2017-2018版高中数学第四章函数应用1.1利用函数性质判定方程解的存在学案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE13学必求其心得，业必贵于专精PAGE1．1利用函数性质判定方程解的存在学习目标1.理解函数的零点、方程的根与图像交点三者之间的关系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3。能借助函数单调性及图像判断零点个数．知识点一函数的零点概念思考函数的“零点"是一个点吗？梳理概念：函数y＝f（x)的零点是函数y＝f（x)的图像与横轴的交点的__________．方程、函数、图像之间的关系：方程f（x)＝0______________⇔函数y＝f（x）的图像________________⇔函数y＝f(x）__________．知识点二零点存在性定理思考函数零点有时是不易求或求不出来的．如f(x）＝lgx＋x。但函数值易求，如我们可以求出f（eq\f(1，10))＝lgeq\f（1，10)＋eq\f(1,10)＝－1＋eq\f(1，10）＝－eq\f(9，10），f(1）＝lg1＋1＝1。那么能判断f(x）＝lgx＋x在区间eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，10）,1）)内有零点吗？梳理若函数y＝f（x）在闭区间[a,b]上的图像是______________，并且在区间端点的函数值符号相反，即________________,则在区间(a，b)内,函数y＝f(x)至少有一个零点,即相应的方程f（x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．这个结论可称为函数零点的存在性定理．类型一求函数的零点例1函数f(x）＝（lgx)2－lgx的零点为________．反思与感悟函数y＝f(x）的零点就是方程f（x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字,而不是一个坐标．跟踪训练1函数f(x）＝（x2－1）（x＋2)2（x2－2x－3)的零点个数是________．类型二判断函数的零点所在的区间例2根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是（)x－10123ex0。3712.727。4020.12x＋212345A.(－1，0) B．（0,1）C．(1,2) D．（2,3）反思与感悟在函数图像连续的前提下，f(a）·f(b）＜0，能判断在区间（a，b）内有零点,但不一定只有一个；而f（a）·f（b）＞0，却不能判断在区间（a，b）内无零点．跟踪训练2若函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间（n，n＋1）(n∈N)内，则n＝________.类型三函数零点个数问题eq\x（命题角度1判断函数零点个数)例3求函数f（x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．反思与感悟判断函数零点个数的方法主要有：（1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图像交点的个数判定函数零点的个数．跟踪训练3求函数f（x)＝lnx＋2x－6零点的个数．eq\x（命题角度2根据零点情况求参数范围）例4f（x）＝2x·（x－a）－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是()A．(－∞，＋∞） B．（－2，＋∞)C．（0，＋∞） D．（－1，＋∞)反思与感悟为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向是：（1)化为常见的基本初等函数；（2）尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单．跟踪训练4若函数f（x)＝x2＋2mx＋2m＋1在区间（－1,0）和（1，2）内各有一个零点，则实数m的取值范围是（)A．(－∞,1－eq\r(2）]∪［1＋eq\r(2），＋∞)B．（－∞，1－eq\r（2））∪（1＋eq\r(2)，＋∞）C．［－eq\f(5,6)，－eq\f(1，2)］D．(－eq\f(5，6),－eq\f(1，2))1．函数y＝x的零点是(）A．（0，0)B．x＝0C．x＝1D．不存在2．函数f(x)＝x2－2x的零点个数是(）A．0B．1C．2D．33．若函数f(x)的图像在R上连续不断,且满足f(0)<0，f(1)>0,f（2)>0，则下列说法正确的是（）A．f(x）在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点B．f(x)在区间（0，1)上一定没有零点，在区间（1，2）上一定有零点C．f(x）在区间（0，1)上一定有零点，在区间(1,2）上可能有零点D．f(x）在区间(0,1）上可能有零点，在区间（1，2）上一定有零点4．下列各图像表示的函数中没有零点的是（)5．函数f（x）＝x3－(eq\f(1，2）)x的零点有()A．0个B．1个C．2个D．无数个1．方程f(x）＝g（x）的根是函数f(x）与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数y＝f（x)－g(x)的图像与x轴交点的横坐标．2．在函数零点存在性定理中,要注意三点:(1）函数是连续的;（2)定理不可逆;（3）至少存在一个零点．3．解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：（1）用定理；(2）解方程；（3）用图像．4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解,同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．答案精析问题导学知识点一思考不是,函数的“零点"是一个数，一个使f（x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x）的图像与x轴交点的横坐标．梳理横坐标有实数根与x轴有交点有零点知识点二思考能．因为f(x)＝lgx＋x在区间eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，10），1））内是连续的，函数值从－eq\f(9,10）变化到1，势必在eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,10）,1））内某点处的函数值为0.梳理连续曲线f（a)·f(b）<0题型探究例1x＝1或x＝10解析由（lgx）2－lgx＝0，得lgx(lgx－1)＝0，∴lgx＝0或lgx＝1，∴x＝1或x＝10.跟踪训练14解析f(x)＝(x＋1）(x－1)(x＋2)2(x－3）（x＋1)＝（x＋1)2(x－1）(x＋2）2（x－3)．可知零点为±1，－2,3，共4个．例2C［令f(x）＝ex－(x＋2),则f（－1)＝0.37－1〈0，f(0)＝1－2〈0，f(1)＝2。72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0。由于f(1)·f（2）〈0，∴方程ex－(x＋2）＝0的一个根在（1，2)内．]跟踪训练22解析∵函数f（x)＝3x－7＋lnx在定义域上是增函数，∴函数f(x）＝3x－7＋lnx在区间（n,n＋1)上只有一个零点．∵f（1)＝3－7＋ln1＝－4<0,f（2）＝6－7＋ln2〈0,f(3)＝9－7＋ln3>0,∴函数f（x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(2,3）内，∴n＝2。例3解方法一∵f（0）＝1＋0－2＝－1〈0，f(1）＝2＋lg2－2>0，∴f（x)在(0,1)上必定存在零点．又显然f(x）＝2x＋lg(x＋1)－2在（－1，＋∞）上为增函数．故函数f(x)有且只有一个零点．方法二在同一坐标系下作出h（x)＝2－2x和g（x）＝lg(x＋1）的草图．由图像知g(x）＝lg(x＋1）的图像和h（x)＝2－2x的图像有且只有一个交点，即f（x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．跟踪训练3解方法一由于f(2)〈0，f(3)>0,即f（2)·f(3)〈0，说明这个函数在区间（2，3）内有零点．又因为函数f（x）在定义域（0，＋∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．方法二通过作出函数y＝lnx，y＝－2x＋6的图像,观察两图像的交点个数得出结论．也就是将函数f(x）＝lnx＋2x－6的零点个数转化为函数y＝lnx与y＝－2x＋6的图像交点的个数．由图像可知两函数有一个交点，即函数f(x）有一个零点．例4D［由题意可得a＝x－（eq\f（1，2)）x（x＞0)．令g(x）＝x－（eq\f（1，2）)x,该函数在（0，＋∞）上为增函数，可知g（x）的值域为(－1，＋∞），故a＞－1时,f(x)在(0,＋∞）内有零点．］跟踪训练4D[函数f（x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1，2)内,即函数f（x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图像与x轴的交点一个在（－1，0）内，一个在（1,2)内，根据图像列出不等式组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝2＞0,,f0＝2m＋1＜0,，f1＝4m＋2＜0,,f2＝6m＋5＞0，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（