2017-2018版高中数学第二章解三角形章末复习课学案5

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE17学必求其心得，业必贵于专精PAGE第二章解三角形学习目标1。整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识。2.能灵活、熟练运用正弦、余弦定理解三角形．3．能解决三角形与三角变换的综合问题及实际问题.知识点一正弦定理及其推论设△ABC的外接圆半径为R，则（1）eq\f（a，sinA)＝________＝________＝________.(2）a＝________，b＝________，c＝________。(3）sinA＝______，sinB＝______，sinC＝______.(4）在△ABC中，A>B⇔________⇔____________.知识点二余弦定理及其推论1．a2＝________________，b2＝__________________，c2＝______________________。2．cosA＝______________；cosB＝________________;cosC＝_______________。3．在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为________;c2〉a2＋b2⇔C为________;c2〈a2＋b2⇔C为________．知识点三三角形面积公式（1)S＝eq\f(1，2)aha＝eq\f（1,2)bhb＝eq\f（1，2）chc；（2）S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f（1,2）bcsinA＝eq\f（1，2)casinB.类型一利用正弦、余弦定理解三角形例1如图，在△ABC中,AB＝AC＝2，BC＝2eq\r(3),点D在BC边上,∠ADC＝45°，求AD的长度．反思与感悟解三角形的一般方法:（1）已知两角和一边，如已知A、B和c,由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a、b。(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C,应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C。跟踪训练1如图,在△ABC中,∠B＝eq\f(π，3),AB＝8,点D在BC边上,CD＝2，cos∠ADC＝eq\f（1，7）.（1)求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．类型二三角变换与解三角形的综合问题命题角度1三角形形状的判断例2在△ABC中,若（a2＋b2)sin(A－B）＝（a2－b2）·sin(A＋B），试判断△ABC的形状．命题角度2三角形边、角、面积的求解例3△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c,已知a＝bcosC＋csinB.(1）求B；（2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．跟踪训练2在△ABC中,a,b,c分别是三个内角A，B，C的对边,若a＝2，C＝eq\f(π，4)，coseq\f（B,2)＝eq\f(2\r(5),5），求△ABC的面积S。反思与感悟该类问题以三角形为载体，在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等．类型三正弦、余弦定理在实际中的应用例4某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型"气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射,观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚eq\f(2,17)秒．在A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH（声音的传播速度为340米/秒）．反思与感悟应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；（2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．跟踪训练3甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？1．在△ABC中,关于x的方程（1＋x2)sinA＋2xsinB＋（1－x2）sinC＝0有两个不等的实根，则A为（)A．锐角B．直角C．钝角D．不存在2．在△ABC中,AB＝3，BC＝eq\r(13)，AC＝4，则边AC上的高为()A.eq\f(3\r（2）,2)B。eq\f（3\r(3），2）C。eq\f(3,2）D．3eq\r（3)3．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B，又从点B测得斜度为45°,建筑物的高CD为50米．求此山对于地平面的倾斜角θ的余弦值．1．在三角形中,大角对大边,大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A〉B等价于a〉b等价于sinA〉sinB。2．对所给条件进行变形，主要有两种途径:(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．3．正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．运用余弦定理时,要注意整体思想的运用．

答案精析知识梳理知识点一（1)eq\f(b，sinB)eq\f（c，sinC）2R(2)2RsinA2RsinB2RsinC(3）eq\f（a,2R)eq\f(b，2R）eq\f(c，2R)(4）a〉bsinA〉sinB知识点二1．b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC2。eq\f(b2＋c2－a2，2bc)eq\f（c2＋a2－b2，2ca)eq\f(a2＋b2－c2,2ab)3．直角钝角锐角题型探究例1解在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2eq\r（3)，由余弦定理，得cosC＝eq\f（BC2＋AC2－AB2,2BC×AC）＝eq\f（\r（3），2）,∴sinC＝eq\f（1,2)。在△ADC中，由正弦定理,得eq\f(AD，sinC）＝eq\f（AC,sin∠ADC)，∴AD＝eq\f（2,\f(\r（2)，2）)×eq\f(1，2)＝eq\r(2）.跟踪训练1解(1）在△ADC中,因为cos∠ADC＝eq\f(1，7），所以sin∠ADC＝eq\f(4\r（3），7).所以sin∠BAD＝sin（∠ADC－∠B）＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝eq\f（4\r（3),7)×eq\f（1,2）－eq\f（1,7)×eq\f(\r（3）,2）＝eq\f(3\r(3),14)。（2）在△ABD中,由正弦定理,得BD＝eq\f(ABsin∠BAD,sin∠ADB)＝eq\f（8×\f(3\r（3),14)，\f(4\r（3)，7)）＝3.在△ABC中,由余弦定理,得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cosB＝82＋52－2×8×5×eq\f（1，2)＝49，所以AC＝7.例2解∵（a2＋b2)sin(A－B)＝（a2－b2)sin（A＋B）,∴b2[sin(A＋B）＋sin（A－B）］＝a2［sin（A＋B）－sin(A－B）],∴2b2sinAcosB＝2a2cosAsinB，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.方法一由正弦定理知a＝2RsinA,b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinAsinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB,∴sin2A＝sin2B。在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝eq\f（π,2)。∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．方法二由正弦定理、余弦定理，得a2b×eq\f（b2＋c2－a2，2bc)＝b2a×eq\f(a2＋c2－b2，2ac),∴a2（b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，∴（a2－b2）（a2＋b2－c2)＝0，∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0。即a＝b或a2＋b2＝c2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形例3解(1)由正弦定理a＝2RsinA,b＝2RsinB，c＝2RsinC.得2RsinA＝2RsinBcosC＋2RsinCsinB即sinA＝sinBcosC＋sinCsinB.又A＝π－(B＋C）,∴sin［π－（B＋C)]＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋sinCsinB，即sinBcosC＋cosBsinC＝sinBcosC＋sinCsinB，∴cosBsinC＝sinCsinB.∵sinC≠0,∴cosB＝sinB且B为三角形内角，∴B＝eq\f(π,4)。（2)S△ABC＝eq\f(1，2)acsinB＝eq\f(\r(2),4)ac，由正弦定理，a＝eq\f(bsinA，sinB)＝eq\f(2，\f（\r(2），2）)×sinA＝2eq\r(2)sinA，同理,c＝2eq\r（2)sinC，∴S△ABC＝eq\f（\r(2),4)×2eq\r(2）sinA×2eq\r(2)sinC＝2eq\r(2)sinAsinC＝2eq\r（2）sinAsin（eq\f(3π,4)－A）＝2eq\r(2）sinA(sineq\f(3,4）πcosA－coseq\f（3，4）πsinA）＝2(sinAcosA＋sin2A）＝sin2A＋1－cos2A＝eq\r(2)sin(2A－eq\f(π，4))＋1∴当2A－eq\f(π,4）＝eq\f（π,2），即A＝eq\f(3π，8）时，S△ABC有最大值eq\r(2)＋1。跟踪训练2解因为cosB＝2cos2eq\f(B，2）－1＝eq\f(3，5），故B为锐角，所以sinB＝eq\f(4,5)，所以sinA＝sin（π－B－C)＝sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3π，4)－B))＝sineq\f(3π，4)cosB－coseq\f（3π，4)sinB＝eq\f(7\r（2),10)。由正弦定理，得c＝eq\f（asinC，sinA)＝eq\f(10,7)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1，2)×2×eq\f(10，7）×eq\f（4，5）＝eq\f（8，7）.例4解由题意，设AC＝x，则BC＝x－eq\f（2,17)×340＝x－40。在△ABC中,由余弦定理，得BC2＝BA2＋AC2－2×BA×AC×cos∠BAC,即(x－40)2＝10000＋x2－100x,解得x＝420。在Rt△ACH中，AC＝420,∠CAH＝30°，所以CH＝AC×tan∠CAH＝140eq\r（3)。所以该仪器的垂直弹射高度CH为140eq\r（3）米．跟踪训练3解设甲、乙两船经t小时后相距最近且分别到达P、Q两处，因乙船到达A处需2小时．①当0≤t＜2时,如图(1），在△APQ中,AP＝8t，AQ＝20－10t,所以PQ＝eq\r（AQ2＋AP2－2AQ×AP×cos120°)＝eq\r（20－10t2＋8t2－220－10t×8t×\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（1，2)））)＝eq\r(84t2－240t＋400)＝2eq\r(21t2－60t＋100）;②当t＝2时，PQ＝8×2＝16；③当t>2时，如图（2)，在△APQ中，AP＝8t，AQ＝10t－20，∴PQ＝eq\r（AQ2＋AP2－2AQ·APcos60°）＝2eq\r（21t2－60t＋100）.综合①②③知，PQ＝2eq\r(21t2－60t＋100）(t≥0）．当且仅当t＝eq\f（30，21)＝eq\f(10,7)时,PQ最小．答甲、乙两船行驶eq\f(10，7)小时后，相距最近．当堂训练1．A2。B3．解在△ABC中，∠BAC＝15°，AB＝100米，∠ACB＝45°－15°＝30°.根据正弦定理，有eq\f(100,sin30°)＝eq\f（BC,sin15°），∴BC＝eq