2017-2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1抛物线及其标准方程学案1-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE22学必求其心得，业必贵于专精PAGE2。1抛物线及其标准方程学习目标1。掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念。2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程。3。明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．知识点一抛物线的定义思考1如图，在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上,在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板,粉笔会画出一条曲线．这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？思考2抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？梳理(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不过F)的距离________的点的集合叫作抛物线．(2）焦点：________.（3)准线：________。知识点二抛物线的标准方程思考1抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定?思考2抛物线标准方程的特点？思考3已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向?梳理抛物线的标准方程有四种类型图形标准方程y2＝2px（p>0）y2＝－2px（p〉0）x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p〉0）焦点坐标eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(p，2），0))eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（p,2)，0）)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0,\f（p,2））)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，－\f（p,2）))准线方程x＝－eq\f（p,2）x＝eq\f（p,2)y＝－eq\f（p,2）y＝eq\f（p，2)类型一抛物线定义的解读例1方程eq\r（x＋32＋y－12）＝eq\f(|x－y＋3|，\r（2））表示的曲线是(）A．圆 B．椭圆C．线段 D．抛物线反思与感悟根据式子的几何意义，利用抛物线的定义，可确定点的轨迹，注意定义中“点F不在直线l上”这个条件．跟踪训练1若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1相外切，又与直线x＋1＝0相切,则动圆圆心的轨迹是________．类型二抛物线的标准方程及求解命题角度1抛物线的焦点坐标或准线方程的求解例2已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程．（1）y2＝－6x；（2)3x2＋5y＝0;（3)y＝4x2；（4）y＝ax2(a≠0)．引申探究1．将例2(4)的方程改为y2＝ax（a≠0)结果如何？2．将例2(4）的方程改为x2＝ay(a≠0)，结果如何？反思与感悟如果已知抛物线的标准方程,求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向．一次项的变量若为x（或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．跟踪训练2已知抛物线y2＝2px（p〉0)的准线与曲线x2＋y2－6x－7＝0相切，则p为（）A．2 B．1C。eq\f（1，2） D。eq\f（1,4）命题角度2求抛物线的标准方程例3求满足下列条件的抛物线的标准方程．（1)过点(－3，2）；(2）焦点在直线x－2y－4＝0上；（3)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线相交于点A，｜AF｜＝5.反思与感悟抛物线标准方程的求法(1）定义法：建立适当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简,根据定义求出p,最后写出标准方程．（2)待定系数法:由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上,进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．跟踪训练3根据下列条件，求抛物线的标准方程．(1）焦点为（－2,0）；（2）焦点到准线的距离是4；（3）过点(1,2）．类型三抛物线在实际生活中的应用例4河上有一抛物线形拱桥,当水面距拱桥顶5m时,水面宽为8m，一小船宽4m、高2m，载货后船露出水面上的部分高0.75m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？反思与感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．跟踪训练4某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．1．抛物线y2＋x＝0的开口（)A．向上 B．向下C．向左 D．向右2．抛物线y2＝8x的焦点坐标和准线方程分别为（)A．(1，0)，x＝－1 B．（2，0），x＝－2C．（3，0），x＝－3 D．(4，0）,x＝－43．已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则抛物线方程可以为（）A．y2＝x B．y2＝2xC．x2＝－3y D．x2＝－6y4．抛物线x2＝8y上的点M到x轴的距离为6，则点M与抛物线的焦点间的距离为________．5．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)准线方程为y＝－3；（2）抛物线与椭圆eq\f(x2,4＋m）＋eq\f（y2，3＋m）＝1的一个焦点相同．1．焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0），此时焦点坐标为F(eq\f（m,4)，0），准线方程为x＝－eq\f（m，4)；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0),此时焦点为F(0,eq\f（m，4）)，准线方程为y＝－eq\f(m,4）。2．设M是抛物线上一点,焦点为F，则线段MF叫作抛物线的焦半径．若M（x0，y0）在抛物线y2＝2px(p〉0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋eq\f(p，2).

答案精析问题导学知识点一思考1平面内与一个定点F和一条定直线l（定点不在定直线上)距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．思考2不能，若l经过点F，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于l的一条直线．梳理(1）相等（2)点F（3）直线l知识点二思考1p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向．思考2(1)原点在抛物线上；（2)对称轴为坐标轴；（3）p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4）准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5）焦点、准线到原点的距离都等于eq\f(p,2)。思考3一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴（或y轴)上;若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负,则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．题型探究例1D［eq\r（x＋32＋y－12)＝eq\f(｜x－y＋3|,\r（2）），它表示点M（x，y）与点F（－3,1）的距离等于点M到直线x－y＋3＝0的距离，且点F(－3，1）不在直线上．根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线．]跟踪训练1抛物线解析由题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x＋1＝0的距离大1，故动圆圆心的轨迹是以(2，0)为焦点，x＝－2为准线的抛物线，其方程为y2＝8x。例2解（1）由方程y2＝－6x，知抛物线开口向左，2p＝6,p＝3，eq\f（p,2）＝eq\f(3,2），所以焦点坐标为(－eq\f(3,2)，0），准线方程为x＝eq\f（3,2）.(2）将3x2＋5y＝0化为x2＝－eq\f（5,3）y，知抛物线开口向下,2p＝eq\f（5,3），p＝eq\f（5,6），eq\f(p，2）＝eq\f（5，12)，所以焦点坐标为(0，－eq\f(5,12)），准线方程为y＝eq\f(5，12）.(3)将y＝4x2化为x2＝eq\f（1,4）y，知抛物线开口向上，2p＝eq\f(1，4),p＝eq\f(1，8），eq\f(p，2）＝eq\f（1,16），所以焦点坐标为(0，eq\f(1,16））,准线方程为y＝－eq\f（1，16）。（4)抛物线方程y＝ax2可化为x2＝eq\f(1，a)y，当a>0时，2p＝eq\f(1,a），p＝eq\f（1,2a)，故焦点坐标是（0,eq\f(1，4a))，准线方程是y＝－eq\f(1，4a).当a〈0时，2p＝－eq\f(1，a)，p＝－eq\f(1，2a)，故焦点坐标是(0，eq\f(1，4a)），准线方程是y＝－eq\f（1,4a).综上，抛物线y＝ax2的焦点坐标（0,eq\f(1，4a)），准线方程为y＝－eq\f（1,4a).引申探究1．焦点是(eq\f(a,4),0)，准线方程是x＝－eq\f（a,4)。2．焦点是（0，eq\f(a,4))，准线方程是y＝－eq\f(a,4).跟踪训练2A[注意到抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，曲线x2＋y2－6x－7＝0，即（x－3)2＋y2＝16，它表示圆心为(3,0)，半径为4的圆．由题意得eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\f（p,2）＋3)）＝4.又p>0,因此有eq\f(p，2)＋3＝4，解得p＝2，故选A.]例3解(1）当抛物线的焦点在x轴上且过点(－3,2)时，可设抛物线方程为y2＝－2px（p〉0)，把（－3,2）代入得22＝－2p×（－3)，∴p＝eq\f(2，3），∴所求抛物线方程为y2＝－eq\f（4,3）x.当抛物线的焦点在y轴上且过点(－3,2）时，可设抛物线方程为x2＝2py（p>0),把(－3，2)代入得（－3)2＝2p×2，∴p＝eq\f(9,4)，∴所求抛物线方程为x2＝eq\f(9,2）y。综上，所求抛物线方程为y2＝－eq\f（4，3）x或x2＝eq\f(9,2)y。（2)直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4，0)，与y轴的交点为（0，－2),故抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2），当抛物线的焦点为（4，0）时,设抛物线方程为y2＝2px（p>0)，∵eq\f(p，2)＝4，∴p＝8，∴抛物线方程为y2＝16x.当抛物线的焦点为（0，－2）时，设抛物线方程为x2＝－2py（p〉0)，∵－eq\f（p，2)＝－2，∴p＝4，∴抛物线方程为x2＝－8y.综上，所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y。（3)设所求焦点F在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝2px（p≠0），A(m,－3)．则由抛物线的定义得|AF｜＝eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(m＋\f(p,2)))＝5,∵点A在抛物线上，∴（－3)2＝2pm,从而可得p＝±1或p＝±9.∴所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.跟踪训练3解（1)焦点在x轴的负半轴上，eq\f（p，2)＝2，即p＝4.所以抛物线的方程是y2＝－8x.（2）p＝4,抛物线的方程有四种形式:y2＝8x，y2＝－8x，x2＝8y,x2＝－8y.(3)方法一点（1，2)在第一象限，要分两种情形讨论：当抛物线的焦点在x轴上时,设抛物线的方程为y2＝2px（p〉0），则22＝2p·1，解得p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x；当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2＝2py(p〉0)，则12＝2p·2，解得p＝eq\f（1，4)，∴抛物线方程为x2＝eq\f（1,2)y.方法二设所求抛物线的标准方程为y2＝mx或x2＝ny，将点（1,2）代入，得m＝4，n＝eq\f(1，2），故所求的方程为y2＝4x或x2＝eq\f(1，2）y。例4解如图,以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴,建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py（p〉0）．由题意可知，点B(4,－5)在抛物线上，故p＝eq\f（8，5)，得x2＝－eq\f（16,5）y。当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA），由22＝－eq\f（16,5）yA，得yA＝－eq\f(5，4）.又知船面露出水面上的部分高为0。75m,所以h＝|yA|＋0.75＝2（m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时，小船开始不能通航．跟踪训练4解如图，建立平面直角坐标系,设抛物线方程为x2＝－2py(p〉0）．依题意知，点P（10,－4)在抛物线上，所以100＝－2p×(－4），2p＝25.即抛物线方程为x2＝－25y.因为每4米需用一根支柱支撑，所以支柱横坐标分别为－6，－2,2，6。由图知,AB是最长的支柱之一．设点B的坐标为(2，yB),代入x2＝－25y，得yB＝－eq