第七章 位移法龙驭球结构力学

第七章位移法熟练掌握位移法基本未知量和基本结构的确定、位移法典型方程的建立及其物力意义、位移法方程中的系数和自由项的物理意义及其计算、最终弯矩图的绘制。熟记一些常用的形常数和载常数。熟练掌握由弯矩图绘制剪力图和轴力图的方法。掌握利用对称性简化计算。重点掌握荷载荷载作用下的计算，了解其它因素下的计算。位移法方程有两种建立方法，写典型方程法和写平衡方程法。要求熟练掌握一种，另一种了解即可。7.1基本概念欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。位移法的特点：基本未知量——独立结点位移；基本体系——一组单跨超静定梁；基本方程——平衡条件。力法的特点：基本未知量——多余未知力；基本体系——静定结构；基本方程——位移条件（变形协调条件）。力法思路：转换超静定结构静定结构超静定结构位移法思路：先化整为零，再集零为整结构杆件结构两种方法：平衡方程法和典型方程法基本思路ll↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qEI=常数ABCθAθAθA↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABCql2/245ql2/48ql2/48qB↓↓↓↓↓↓↓↓ACA位移法分析中应解决的问题是：

①用力法确定单跨超静定梁在杆端发生各种位移时以及荷载等因素作用下的内力。

②确定以结构上的哪些位移作为基本未知量。

③如何求出这些位移。杆端力和杆端位移的正负规定：杆端转角，弦转角＝Δ/l都以顺时针为正。杆端弯矩对杆端以顺时针为正，剪力使分离体有顺时针转动趋势时为正，否则为负。1.由杆端位移求杆端弯矩7.2杆件单元的形常数和载常数i=EI/l----线刚度单位荷载法可得出：解联立方程可得：弯曲杆件的刚度方程刚度系数又称形常数ABEIMABMBAABEI1).两端固定梁ABEIMABMBAABEIAiBAiBABiMABMBA2).一端固定、一端滚轴支座的梁

BAiBAiBAEI3).一端固定、一端滑动支座的梁BAEIMABMBA4).

等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同，则相应的杆端力也相同。

1)BAMABMBABAMABMBA荷载引起的杆端内力称为载常数.2.由荷载求固端内力（载常数教材表7-1）位移法基本未知量个数的确定一、角位移个数的确定二、线位移个数的确定结点线位移是位移法计算中的一个基本未知量，为了减少基本未知量的个数，使计算得到简化，常作以下假设：(1)忽略由轴力引起的轴向变形；(2)结点位移都很小；(3)直杆变形后，曲线两端的连线长度等于原直线长度。线位移数也可以用几何方法确定。140将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。角位移数5线位移数2角位移数2线位移数1§7.3无侧移刚架的计算如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架称为无侧移刚架。ABC3m3m6mEIEIFP=20kNq=2kN/mBqBEIFPBEIMBAMABMBC1、基本未知量B2、固端弯矩3、列杆端转角位移方程设4、位移法基本方程（平衡条件）16.7215.8511.573.21MBAMBCqBEIPBEIMBAMABMBC3、列杆端转角位移方程4、位移法基本方程（平衡条件）5、各杆端弯矩及弯矩图M图(1)变形连续条件:在确定基本未知量时得到满足；(2)物理条件:即刚度方程；(3)平衡条件:即位移法基本方程。超静定结构必须满足的三个条件:例1、试用位移法分析图示刚架。4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0（1）基本未知量

B、C（2）杆端弯矩Mi

j计算线性刚度i，设EI0=1，则梁柱(3)位移法方程4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I。5I。4I。3I。3I。梁(4)解方程(相对值)(5)杆端弯矩及弯矩图梁柱ABCDFE43.546.924.514.73.451.79.84.89M图小结1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；2、单元分析、建立单元刚度方程是基础；3、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括外力矩。ABCDqqPMMMCBMCDCABCDE8kN/miii7.4有侧移刚架的计算↓↓↓↓↓↓↓3kN/m8m4m2iiiΔΔθB位移法计算有侧移刚架一般说来，在位移法的基本未知量中，每一个转角有一个相应的结点力矩平衡方程，每一个独立结点线位移有一个相应的截面平衡方程，平衡方程的个数与基本未知量的个数相等，正好全部求解基本未知量。13.624.425.69M图(kN.m)MABFQABMBAFQBAMBCFQCDFQDCMDC例1.用位移法分析图示刚架。[解]（1）基本未知量B、（2）单元分析BC8m4mii2iABCD3kN/mMABFQABMBAFQBAMBCFQCDFQDCMDCBCMBCMBA（3）位移法方程FQBA+FQCD=0…………...(2a)FQBAFQCD（4）解位移法方程（4）解位移法方程（5）弯矩图MAB=-13.896kN·mMBA=-4.422kN·mMBC=4.422kN·mMDC=-5.685kN·mFQBA=-1.42kNFQCD=-1.42kNABCD13.8964.4224.4225.685M图（kN·m）ABCDEFmq例2.用位移法分析图示刚架。思路MBAMBCMCBMBEMEBMCDmMCFMFCFQBEFQCF基本未知量为：PABCDEFpFQCEFQCAFQCB基本未知量为：MCEMCAMCDFQCAFQCEMCAMCDMCE用位移法计算并作图示结构M图，横梁为无穷刚梁EI→∞，两柱刚度均为EI7.5位移法典型方程----刚臂,限制转动的约束基本体系与原结构的区别：增加了人为约束，把基本未知量由被动的位移变成为人工控制的主动位移。ll↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qEI=常数ABCβA↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABCθAF1F1=0典型方程法基本体系转化为原结构的条件：基本结构在给定荷载以及结点位移∆1作用下，附加约束反力应等于零。ll↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qEI=常数ABCβA↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABCθAF1F1=0↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABCF1Pql2/12ql2/12ABCθAF11θAθAql2/12F1P4iF11↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABCql2/245ql2/48ql2/48Δ1Δ1Δ2Δ1Δ1Δ2F1F2F1=0F2=0F1PF2Pk21Δ1=1Δ1×

Δ1×

Δ2k11Δ2=1k22k12位移法基本体系F1=0F2=0F11、F21(k11、k21)──基本体系在Δ1(=1)单独作用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；F12、F22(k12、k22)──基本体系在Δ2(=1)单独作用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；F1P、F2P──基本体系在荷载单独作用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；位移法方程的含义：基本体系在结点位移和荷载共同作用下，产生的附加约束中的总约束力(矩)等于零。实质上是平衡条件。位移法典型方程n个结点位移的位移法典型方程

主系数kii──基本体系在Δi=1单独作用时，在第i个附加约束中产生的约束力矩和约束力，恒为正；

付系数kij=kji──基本体系在Δj=1单独作用时，在第i个附加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；

自由项FiP──基本体系在荷载单独作用时，在第i个附加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；；再由结点矩平衡求附加刚臂中的约束力矩，由截面投影平衡求附加支杆中的约束力。①确定位移法基本未知量，加入附加约束，取位移法基本体系。②令附加约束发生与原结构相同的结点位移，根据基本结构在荷载等外因和结点位移共同作用下产生的附加约束中的总反力（矩）=0，列位移法典型方程。③绘出单位弯矩图、荷载弯矩图，利用平衡条件求系数和自由项。④解方程，求出结点位移。⑤用公式叠加最后弯矩图。并校核平衡条件。⑥根据M图由杆件平衡求FQ，绘FQ图，再根据FQ图由结点投影平衡求FN，绘FN图。↓↓↓↓↓↓↓3kN/m8m4m2iiiΔ2Δ2Δ1↓↓↓↓↓↓↓3kN/mΔ2Δ1F1F2F1=0F2=0↓↓↓↓↓↓↓3kN/mF1PF2Pk12k22乘Δ2k11k21乘Δ1Δ1=1Δ2=1F1Pk12k11F1Pk12k11F1Pk12k11F1Pk12k11F2Pk22k21F2Pk22k21F2Pk22k21F2Pk22k21F2Pk22k21

44MPF1P0

F1P=4F2P=－60F2P4i2i6i6ik11

k11=10ik21=－1.5iM1k12

01.5ik21

k22

M2

k12=－1.5ik21=15i/161.5i1.5i0.75i解之:Δ1=0.737/i，Δ2=7.58/i利用叠加弯矩图

13.624.425.69M图(kN.m)位移法计算有侧移刚架与线位移相应的位移法方程是沿线位移方向的截面投影方程。方程中的系数和自由项是基本体系附加支杆中的反力，由截面投影方程来求。7.6对称性的利用结构对称是指结构的几何形状、支座条件、材料性质及各杆刚度EA、EI、GA均对称。利用结构对称性简化计算，基本思路是减少位移法的基本未知量。一、奇数跨刚架分析与对称轴相交截面的位移条件，在根据对称性取半边结构时，该截面应加上与位移条件相应的支座。1.对称荷载对称结构在对称荷载作用下，其内力和变形均对称。在取半边结构时，B截面加上滑动支座，但横梁线刚度应加倍。与对称轴相交截面B的位移条件为:未知量FPFP

Bi2i1i12i2i1BC

FP

Bii1i2ii1i2i

FP

FP未知量ii1i22iBCA

FP2．反对称荷载对称结构在反对称荷载作用下，其内力和变形均反对称。

FPi2i1BC未知量FP

FP

B

i2i1i1

i2未知量B

2i2i1C

FP

FPBi2i1i1

FPC二、偶数跨刚架偶数跨刚架不存在与对称轴相交的截面。1.对称荷载

FP

FPBi2iii2i1

FPBi2i2.反对称荷载FPBII1/2I2

将中柱分成惯性矩各为I1/2的两个柱，两柱间跨度为dl

，则原结构变为奇数跨。利用奇数跨结构在反对称荷载作用下的结论就可以得到图示简化结果。FPFPBIII1I2

I2

dlFPFPBIII1/2I1/2I2

I2

FPBII1/2I2

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓4m4m4m4m4m4m30kN30kN10kN/mEI=C用位移法计算图示结构,并绘弯矩图.4m4m30kN10kN/m↓↓↓↓↓↓4080kN.m1iiABC=25=－5=－25=－20=－1080252051025M(kN.m)三、举例↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m4m3m4m4m4I4I5I4I5I4m↓↓↓↓↓↓↓12kN/mi=1i=1ACBACAM2q=AACMq=4ABAMq+=162Aq-=164AABMq×-=12412420=+=åACABAMMM20168==-AAqqMABMACA=－8kN.m=20kN.m=8kN.m=4kN.m482024482024M图(