2017-2018版高中数学第二章解析几何初步2.2圆的一般方程学案2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE17学必求其心得，业必贵于专精PAGE2．2圆的一般方程学习目标1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方程。3.初步体会圆的方程的实际应用．知识点圆的一般方程思考1方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？思考2方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆？梳理圆的一般方程方程条件图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点（－eq\f（D,2），－eq\f（E,2）)D2＋E2－4F〉0表示以（－eq\f(D,2),－eq\f(E,2）)为圆心，以eq\f(1,2）eq\r(D2＋E2－4F)为半径的圆D2＋E2－4F<0不表示任何图形类型一圆的一般方程的概念例1若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径．反思与感悟形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法(1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F〉0成立，则表示圆，否则不表示圆．(2）将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．跟踪训练1（1)已知a∈R,方程a2x2＋(a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为____________，半径为____________．（2)点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．类型二求圆的一般方程例2已知A(2,2),B(5，3），C（3，－1)．(1）求△ABC的外接圆的方程；(2)若点M（a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值．引申探究若本例中将点“C（3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”,其他条件不变，如何求圆C的方程？反思与感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意(1）如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程,一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a,b，r。(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D,E，F。跟踪训练2已知一圆过P（4，－2），Q(－1,3）两点,且在y轴上截得的线段长为4eq\r（3）,求圆的方程．类型三圆的方程的实际应用例3如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度．(精确到0。01m）反思与感悟在解决圆在实际生活中的应用问题时，借助坐标系，利用方程求解可取得简便、精确的效果．应用解析法的关键是建系，合理适当的建系对问题的解决会有很大帮助．跟踪训练3如图所示，一座圆拱桥,当水面在图示位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m,当水面下降1m后，水面宽为多少？1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为()A．8π B．4πC．2π D．π2．若点M（3，0）是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3，0）的最长的弦所在的直线方程是（)A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝03．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是()A．m≤2 B．m＜eq\f(1，2）C．m＜2 D．m≤eq\f（1，2）4．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2),半径为2的圆,则a,b,c的值依次为（)A．－2,4,4 B．－2，－4，4C．2,－4,4 D．2，－4,－45．已知圆心为C的圆经过点A(1，0)，B（2,1)，且圆心C在y轴上,求此圆的一般方程．1．判断二元二次方程表示圆要“两看”:一看方程是否具备圆的一般方程的特征;二看它能否表示圆．此时判断D2＋E2－4F是否大于0或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数．2．待定系数法求圆的方程如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法分别求出常数D、E、F。答案精析问题导学知识点思考1对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方,得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆，对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得（x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形．思考2对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方并移项，得（x＋eq\f（D，2))2＋（y＋eq\f（E,2)）2＝eq\f(D2＋E2－4F,4）.①当D2＋E2－4F＞0时，方程表示的是以（－eq\f（D,2），－eq\f（E,2)）为圆心，eq\f（1，2）eq\r（D2＋E2－4F）为半径的圆;②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有一个实数解x＝－eq\f(D,2),y＝－eq\f(E，2），它表示一个点（－eq\f（D,2)，－eq\f（E，2))；③当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解，它不表示任何图形．题型探究例1解由表示圆的条件，得（2m）2＋(－2)2－4（m2＋5m）〉0,解得m〈eq\f(1，5），即实数m的取值范围为(－∞，eq\f（1，5)）．圆心坐标为（－m，1）,半径为eq\r(1－5m）.跟踪训练1(1）(－2,－4)5（2)9π解析(1）由圆的一般方程的形式知，a＋2＝a2,得a＝2或－1。当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋eq\f（5，2)＝0，∵D2＋E2－4F＝12＋22－4×eq\f（5,2)＜0，∴a＝2不符合题意．当a＝－1时,方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即（x＋2)2＋（y＋4)2＝25，∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.(2）圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标为(－eq\f(k，2),－1）,由圆的性质知，直线x－y＋1＝0经过圆心，∴－eq\f(k,2)＋1＋1＝0，得k＝4，∴圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为eq\f（1，2)eq\r（42＋22＋16）＝3，∴该圆的面积为9π。例2解（1）设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意，得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（22＋22＋2D＋2E＋F＝0,,52＋32＋5D＋3E＋F＝0，,32＋－12＋3D－E＋F＝0，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（D＝－8，,E＝－2,，F＝12.))即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0。(2）由（1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，∵点M（a,2）在△ABC的外接圆上，∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0,解得a＝2或6。引申探究解∵kAB＝eq\f(3－2，5－2）＝eq\f(1，3),AB的中点坐标为(eq\f(7，2)，eq\f(5,2)），∵AB的垂直平分线方程为y－eq\f（5,2)＝－3(x－eq\f(7,2）)．联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝－x，,y－\f（5,2)＝－3x－\f（7，2），))得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f（13,2)，,y＝－\f（13,2），））即圆心C的坐标为（eq\f(13,2)，－eq\f(13，2)），r＝eq\r（\f（13,2)－22＋－\f(13,2）－22）＝eq\f（\r(370）,2），∴圆C的方程为(x－eq\f(13,2)）2＋（y＋eq\f(13,2）)2＝eq\f(185，2).跟踪训练2解方法一（待定系数法）设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,将P,Q的坐标分别代入上式，得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（4D－2E＋F＋20＝0，①，D－3E－F－10＝0.②)）令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，③由已知得|y1－y2｜＝4eq\r(3)，其中y1，y2是方程③的根，∴|y1－y2｜2＝（y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48。④联立①②④解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（D＝－2，,E＝0,，F＝－12)）或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－10，，E＝－8，,F＝4.））故圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0。方法二(几何法）由题意得线段PQ的垂直平分线方程为x－y－1＝0，∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为（a，a－1)．又圆C的半径长r＝｜CP|＝eq\r(a－42＋a＋12）.①由已知得圆C截y轴所得的线段长为4eq\r（3）,而圆心C到y轴的距离为|a|，∴r2＝a2＋(eq\f(4\r（3),2)）2，代入①整理得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1,a2＝5，∴r1＝eq\r(13），r2＝eq\r（37）.故圆的方程为（x－1)2＋y2＝13或(x－5）2＋(y－4)2＝37.例3解建立如图所示的直角坐标系，使圆心在y轴上．设圆心的坐标是(0，b），圆的半径是r,那么圆的方程是x2＋(y－b）2＝r2.因为P，B都在圆上，所以它们的坐标（0,4），（10，0)都满足方程x2＋（y－b）2＝r2。于是,得到方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(02＋4－b2＝r2，,102＋0－b2＝r2。))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（b＝－10.5,,r2＝14。52。））所以圆的方程是x2＋（y＋10.5)2＝14.52。把点P2的横坐标x＝－2代入圆的方程，得(－2)2＋(y＋10。5）2＝14.52，即y＋10。5＝eq\r(14。52－－22)(P2的纵坐标y〉0,平方根取正值)．所以y＝eq\r(14。52－－22）－10.5≈14。36－10。5＝3。86（m）．故支柱A2P2的高度约为3.86m.跟踪训练3解以圆拱桥顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6,－2），B(－6，－2），设圆拱所在的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,因为原点在圆上，所以F＝0.另外点A，点B在圆上，所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（40＋6D－2E＝0,,40－6D－2E＝0。）)所以D＝0，E＝20,所以圆的方程为x2＋y2＋20y＝0.当水面下降1m后，可设点A′的坐标（x0，－3）(x0>0），如图所示，将A′的坐标(x0，－3）代入圆的方程,求得x0＝eq\r(51），所以，水面下降1m后，水面宽为2x0＝2eq\r（51)(m）．当堂训练1．C2.C3.B4。A5．解方法一设圆心C的坐标为（0，b），由|CA｜＝|CB|，得eq\r（1＋b2）＝eq\r（22＋b－12）,解得b＝2.∴C点坐标为(0，2)．∴圆C的半径r＝｜CA｜＝eq\r(5）.∴圆C的方程为x2＋(y－2）2＝5