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学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精PAGE10学必求其心得,业必贵于专精PAGE学业分层测评(十六)数乘向量(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1。(2016·德州高一检测)若向量方程2x-3(x-2a)=0,则向量x等于()A。eq\f(6,5)a B。-6aC.6a D。-eq\f(6,5)a【解析】由题意得:2x-3x+6a=0,所以有x=6a。【答案】C2。设P是△ABC所在平面内一点,且eq\o(BC,\s\up13(→))+eq\o(BA,\s\up13(→))=2eq\o(BP,\s\up13(→)),则()A。eq\o(PA,\s\up13(→))+eq\o(PB,\s\up13(→))=0 B。eq\o(PC,\s\up13(→))+eq\o(PA,\s\up13(→))=0C。eq\o(PB,\s\up13(→))+eq\o(PC,\s\up13(→))=0 D.eq\o(PA,\s\up13(→))+eq\o(PB,\s\up13(→))+eq\o(PC,\s\up13(→))=0【解析】因为eq\o(BC,\s\up13(→))+eq\o(BA,\s\up13(→))=2eq\o(BP,\s\up13(→)),所以点P为线段AC的中点,故选项B正确。【答案】B3。(2016·北京高一检测)四边形ABCD中,eq\o(AB,\s\up13(→))=a+2b,eq\o(BC,\s\up13(→))=-4a-b,eq\o(BD,\s\up13(→))=-5a-3b,其中a,b不共线,则四边形ABCD是()A.梯形 B.平行四边形C。菱形 D.矩形【解析】因为eq\o(AB,\s\up13(→))=a+2b,又eq\o(DC,\s\up13(→))=eq\o(BC,\s\up13(→))-eq\o(BD,\s\up13(→))=-4a-b-(-5a-3b)=a+2b=eq\o(AB,\s\up13(→))。又因在四边形ABCD中,有|eq\o(AB,\s\up13(→))|=|eq\o(DC,\s\up13(→))|且AB∥DC,所以四边形ABCD为平行四边形。【答案】B4。已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2eq\o(OA,\s\up13(→))+eq\o(OB,\s\up13(→))+eq\o(OC,\s\up13(→))=0,那么()A.eq\o(AO,\s\up13(→))=eq\o(OD,\s\up13(→)) B.eq\o(AO,\s\up13(→))=2eq\o(OD,\s\up13(→))C.eq\o(AO,\s\up13(→))=3eq\o(OD,\s\up13(→)) D。2eq\o(AO,\s\up13(→))=eq\o(OD,\s\up13(→))【解析】由2eq\o(OA,\s\up13(→))+eq\o(OB,\s\up13(→))+eq\o(OC,\s\up13(→))=0,得eq\o(OB,\s\up13(→))+eq\o(OC,\s\up13(→))=-2eq\o(OA,\s\up13(→)),又因为eq\o(OB,\s\up13(→))+eq\o(OC,\s\up13(→))=2eq\o(OD,\s\up13(→)),所以eq\o(AO,\s\up13(→))=eq\o(OD,\s\up13(→)).【答案】A5。如图2。1。28,在正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点,那么eq\o(EF,\s\up13(→))=()图2。1。28A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up13(→))-eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up13(→))B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up13(→))+eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up13(→))C.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up13(→))+eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up13(→))D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up13(→))-eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up13(→))【解析】eq\o(EC,\s\up13(→))=eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up13(→)),eq\o(CF,\s\up13(→))=eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up13(→))=-eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up13(→)),所以eq\o(EF,\s\up13(→))=eq\o(EC,\s\up13(→))+eq\o(CF,\s\up13(→))=eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up13(→))-eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up13(→))。【答案】D二、填空题6。(2016·郑州高一检测)已知eq\o(P1P,\s\up13(→))=eq\f(2,3)eq\o(PP2,\s\up13(→)),若eq\o(PP1,\s\up13(→))=λeq\o(P1P2,\s\up13(→)),则λ等于________.【解析】因为eq\o(P1P,\s\up13(→))=eq\f(2,3)eq\o(PP2,\s\up13(→)),所以-eq\o(PP1,\s\up13(→))=eq\f(2,3)(eq\o(PP1,\s\up13(→))+eq\o(P1P2,\s\up13(→))),即eq\o(PP1,\s\up13(→))=-eq\f(2,5)eq\o(P1P2,\s\up13(→))=λeq\o(P1P2,\s\up13(→)),所以λ=-eq\f(2,5).【答案】-eq\f(2,5)7。已知|a|=6,b与a的方向相反,且|b|=3,a=mb,则实数m=__________。【解析】eq\f(|a|,|b|)=eq\f(6,3)=2,∴|a|=2|b|,又a与b的方向相反,∴a=-2b,∴m=-2.【答案】-28。(2016·南宁高一检测)若eq\o(AP,\s\up13(→))=teq\o(AB,\s\up13(→))(t∈R),O为平面上任意一点,则eq\o(OP,\s\up13(→))=________.(用eq\o(OA,\s\up13(→)),eq\o(OB,\s\up13(→))表示)【解析】eq\o(AP,\s\up13(→))=teq\o(AB,\s\up13(→)),eq\o(OP,\s\up13(→))-eq\o(OA,\s\up13(→))=t(eq\o(OB,\s\up13(→))-eq\o(OA,\s\up13(→))),eq\o(OP,\s\up13(→))=eq\o(OA,\s\up13(→))+teq\o(OB,\s\up13(→))-teq\o(OA,\s\up13(→))=(1-t)eq\o(OA,\s\up13(→))+teq\o(OB,\s\up13(→)).【答案】(1-t)eq\o(OA,\s\up13(→))+teq\o(OB,\s\up13(→))三、解答题9.设a=3i+2j,b=2i-j,试用i,j表示向量eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4a-3b+\f(1,3)b-\f(1,4)6a-7b))。【导学号:72010050】【解】eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4a-3b+\f(1,3)b-\f(1,4)6a-7b))=eq\f(2,3)(4a-3b)+eq\f(2,9)b-eq\f(1,6)(6a-7b)=eq\f(8,3)a-2b+eq\f(2,9)b-a+eq\f(7,6)b=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)-1))a+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-2+\f(2,9)+\f(7,6)))b=eq\f(5,3)a-eq\f(11,8)b=eq\f(5,3)(3i+2j)-eq\f(11,18)(2i-j)=5i+eq\f(10,3)j-eq\f(11,9)i+eq\f(11,18)j=eq\f(34,9)i+eq\f(71,18)j。10。如图2。129所示,OADB是以向量eq\o(OA,\s\up13(→))=a,eq\o(OB,\s\up13(→))=b为邻边的平行四边形。又BM=eq\f(1,3)BC,CN=eq\f(1,3)CD,试用a,b表示eq\o(OM,\s\up13(→)),eq\o(ON,\s\up13(→)),eq\o(MN,\s\up13(→)).图2。1。29【解】eq\o(BM,\s\up13(→))=eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up13(→))=eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up13(→))=eq\f(1,6)(eq\o(OA,\s\up13(→))-eq\o(OB,\s\up13(→)))=eq\f(1,6)(a-b),所以eq\o(OM,\s\up13(→))=eq\o(OB,\s\up13(→))+eq\o(BM,\s\up13(→))=b+eq\f(1,6)a-eq\f(1,6)b=eq\f(1,6)a+eq\f(5,6)b,eq\o(CN,\s\up13(→))=eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up13(→))=eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up13(→)),所以eq\o(ON,\s\up13(→))=eq\o(OC,\s\up13(→))+eq\o(CN,\s\up13(→))=eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up13(→))+eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up13(→))=eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up13(→))=eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up13(→))+eq\o(OB,\s\up13(→)))=eq\f(2,3)(a+b)=eq\f(2,3)a+eq\f(2,3)b.eq\o(MN,\s\up13(→))=eq\o(ON,\s\up13(→))-eq\o(OM,\s\up13(→))=eq\f(2,3)(a+b)-eq\f(1,6)a-eq\f(5,6)b=eq\f(1,2)a-eq\f(1,6)b。[能力提升]1.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若eq\o(AD,\s\up13(→))=2eq\o(DB,\s\up13(→)),eq\o(CD,\s\up13(→))=eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up13(→))+λeq\o(CB,\s\up13(→)),则λ=()A。eq\f(2,3) B。-eq\f(2,3)C。eq\f(2,5) D。eq\f(1,3)【解析】由题意知eq\o(CD,\s\up13(→))=eq\o(CA,\s\up13(→))+eq\o(AD,\s\up13(→)),①eq\o(CD,\s\up13(→))=eq\o(CB,\s\up13(→))+eq\o(BD,\s\up13(→)),②且eq\o(AD,\s\up13(→))+2eq\o(BD,\s\up13(→))=0。①+②×2得3eq\o(CD,\s\up13(→))=eq\o(CA,\s\up13(→))+2eq\o(CB,\s\up13(→)),∴eq\o(CD,\s\up13(→))=eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up13(→))+eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up13(→)),∴λ=eq\f(2,3)。【答案】A2。已知△ABC和点M满足eq\o(MA,\s\up13(→))+eq\o(MB,\s\up13(→))+eq\o(MC,\s\up13(→))=0.若存在实数m使得eq\o(AB,\s\up13(→))+eq\o(AC,\s\up13(→))=meq\o(AM,\s\up13(→))成立,则m=()A。2 B。3C。4 D.5【解析】因为eq\o(MA,\s\up13(→))+eq\o(MB,\s\up13(→))+eq\o(MC,\s\up13(→))=0,所以eq\o(MA,\s\up13(→))+eq\o(MA,\s\up13(→))+eq\o(AB,\s\up13(→))+eq\o(MA,\s\up13(→))+eq\o(AC,\s\up13(→))=0,从而有eq\o(AB,\s\up13(→))+eq\o(AC,\s\up13(→))=-3eq\o(MA,\s\up13(→))=3eq\o(AM,\s\up13(→))=meq\o(AM,\s\up13(→)),故有m=3。【答案】B3。(2016·济宁高一检测)若eq\o(OA,\s\up13(→))=3e1,eq\o(OB,\s\up13(→))=3e2,且P是线段AB靠近点A的一个三等分点,则向量eq\o(OP,\s\up13(→))用e1,e2可表示为eq\o(OP,\s\up13(→))=________。【解析】如图,eq\o(OP,\s\up13(→))=eq\o(OA,\s\up13(→))+eq\o(AP,\s\up13(→))=eq\o(OA,\s\up13(→))+eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up13(→))=eq\o(OA,\s\up13(→))+eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up13(→))-eq\o(OA,\s\up13(→)))=eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up13(→))+eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up13(→))=eq\f(1,3)×3e2+eq\f(2,3)×3e1=2e1+e2。【答案】2e1+e24。如图2.1
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