2017-2018版高中数学第二章平面向量2.1向量的加法学案4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE16学必求其心得，业必贵于专精PAGE2．1向量的加法学习目标1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义。2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律,并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．知识点一向量加法的定义及其运算法则分析下列实例:(1）飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的．（2)有两条拖轮牵引一艘轮船,它们的牵引力分别是F1＝3000N，F2＝2000N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图）,如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果． 思考1从物理学的角度来讲，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？思考2上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用了什么法则?梳理(1）向量加法的定义求________________的运算，叫作向量的加法．(2)向量加法的法则三角形法则已知向量a，b，在平面上任取一点A，作eq\o(AB，\s\up6(→））＝a,eq\o(BC，\s\up6(→)）＝b，再作向量eq\o（AC，\s\up6(→))，则向量eq\o(AC，\s\up6（→））叫作向量a与b的和，记作________，即a＋b＝eq\o（AB,\s\up6(→））＋eq\o（BC，\s\up6(→)）＝________平行四边形法则已知向量a，b，在平面内任取一点A,作eq\o（AB,\s\up6（→）)＝a，eq\o(AD，\s\up6（→））＝b，再作平行于eq\o（AD，\s\up6(→）)的eq\o（BC,\s\up6(→）)＝b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形．向量eq\o（AC，\s\up6(→））叫作向量a与b的和,表示为______＝a＋b向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义．知识点二向量加法的运算律思考1实数加法有哪些运算律？思考2根据图中的平行四边形ABCD，验证向量加法是否满足交换律．(注：eq\o(AB，\s\up6（→））＝a，eq\o（AD，\s\up6(→)）＝b)思考3根据图中的四边形ABCD，验证向量加法是否满足结合律．（注:eq\o（AB，\s\up6（→))＝a，eq\o(BC，\s\up6（→））＝b，eq\o(CD，\s\up6（→)）＝c)梳理向量加法的运算律交换律a＋b＝________结合律(________)＋c＝a＋(________）类型一向量加法的三角形法则和平行四边形法则例1如图(1）（2），已知向量a，b,c，求作向量a＋b和a＋b＋c。（1）（2）反思与感悟向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点"．(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．联系:(1）当两个向量不共线时,向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的．（2）三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．跟踪训练1如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量．（1)eq\o（OA，\s\up6(→）)＋eq\o（OC，\s\up6（→）)＝________;（2）eq\o(BC，\s\up6（→））＋eq\o（FE，\s\up6（→）)＝________；(3)eq\o（OA，\s\up6（→））＋eq\o（FE，\s\up6(→）)＝________.类型二向量加法运算律的应用例2化简:（1)eq\o(BC，\s\up6（→))＋eq\o（AB,\s\up6(→）);(2)eq\o（DB,\s\up6(→）)＋eq\o(CD，\s\up6（→）)＋eq\o(BC,\s\up6(→）)；（3)eq\o(AB,\s\up6（→））＋eq\o（DF,\s\up6(→）)＋eq\o（CD，\s\up6（→）)＋eq\o(BC，\s\up6(→)）＋eq\o（FA,\s\up6（→）).反思与感悟（1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接,再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．（2）向量求和的多边形法则：eq\o(A1A2，\s\up6（→））＋eq\o（A2A3,\s\up6(→)）＋eq\o（A3A4,\s\up6(→)）＋…＋An－1An＝eq\o（A1An,\s\up6（→））.特別地，当An和A1重合时，eq\o(A1A2，\s\up6（→））＋eq\o（A2A3，\s\up6(→））＋eq\o(A3A4，\s\up6（→))＋…＋An－1A1＝0.跟踪训练2已知正方形ABCD的边长等于1，则｜eq\o（AB，\s\up6(→））＋eq\o(AD,\s\up6（→))＋eq\o（BC,\s\up6(→）)＋eq\o(DC,\s\up6(→）)|＝________.类型三向量加法的实际应用例3在静水中船的速度为20m/min,水流的速度为10m/min,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．引申探究1．若本例中条件不变，则经过1h，该船的实际航程是多少?2．若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值．反思与感悟向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图像是解题关键．跟踪训练3如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)1.如图，在正六边形ABCDEF中,eq\o(BA，\s\up6(→）)＋eq\o（CD,\s\up6（→)）＋eq\o(EF,\s\up6（→））等于（)A．0 B。eq\o(BE，\s\up6(→))C.eq\o（AD,\s\up6(→）） D。eq\o(CF,\s\up6(→)）2。如图,D，E，F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点，则下列等式中错误的是（）A。eq\o（FD,\s\up6（→)）＋eq\o(DA，\s\up6（→))＋eq\o（DE，\s\up6(→))＝0B.eq\o（AD，\s\up6（→))＋eq\o(BE，\s\up6（→）)＋eq\o（CF，\s\up6（→））＝0C.eq\o（FD,\s\up6（→))＋eq\o（DE,\s\up6(→）)＋eq\o（AD,\s\up6(→))＝eq\o（AB，\s\up6（→)）D.eq\o（AD,\s\up6（→）)＋eq\o(EC,\s\up6（→)）＋eq\o（FD，\s\up6（→))＝eq\o（BD，\s\up6（→))3．（eq\o(AB,\s\up6（→))＋eq\o（MB,\s\up6（→））)＋(eq\o(BO,\s\up6（→))＋eq\o（BC,\s\up6(→))）＋eq\o（OM,\s\up6(→))等于（)A.eq\o（BC,\s\up6（→)) B.eq\o(AB,\s\up6（→)）C。eq\o(AC，\s\up6（→）) D。eq\o(AM,\s\up6(→))4.如图所示，在四边形ABCD中,eq\o(AC，\s\up6(→）)＝eq\o(AB，\s\up6（→））＋eq\o(AD，\s\up6（→）），则四边形为(）A．矩形B．正方形C．平行四边形D．菱形5．小船以10eq\r(3)km/h的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10km/h，则小船的实际航行速度的大小为________km/h.1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法,两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时,可以按照任意的次序和任意的组合去进行．3．在使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0。

答案精析问题导学知识点一思考1后面的一次位移叫作前面两次位移的合位移，四边形OACB的对角线eq\o(OC,\s\up6(→))表示的力是eq\o(OA，\s\up6(→）)与eq\o(OB,\s\up6(→)）表示的力的合力．体现了向量的加法运算．思考2三角形法则和平行四边形法则．梳理(1）两个向量和(2)a＋beq\o(AC,\s\up6(→）)eq\o(AC，\s\up6(→）)知识点二思考1交换律和结合律．思考2∵eq\o（AC,\s\up6（→)）＝eq\o(AB，\s\up6（→）)＋eq\o（BC,\s\up6（→))，∴eq\o(AC,\s\up6（→））＝a＋b。∵eq\o(AC,\s\up6(→））＝eq\o（AD,\s\up6（→)）＋eq\o(DC，\s\up6(→）)，∴eq\o（AC,\s\up6(→）)＝b＋a。∴a＋b＝b＋a.思考3∵eq\o（AD，\s\up6(→）)＝eq\o(AC，\s\up6（→）)＋eq\o（CD，\s\up6(→))＝(eq\o（AB，\s\up6（→))＋eq\o（BC，\s\up6（→)))＋eq\o（CD,\s\up6（→)），∴eq\o（AD,\s\up6（→））＝（a＋b)＋c，又∵eq\o（AD，\s\up6(→）)＝eq\o(AB，\s\up6(→))＋eq\o（BD，\s\up6（→））＝eq\o（AB，\s\up6（→)）＋(eq\o(BC，\s\up6（→))＋eq\o(CD,\s\up6（→))),∴eq\o（AD,\s\up6（→）)＝a＋(b＋c)，∴(a＋b）＋c＝a＋(b＋c）．梳理b＋aa＋bb＋c题型探究例1解(1）作法：在平面内任意取一点O，作eq\o(OA,\s\up6（→)）＝a，eq\o(AB，\s\up6（→））＝b,则eq\o(OB，\s\up6(→）)＝a＋b.(2)在平面内任意取一点O，作eq\o(OA，\s\up6（→))＝a，eq\o（AB,\s\up6（→)）＝b，eq\o(BC，\s\up6(→)）＝c,则eq\o(OC，\s\up6(→）)＝a＋b＋c.跟踪训练1（1）eq\o（OB，\s\up6（→))（2）eq\o（AD,\s\up6（→))(3）0例2解（1）eq\o(BC，\s\up6(→）)＋eq\o(AB，\s\up6（→））＝eq\o（AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC，\s\up6(→)）＝eq\o（AC，\s\up6（→）)。(2)eq\o(DB,\s\up6（→）)＋eq\o(CD，\s\up6（→））＋eq\o(BC,\s\up6（→))＝eq\o（BC，\s\up6(→)）＋eq\o(CD,\s\up6（→）)＋eq\o（DB，\s\up6(→))＝(eq\o（BC,\s\up6（→)）＋eq\o(CD，\s\up6（→)))＋eq\o（DB，\s\up6（→))＝eq\o（BD，\s\up6(→））＋eq\o(DB，\s\up6(→))＝0。(3）eq\o（AB,\s\up6（→）)＋eq\o(DF，\s\up6（→）)＋eq\o(CD，\s\up6（→))＋eq\o（BC，\s\up6(→))＋eq\o（FA，\s\up6(→））＝eq\o(AB,\s\up6(→））＋eq\o（BC，\s\up6（→）)＋eq\o(CD,\s\up6(→）)＋eq\o（DF，\s\up6（→）)＋eq\o(FA，\s\up6(→）)＝eq\o(AC，\s\up6(→）)＋eq\o(CD,\s\up6（→)）＋eq\o(DF,\s\up6（→））＋eq\o(FA，\s\up6（→)）＝eq\o（AD，\s\up6(→)）＋eq\o（DF,\s\up6(→））＋eq\o（FA，\s\up6（→)）＝eq\o（AF，\s\up6(→))＋eq\o（FA，\s\up6(→）)＝0。跟踪训练22eq\r(2）例3解作出图形，如图所示．船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形．在Rt△ACD中，|eq\o（CD,\s\up6(→））|＝｜eq\o(AB,\s\up6（→））｜＝｜v水｜＝10m/min,|eq\o(AD，\s\up6（→）)|＝|v船｜＝20m/min,∴cosα＝eq\f（|\o(CD,\s\up6（→))|，｜A\o（D,\s\up6(→）)｜)＝eq\f(10，20）＝eq\f(1,2),∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．∴船是沿与水流的方向成120°的角的方向行进．引申探究1．解由例3知v船＝20m/min，v实际＝20×sin60°＝10eq\r(3)（m/min）,故该船1h行驶的航程为10eq\r（3）×60＝600eq\r(3)（m）＝eq\f(3\r(3）,5)(km）．2．解