2017-2018版高中数学第二章解三角形习题课正弦定理和余弦定理学案5

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE13学必求其心得，业必贵于专精PAGE习题课正弦定理和余弦定理学习目标1。学会利用三角形中的隐含条件.2。进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用。3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题．知识点一有关三角形的隐含条件思考我们知道y＝sinx在区间（0，π）上不单调,所以由0＜α＜β＜π得不到sinα＜sinβ。那么由A，B为△ABC的内角且A＜B，能得到sinA＜sinB吗？为什么？梳理“三角形”这一条件隐含着丰富的信息,利用这些信息可以得到富有三角形特色的变形和结论：（1）由A＋B＋C＝180°可得sin(A＋B）＝________,cos（A＋B)＝________，tan（A＋B）＝________，sineq\f(A＋B,2)＝________，coseq\f(A＋B，2)＝________。（2)由三角形的几何性质可得acosC＋ccosA＝____,bcosC＋ccosB＝____，acosB＋bcosA＝____.(3）由大边对大角可得sinA＞sinB⇔A____B。(4）由锐角△ABC可得sinA____cosB。知识点二解三角形的基本类型完成下表：已知条件适用定理解的个数三边两边及其夹角两边及一边对角____________或____________一边及两角知识点三三角形有关问题的解决思路这类问题通常要借助正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为代数问题或者三角恒等式，再利用三角恒等变换解决问题,中间往往会用到一些三角形的隐含条件如内角和等．类型一利用正弦、余弦定理解三角形引申探究1．对于例1中的条件，c·cosB＝b·cosC，能否使用余弦定理？2．例1中的条件c·cosB＝b·cosC的几何意义是什么？例1在△ABC中,若c·cosB＝b·cosC，cosA＝eq\f（2，3），求sinB的值．反思与感悟（1）边、角互化是处理三角形边、角混合关系的常用手段；(2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化,根据题目条件，灵活选择公式．跟踪训练1在△ABC中,已知b2＝ac,a2－c2＝ac－bc.(1)求A的大小；（2）求eq\f(bsinB，c）的值．类型二正弦、余弦定理与三角变换的综合应用例2在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2eq\f（B＋C，2）－cos2A＝eq\f（7，2）。(1）求A的度数;（2)若a＝eq\r（3),b＋c＝3，求b和c的值．反思与感悟（1)解三角形的实质是解方程，利用正弦、余弦定理,通过边、角互化，建立未知量的代数方程或三角方程．（2)三角形内角和定理在判断角的范围、转化三角函数、检验所求角是否符合题意等问题中有着重要的作用．跟踪训练2在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b，c,a2＋c2－b2＝eq\f（6,5）ac。求2sin2eq\f(A＋C,2)＋sin2B的值．类型三正弦、余弦定理与平面向量的综合应用例3在△ABC中，a，b,c分别是角A，B，C的对边，cosB＝eq\f(3，5），a＝7且eq\o(AB，\s\up6（→)）·eq\o（BC，\s\up6(→）)＝－21.求角C。反思与感悟利用向量的有关知识,把问题化归为三角形的边角关系,再结合正弦、余弦定理解三角形．跟踪训练3已知△ABC的三内角A，B,C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sinC)，n＝(eq\r（3)a＋c,sinB－sinA），若m∥n,则角B的大小为________．1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a,b，若2asinB＝eq\r(3）b，则角A等于（)A.eq\f（π,12)B。eq\f（π,6）C。eq\f（π,4）D。eq\f(π，3）2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝eq\r(10），则eq\o（BA，\s\up6(→））·eq\o(AC，\s\up6(→))＝________.3．已知△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若这个三角形有两解,则x的取值范围是________．1．对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般运用正弦定理和余弦定理，把它统一为边的关系或把它统一为角的关系．再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论．2．解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数,运用方程思想来解决问题;平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解．

答案精析问题导学知识点一思考能．由于三角形中大边对大角,∴当A＜B时，有a＜b。由正弦定理，得2RsinA＜2RsinB，从而有sinA＜sinB。梳理（1)sinC－cosC－tanCcoseq\f（C,2)sineq\f(C，2）（2）bac（3)＞(4）＞知识点二余弦定理1余弦定理1正弦定理余弦定理0，1，2正弦定理1题型探究例1解由c·cosB＝b·cosC，结合正弦定理，得sinCcosB＝sinBcosC，故sin（B－C）＝0，∵0<B〈π，0<C〈π，∴－π<B－C<π，∴B－C＝0，B＝C，故b＝c.∵cosA＝eq\f（2,3)，∴由余弦定理，得3a2＝2b2，再由余弦定理，得cosB＝eq\f(\r(6),6)，故sinB＝eq\f(\r(30)，6)。引申探究1．解由余弦定理,得c·eq\f（a2＋c2－b2,2ac)＝b·eq\f(a2＋b2－c2，2ab)。化简得a2＋c2－b2＝a2＋b2－c2,∴c2＝b2，从而c＝b。2．解如图，作AD⊥BC，垂足为D.则c·cosB＝BD，b·cosC＝CD。∴ccosB＝bcosC的几何意义为边AB，AC在BC边上的射影相等．跟踪训练1解（1)由题意知，b2＝ac⇒cosA＝eq\f（b2＋c2－a2，2bc）＝eq\f(ac＋bc－ac，2bc）＝eq\f(1，2)，∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π，3)。(2）由b2＝ac，得eq\f(b，c）＝eq\f（a，b)，∴eq\f(bsinB,c)＝sinB·eq\f（a，b）＝sinB·eq\f（sinA,sinB)＝sinA＝eq\f（\r（3),2）.例2解（1）由4sin2eq\f(B＋C，2)－cos2A＝eq\f（7，2)及A＋B＋C＝180°，得2[1－cos（B＋C）］－2cos2A＋1＝eq\f(7,2），4(1＋cosA)－4cos2A＝5,即4cos2A－4cosA＋1＝0，∴（2cosA－1）2＝0，解得cosA＝eq\f(1，2）.∵0°<A〈180°，∴A＝60°。（2)由余弦定理，得cosA＝eq\f（b2＋c2－a2,2bc）.∵cosA＝eq\f(1,2)，∴eq\f（b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，化简并整理,得（b＋c）2－a2＝3bc，将a＝eq\r（3）,b＋c＝3代入上式,得bc＝2。则由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝3，，bc＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,c＝2)）或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（b＝2，,c＝1。)）跟踪训练2解由已知得eq\f(a2＋c2－b2，2ac）＝eq\f（3,5)，所以cosB＝eq\f(3，5），sinB＝eq\r(1－cos2B）＝eq\f（4，5)，所以2sin2eq\f（A＋C，2）＋sin2B＝2cos2eq\f（B，2）＋sin2B＝1＋cosB＋2sinBcosB＝1＋eq\f(3,5）＋2×eq\f（4,5）×eq\f(3，5）＝eq\f（64,25）。例3解∵eq\o（AB,\s\up6(→）)·eq\o（BC，\s\up6(→)）＝－21，∴eq\o(BA,\s\up6(→）)·eq\o（BC，\s\up6（→）)＝21.∴eq\o(BA，\s\up6（→）)·eq\o(BC,\s\up6(→)）＝|eq\o（BA,\s\up6(→））｜·｜eq\o(BC，\s\up6（→))|·cosB＝accosB＝21。∴ac＝35，又∵a＝7，∴c＝5.∵cosB＝eq\f（3，5），∴sinB＝eq\f（4,5）.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝32，∴b＝4eq\r(2)。由正弦定理,得eq\f(c,sinC）＝eq\f(b,sinB),∴sinC＝eq\f(c，b）sinB＝eq\f（5,4\r（2))×eq\f（4,5)＝eq\f（\r（2),2)。∵c<b且B为锐角,∴C一定是锐角．∴C＝45°.跟踪训练3150°解析∵m∥n，∴（a＋b）（sinB－sinA)－sinC（eq\r（3）a＋c）＝0，由正弦定理,得（a＋b)(b－a）＝c（