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文档简介

第二节数列极限的定义一、数列定义正整数集N*上的函数称为数列.记为.

由定义，对每个正整数，数列都确定了一个相应的实数

，这些可按下标从小到大依次排成一个序列例

一般项.数列中的第

个数又称为数列的第项，又叫作一般项.例

一般项

例

一般项.例

一般项

.二、极限的描述在上面的这些例中，前三例一般项都有明确的变化趋势：最后一例的一般项却没有明确的变化趋势.如何用定量化的数学方法来刻画数列的极限？从本质上看，数列的极限反映了数列当

趋于无穷大时，数列中的项与某一个定数充分接近.而两个数

和

的接近程度可用两数差的绝对值来刻画.故只要

充分大，就充分小.考察，，即：当时,可使例如要使只要即从第101项开始的以后所有项都满足；即：当时,可使又如要使只要即从第10001项开始的以后所有项都满足；即：当时,可使一般要使只要即从第

项开始的以后所有项都满足：更一般，要使（其中是任意小的正数）只要即可，即：当时,可使即从第

项开始的以后所有项都满足：都可以小于该数.对上例的分析，可以看到，无论一个正数取得多么小，总可以找到自然数n，在这项以后的所有项与1的距离数学上用

来表示一个任意小的正数.由此得到极限的精确定义:三、极限的定义定义设数列，如果存在常数，使得对任意给都成立，那么称常数

是数列的极限，或者称数定的正数

(不论它多么小)，总存在自然数

，只要不等式列收敛于

，记为又记为注定义中的自然数

，实际上是某一项下标的序号，如果这样的常数

不存在，就说数列没有极限，或称数注定义中的正数

是一个任意小的数，不能把它和一列是发散的.个很小的数混为一谈.

，表示自该项以后的所有项.四、极限的几何意义

设数列收敛于

，则由定义，对任意给定的正数，一定存在正整数

，当时，所有的都落在一个以

为中心，

为半径的空心邻域中.五、例数列极限的定义实际上也给出了证明极限的方法：即对给定的任意正数

，去寻找满足不等式的.寻找办法是从经过不等式的变形，逐步解出

.例1证明数列的极限是1.要使证记，取,则当

时，有所以例2证明.证因故取,则当

时，有即：例3证明.证因取,则当

时，有所以：所以例4设

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