过5km，每增加5km，票价增加1元．〔缺乏5km的按5km计算〕两个相邻的公共汽车站间相距约为1km，如果沿途〔包括起点站和终点站〕有21个汽车站，请根据题意写出票价与路程之间的函数解析式，并画出函数的图像．学生分析讨论：函数定义域是什么值域是什么图像如何作教师引导学生写出如下解答过程．解：设票价为y元，路程为xkm．如果某空调汽车运行路线中设21个汽车站，那么汽车行驶的路程约为20km，故自变量x的取值范围是x∈〔0，20］，且x∈N，函数y的取值范围是y∈｛2，3，4，5｝．由空调汽车票价的规定，可得到以下函数解析式：根据这个函数解析式，可画出函数的图像函数图像共有20个点构成．像例3、例4这样的函数称为分段函数，分段函数的图像应分段作．［练习二］1.以以下列图都是函数的图像吗为什么〔D〕目的：进一步深化对函数概念和函数图像的理解．2.某人从甲镇去乙村，一开场沿公路乘车，后来沿小路步行，图中横轴表示运动的时间，纵轴表示此人与乙村的距离，那么较符合该人走法的图像是〔〕．〔D〕3.小明从甲地去乙地，先以每小时5km的速度行进1h，然后休息10min，最后以每小时4km的速度行进了30min到达乙地．〔1〕试写出速度v〔km／h〕关于出发时间t〔h〕的函数关系式，并画出图像．〔2〕试写出小明离开甲地s〔km〕关于出发时间t〔h〕的函数关系，并画出图像．四、拓展延伸1.设x是任意的一个函数，y是不超过x的最大整数，记作：y＝［x］，问：x与y之间是否存在函数关系如果存在，写出这个函数的解析式，并画出这个函数的图像．答案：存在函数关系，是著名的高斯函数．现只写出x∈［－1，1］的函数关系：y＝图像略．2.某家庭2004年1月份、2月份和3月份煤气用量和支付费用如下表所示：表7-2月份用气量煤气费1月份4m4元2月份25m14元3月份35m19元该市煤气的收费方法是：煤气费＝基本费＋超额费＋保险费．假设每月量不超过最低限度Am3，那么只付基本费3元和每月每户的定额保险C元；假设用气量超过Am3，超过局部每立方米付B元，又知保险费C不超过5元．根据上面的表格，求A，B，C．分析：可设每月用气量xm3，支付费用y元，建设函数解析式解之．解：设每月用气xm3，支付费用y元，那么由0＜C≤5，得3＋C≤8．由第2和3月份的费用都大于8，得两式相减，得B＝0.5，∴A＝2C＋3．再分析1月份的用气量是否超过最低限度．不妨令A＜4，将x＝4代入3＋B〔x－A〕＋C，得3＋0.5［4－〔3＋2C〕］＋C＝4，由此推出3.5＝4，矛盾，∴A≥4，1月份付款方式为3＋C．∴3＋C＝4．∴C＝1．∴A＝5．∴A＝5，B＝0.5，C＝1．点评这篇案例分三个层次对三种表示方法进展了比较：第一层次：用一个简单的例子对函数的三种表示方法进展了复习和比较；第二层次：对函数的三种表示方法进展了比较，选择了适当的方法表示函数；第三层次：三种表示函数的方法的相互转化．三个层次，层层深入，并对三种表示方法的优、劣进了比较，重点突出．拓展延伸通过高斯函数，加深了学生对抽象函数、分段函数的认识．在注重三种表示方法的同时，加强了学生应用意识的培养．8函数的单调性教材分析函数的单调性是函数的重要特性之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性地联系在一起．在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进展观察的直观方法，又有根据其定义进展逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．这节内容的重点是理解函数单调性的概念以及利用函数的单调性的概念证明函数的单调性，难点是理解函数单调性的概念．教学目标1.通过对增函数、减函数概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念的产生和形成过程，培养学生从特殊到一般的抽象概括能力．2.掌握增函数、减函数等函数单调性的概念，理解函数增减性的几何意义，并能初步运用所学知识判断或证明一些简单函数的单调性，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力．3.通过对函数单调性的学习，初步体会知识发生、开展、运用的过程，培养学生形成科学的思维．任务分析这节内容学生在初中已有了较为粗略的认识，即主要根据观察图像得出结论．这节函数增减性的定义，是运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，学生承受起来可能比较困难．在引入定义时，要始终结合具体函数的图像来进展，以增强直观性，采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，便于学生理解．对于定义，要注意对区间上所取两点x1，x2的“任意性〞的理解，多给学生操作与思考的时间和空间．教学设计一、问题情境1.如图为某市一天内的气温变化图：〔1〕观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．〔2〕怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降〞这一特征2.分别作出以下函数的图像：〔1〕y＝2x．〔2〕y＝－x＋2．〔3〕y＝x2．根据三个函数图像，分别指出当x∈〔－∞，＋∞〕时，图像的变化趋势二、建设模型1.首先引导学生对问题2进展探讨———观察分析观察函数y＝2x，y＝－x＋2，y＝x2图像，可以发现：y＝2x在〔－∞，＋∞〕上、y＝x2在〔０，＋∞〕上的图像由左向右都是上升的；y＝－x＋2在〔－∞，＋∞〕上、y＝x2在〔－∞，０〕上的图像由左向右都是下降的．函数图像的“上升〞或“下降〞反映了函数的一个基本性质———单调性．那么，如何描述函数图像“上升〞或“下降〞这个图像特征呢以函数y＝x2，x∈〔－∞，０〕为例，图像由左向右下降，意味着“随着x的增大，相应的函数值y＝f〔x〕反而减小〞，如何量化呢取自变量的两个不同的值，如x1＝－5，x2＝－3，这时有x1＜x2，f〔x1〕＞f〔x2〕，但是这种量化并不准确．因此，x1，x2应具有“任意性〞．所以，在区间〔－∞，0〕上，任取两个x1，x2得到f〔x1〕＝，f〔x2〕＝．当x1＜x2时，都有f〔x1〕＞f〔x2〕．这时，我们就说f〔x〕＝x2在区间〔－∞，0〕上是减函数．注意：在这里，要提示学生如何由直观图像的变化规律，转化为数学语言，即自变量ｘ变化时对函数值y的影响．必要时，对x，y可举出具体数值，进展引导、归纳和总结．这里的“都有〞是对应于“任意〞的．2.在学生讨论归纳函数单调性定义的根基上，教师明晰———抽象概括设函数f〔x〕的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f〔x1〕＜f〔x2〕，那么我们就说函数f〔x〕在区间Ｄ上是增函数［如图8-2〔1〕］．如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f〔x1〕＞f〔x2〕，那么我们就说函数f〔x〕在区间Ｄ上是减函数［如图8-2〔2〕］．如果函数y＝f〔x〕在区间D上是增函数或减函数，那么我们就说函数y＝f〔x〕在这一区间具有〔严格的〕单调性，区间D叫作y＝f〔x〕的单调区间．3.提出问题，组织学生讨论〔1〕定义在R上的函数f〔x〕，满足f〔2〕＞f〔1〕，能否判断函数f〔x〕在R是增函数〔2〕定义在R上函数f〔x〕在区间〔－∞，0］上是增函数，在区间〔0，＋∞〕上也是增函数，判断函数f〔s〕在R上是否为增函数．〔3〕观察问题情境1中气温变化图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．强调：定义中x1，x2是区间D上的任意两个自变量；函数的单调性是相对于某一区间而言的．三、解释应用［例题］1.证明函数f〔x〕＝2x＋1，在〔－∞，＋∞〕是增函数．注：要标准解题格式．2.证明函数f〔x〕＝，在区间〔－∞，0〕和〔0，＋∞〕上都是减函数．思考：能否说，函数f〔x〕＝在定义域〔－∞，0〕∪〔0，＋∞〕上是减函数3.设函数y＝f〔x〕在区间D上保号〔恒正或恒负〕，且f〔x〕在区间D上为增函数，求证：f〔x〕＝在区间D上为减函数．证明：设x1，x2∈Ｄ，且x1＜x2，∵f〔x〕在区间D上保号，∴f〔x1〕f〔x2〕＞0．又f〔x〕在区间D上为增函数，∴f〔x1〕－f〔x2〕＜0，从而g〔x1〕－g〔x2〕＞0，∴g〔x〕在D上为减函数．［练习］1.证明：〔1〕函数f〔x〕＝在〔0，＋∞〕上是增函数．〔2〕函数f〔x〕＝x2－x在〔－∞，］上是减函数．2.判断函数的单调性，并写出相应的单调区间．3.如果函数y＝f〔x〕是R上的增函数，判断g〔x〕＝kf〔x〕，〔k≠0〕在R上的单调性．四、拓展延伸1.根据图像，简要说明近150年来人类消耗能源的构造变化情况，并对未来100年能源构造的变化趋势作出预测．2.判断二次函数f〔x〕＝ax2＋bx＋c，〔a≠0〕的单调性，并用定义加以证明．3.如果自变量的改变量Δx＝x2－x1＜0，函数值的改变量Δy＝f〔x2〕－f〔x1〕＞0，那么函数f〔x〕在区间D上是增函数还是减函数4.函数值的改变量与自变量的改变量的比叫作函数f〔x〕在x1，x2之间的平均变化率．〔1〕根据函数的平均变化率判断y＝f〔x〕在区间D上是增函数还是减函数．〔2〕比值的大小与函数值增长的快慢有什么关系点评这篇案例设计完整，思路清晰．案例首先通过实例阐述了函数单调性产生的背景，归纳、抽象概括出了增函数、减函数的定义，充分表达了数学教学的本质是数学思维过程的教学，符合新课程标准的精神．例题与练习由浅入深，完整，全面．“拓展延伸〞的设计有新意，有深度，为学生数学思维能力、创造能力的培养提供了平台．这篇案例的突出特点，表达在如下几个方面：1.强调对基本概念和基本思想的理解和掌握由于数学高度抽象的特点，注重表达基本概念的来龙去脉．在数学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质．2.注重联系，提高对数学整体的认识数学的开展既有内在的动力，也有外在的动力．在高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其他学科的联系．例如，通过研讨本节课“拓展延伸〞中的第1个问题，可以大大提高了学生学习的积极性和主动性．3.注重数学知识与实际的联系，开展学生的应用意识和能力在数学教学中，应注重开展学生的应用意识；通过丰富的实例引入数学知识，引导学生应用数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值，帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关；数学是有用的，我要用数学，我能用数学．9函数的奇偶性教材分析函数的奇偶性是函数的重要性质，是对函数概念的深化．它把自变量取相反数时函数值间的关系定量地联系在一起，反映在图像上为：偶函数的图像关于ｙ轴对称，奇函数的图像关于坐标原点成中心对称．这样，就从数、形两个角度对函数的奇偶性进展了定量和定性的分析．教材首先通过对具体函数的图像及函数值对应表归纳和抽象，概括出了函数奇偶性的准确定义．然后，为深化对概念的理解，举出了奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数的函数和非奇非偶函数的实例．最后，为加强前后联系，从各个角度研究函数的性质，讲清了奇偶性和单调性的联系．这节课的重点是函数奇偶性的定义，难点是根据定义判断函数的奇偶性．教学目标1.通过具体函数，让学生经历奇函数、偶函数定义的讨论，体验数学概念的建设过程，培养其抽象的概括能力．2.理解、掌握函数奇偶性的定义，奇函数和偶函数图像的特征，并能初步应用定义判断一些简单函数的奇偶性．3.在经历概念形成的过程中，培养学生归纳、抽象概括能力，体验数学既是抽象的又是具体的．任务分析这节内容学生在初中虽没学过，但已经学习过具有奇偶性的具体的函数：正比例函数y＝kx，反比例函数，〔k≠0〕，二次函数y＝ax2，〔a≠0〕，故可在此根基上，引入奇、偶函数的概念，以便于学生理解．在引入概念时始终结合具体函数的图像，以增加直观性，这样更符合学生的认知规律，同时为阐述奇、偶函数的几何特征埋下了伏笔．对于概念可从代数特征与几何特征两个角度去分析，让学生理解：奇函数、偶函数的定义域是关于原点对称的非空数集；对于在有定义的奇函数y＝f〔x〕，一定有f〔0〕＝0；既是奇函数，又是偶函数的函数有f〔x〕＝0，x∈R．在此根基上，让学生了解：奇函数、偶函数的矛盾概念———非奇非偶函数．关于单调性与奇偶性关系，引导学生拓展延伸，可以取得理想效果．教学设计一、问题情景1.观察如下两图，思考并讨论以下问题：〔1〕这两个函数图像有什么共同特征〔2〕相应的两个函数值对应表是如何表达这些特征的可以看到两个函数的图像都关于y轴对称．从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值一样．对于函数f〔x〕＝x2，有f〔－3〕＝9＝f〔3〕，f〔－2〕＝4＝f〔2〕，f〔－1〕＝1＝f〔1〕．事实上，对于R内任意的一个x，都有f〔－x〕＝〔－x〕2＝x2＝f〔x〕．此时，称函数y＝x2为偶函数．2.观察函数f〔x〕＝x和f〔x〕＝的图像，并完成下面的两个函数值对应表，然后说出这两个函数有什么共同特征．可以看到两个函数的图像都关于原点对称．函数图像的这个特征，反映在解析式上就是：当自变量ｘ取一对相反数时，相应的函数值f〔x〕也是一对相反数，即对任一x∈R都有f〔－x〕＝－f〔x〕．此时，称函数y＝f〔x〕为奇函数．二、建设模型由上面的分析讨论引导学生建设奇函数、偶函数的定义1.奇、偶函数的定义如果对于函数f〔x〕的定义域内任意一个x，都有f〔－x〕＝－f〔x〕，那么函数f〔x〕就叫作奇函数．如果对于函数f〔x〕的定义域内任意一个x，都有f〔－x〕＝f〔x〕，那么函数f〔x〕就叫作偶函数．2.提出问题，组织学生讨论〔1〕如果定义在R上的函数f〔x〕满足f〔－2〕＝f〔2〕，那么f〔x〕是偶函数吗〔f〔x〕不一定是偶函数〕〔2〕奇、偶函数的图像有什么特征〔奇、偶函数的图像分别关于原点、y轴对称〕〔3〕奇、偶函数的定义域有什么特征〔奇、偶函数的定义域关于原点对称〕三、解释应用［例题］1.判断以下函数的奇偶性．注：①标准解题格式；②对于〔5〕要注意定义域x∈〔－1，1］．2.：定义在R上的函数f〔x〕是奇函数，当x＞0时，f〔x〕＝x〔1＋x〕，求f〔x〕的表达式．解：〔1〕任取x＜0，那么－x＞0，∴f〔－x〕＝－x〔1－x〕，而f〔x〕是奇函数，∴f〔－x〕＝－f〔x〕．∴f〔x〕＝x〔1－x〕．〔2〕当x＝0时，f〔－0〕＝－f〔0〕，∴f〔0〕＝－f〔0〕，故f〔0〕＝0．3.：函数f〔x〕是偶函数，且在〔－∞，0〕上是减函数，判断f〔x〕在〔0，＋∞〕上是增函数，还是减函数，并证明你的结论．解：先结合图像特征：偶函数的图像关于y轴对称，猜想f〔x〕在〔0，＋∞〕上是增函数，证明如下：任取x1＞x2＞0，那么－x1＜－x2＜0．∵f〔x〕在〔－∞，0〕上是减函数，∴f〔－x1〕＞f〔－x2〕．又f〔x〕是偶函数，∴f〔x1〕＞f〔x2〕．∴f〔x〕在〔0，＋∞〕上是增函数．思考：奇函数或偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性有何关系［练习］1.：函数f〔x〕是奇函数，在［a，b］上是增函数〔b＞a＞0〕，问f〔x〕在［－b，－a］上的单调性如何．2.f〔x〕＝－x3｜x｜的大致图像可能是〔〕3.函数f〔x〕＝ax2＋bx＋c，〔a，b，c∈R〕，当a，b，c满足什么条件时，〔1〕函数f〔x〕是偶函数．〔2〕函数f〔x〕是奇函数．4.设f〔x〕，g〔x〕分别是R上的奇函数和偶函数，并且f〔x〕＋g〔x〕＝x〔x＋1〕，求f〔x〕，g〔x〕的解析式．四、拓展延伸1.有既是奇函数，又是偶函数的函数吗假设有，有多少个2.设f〔x〕，g〔x〕分别是R上的奇函数，偶函数，试研究：〔1〕F〔x〕＝f〔x〕·g〔x〕的奇偶性．〔2〕G〔x〕＝｜f〔x〕｜＋g〔x〕的奇偶性．3.a∈R，f〔x〕＝a－，试确定a的值，使f〔x〕是奇函数．4.一个定义在Ｒ上的函数，是否都可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和的形式点评这篇案例设计由浅入深，由具体的函数图像及对应值表，抽象概括出了奇、偶函数的定义，符合学生的认知规律，有利于学生理解和掌握．应用深化的设计层层递进，深化了学生对奇、偶函数概念的理解和应用．拓展延伸为学生思维能力、创新能力的培养提供了平台．10二次函数教材分析二次函数是重要的基本函数之一，由于它存在最值，因此，其单调性在实际问题中有广泛的应用，并且它与前面学过的二次方程有密切联系，又是后面学习解一元二次不等式的根基．二次函数在初中学生已学过，主要是定义和解析式，这里，在此根基上，接着学习二次函数的性质与图像，进而使学生对二次函数有一个比较完整的认识．本节先研究特殊的二次函数y＝ax2，〔a≠0〕的图像与a值的关系，这可通过a在0的附近取值画图观察得到．然后，通过一个实例，如y＝x2＋4x＋6，研讨二次函数的性质与图像．最后，总结出一般性结论．这节内容的重点是二次函数的性质，即顶点坐标、对称轴方程、二次函数的单调性及其图像，难点是用配方法把y＝ax2＋bx＋c的形式转化为y＝a〔x－h〕2＋k的形式．教学目标1.通过一个例子研究二次函数的图像和性质，得到一般性结论，培养学生归纳、抽象能力．2.掌握二次函数的概念、表达式、图像与性质．会用配方法解决有关问题，能熟练地求二次函数的最值．3.能初步运用二次函数解决一些实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力．任务分析学习这节内容时要先复习一下学生初中学过的二次函数的有关问题．为了得到y＝ax2，〔a≠0〕的图像与a的关系以及二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质，这里遵循由特例到一般的原那么，充分利用图像的直观性，以便学生承受．在这一过程中，应讲明配方法的操作过程．教学设计一、复习引申1.什么是二次函数2.在同一坐标系中作出以下函数的图像．〔1〕y＝－3x2．〔2〕y＝－2x2．〔3〕y＝－x2．〔4〕y＝－0.5x2．〔5〕ｙ＝0.5x2．〔6〕y＝x2．〔7〕y＝2x2．〔8〕y＝3x2．3.学生讨论：函数y＝ax2中系数a的取值与它的图像形状有何关系4.教师明晰：在a从－3逐渐变化到＋3的过程中，抛物线开口向下并逐渐变大，当a＝0时，y＝0，抛物线变为x轴，然后抛物线开口向上，并逐渐变小．二、问题情境二次函数f〔x〕＝x2＋4x＋6．〔1〕求它与x轴的交点坐标．〔2〕问：它有没有最值假设有最大〔小〕值，最大〔小〕值是多少试求出此时对应的自变量ｘ的值．〔3〕画出它的图像．〔4〕它的图像有没有对称轴如果有，位置如何〔5〕确定函数的单调区间．1.先让学生独立解答问题1，然后师生共同确定答案〔1〕令y＝0，即x2＋4x＋6＝０，解得x1＝－6，x2＝－2．∴与ｘ轴交于两点〔－6，0〕，〔－2，0〕．〔2〕将原式配方，得f〔x〕＝x2＋4x＋6＝〔x2＋8x＋12〕＝〔x2＋8x＋16－16＋12〕＝〔x＋4〕2－2．∵对任意x∈R，都有〔x＋4〕2≥0，∴f〔x〕≥－2，当且仅当x＝－4时，取“＝〞号．∴函数有最小值是－2，记作ymin＝－2，此时x＝－4．〔3〕以x＝－4为中间值，取x的一些值列表如下：表10-1ｘ…－7－6－5－4－3－2－1…ｙ…0－－2－0…描点，画图．〔4〕由上表及图像推测：二次函数f〔x〕的图像存在对称轴，并且对称轴过点〔－4，－2〕，与y轴平行．〔5〕观察图像知：二次函数f〔x〕在〔－∞，－4］上是减函数，在〔－4，＋∞〕上是增函数．2.相关问题〔1〕对称轴与图像〔抛物线〕的交点叫抛物线的顶点，函数f〔x〕＝x2＋4x＋6的顶点坐标是〔－4，－2〕．〔2〕如果将过点〔x1，0〕平行于ｙ轴的直线记作x＝x1，那么函数f〔x〕＝x2＋4x＋6的对称轴为x＝－4．〔3〕把f〔x〕＝x2＋4x＋6转化为f〔x〕＝〔x＋4〕2－2，采用的是“配方法〞．〔4〕思考：怎样证明函数f〔x〕＝x2＋4x＋6的图像关于直线x＝－4对称［提示：证明f〔－4＋h〕＝f〔－4－h〕］〔5〕类似地，再对二次函数f〔x〕＝－x2－4x＋3研讨上面四个方面的问题．三、建设模型对任何二次函数y＝f〔x〕＝ax2＋bx＋c，〔a≠0〕都可以通过配方法化为y＝a〔x＋〕2＋的形式，并且有如下性质：1.二次函数f〔x〕＝ax2＋bx＋c，〔a≠0〕的图像是一条抛物线，对称轴方程为x＝－，顶点坐标是〔－，〕．2.〔1〕当a＞0时，抛物线开口向上，函数在〔－∞，－］上递减，在［－，＋∞〕上递增，当x＝－时，［f〔x〕］min＝．〔2〕当a＜0时，抛物线开口向下，函数在〔－∞，－］上递增，在［－，＋∞〕上递减，当x＝－时，［f〔x〕］max＝．思考：〔1〕二次函数的图像一定与x轴或y轴相交吗〔2〕函数y＝〔x－1〕2＋2，x∈［2，3］的最小值是2吗四、解释应用［例题］1.求函数y＝3x2＋2x＋1的最小值和它的图像的对称轴，并指出它的单调性．注：可利用上面的性质直接写出答案．2.某商品在最近一个月内价格f〔t〕与时间t的函数关系式是f〔t〕＝＋22，〔0≤t≤30，t∈N〕，售量g〔t〕与时间t的函数关系是g〔t〕＝－，〔0≤t≤30，t∈N〕．求这种商品的日销售额的最大值．解：设该商品的日销售额为S，那么∵t∈N，∴当t＝10或t＝11时，Smax＝808.5．答：这种商品日销额的最大值是808.5．注：此题是应用题，自变量t∈N，不能使．［练习］1.函数f〔x〕＝x2－2x－3，不计算函数值，试比较f〔－2〕和f〔4〕，f〔－3〕和f〔3〕的大小．2.二次函数y＝f〔x〕满足f〔1＋x〕＝f〔1－x〕，且方程f〔x〕＝0有两个实根x1，x2，求x1＋x2．3.函数f〔x〕＝2x2＋〔a－1〕x＋3在［2，＋∞〕上递增，求a的取值范围．4.抛物线y＝ax2＋bx与直线y＝ax＋b，〔ab≠0〕的图像〔如以以下列图〕只可能是〔〕．四、拓展延伸1.如果二次函数的图像〔抛物线〕的顶点坐标为〔h，k〕，那么它的解析表达式如何如果二次函数的图像〔抛物线〕与x轴的交点坐标为〔x1，0〕，〔x2，0〕，它的解析表达式又如何2.用函数单调性的定义研究f〔x〕＝ax2＋bx＋c，〔a＜0〕的单调性．3.证明函数f〔x〕＝ax2＋bx＋c，〔a≠0〕的图像关于直线x＝－对称．点评这篇案例讲述了两个方面的知识点，一是特殊的二次函数y＝ax2，〔a≠0〕的图像随ａ值变化的规律性，二是二次函数的性质与图像．设计恰当，重点突出，即重点讲解二次函数的性质与图像．遵循由特殊到一般、由具体到抽象的原那么，使结论便于被学生理解．例题与练习的选配难易适中，代表广泛，并有利于稳固本课重点知识．拓展延伸中提出的三个问题都是二次函数的重要特征，实用性强，并且所得结论对解决有关问题能起到事半功倍的效果．11指数函数教材分析指数函数是基本初等函数之一，在数学中占有重要地位，在实际中有着十分广泛的应用，如细胞分裂、考古中所用的14C教材首先通过实例引入什么是指数函数．然后给出三个具体例子y＝2x，y＝10x，y＝〔〕x，用描点法画其图像，并借助图像，观察得出指数函数的定义域、值域、图像过定点〔1，0〕及单调性．最后配备恰当的习题及练习．在知识的形成过程中，表达图像观察、归纳猜想的思想．这节内容的重点是指数函数的图像与性质，难点是应用指数函数的性质解决相关问题．教学目标1.了解指数函数模型的实际背景．2.理解并掌握指数函数的定义、图像及性质．3.通过对指数函数的概念、性质的归纳、抽象和概括，体验数学知识的产生和形成的过程，培养学生的抽象概括能力．4.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的数学模型，培养学生的应用意识．任务分析学生在学习本节内容时，已学过了一些基本函数，如二次函数，并且学过有理指数幂及其运算，这均为学生学习这节内容奠定了根基．由应用问题建设指