2017-2018版高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.1函数的单调性（一）学案版

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE21学必求其心得，业必贵于专精PAGE2．2.1函数的单调性（一)学习目标1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性。3。会用定义证明函数的单调性．知识点一函数的单调性思考画出函数f（x）＝x、f(x)＝x2的图象,并指出f（x）＝x、f（x)＝x2的图象的升降情况如何?梳理一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为单调增函数，该区间称为单调增区间．反之则为单调减函数，相应区间称为单调减区间．因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙．所以有以下定义：设函数y＝f（x)的定义域为A，区间I⊆A.(1)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时,都有f(x1）〈f（x2)，那么就说y＝f（x)在区间I上是单调增函数，I称为y＝f（x）的单调增区间．(2)如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1<x2时,都有f(x1）〉f(x2），那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y＝f（x）的单调减区间．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．知识点二函数的单调区间

思考我们已经知道f(x)＝x2的单调减区间为(－∞，0］，f（x）＝eq\f(1，x）的单调减区间为（－∞，0)，这两个单调减区间的书写形式能不能交换？梳理一般地,有下列常识(1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域,则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大．类型一求单调区间并判断单调性例1如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上,它是单调增函数还是单调减函数?反思与感悟函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，"分开，不能用“∪",可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是单调增函数，要么是单调减函数，不能二者兼有．跟踪训练1写出函数y＝|x2－2x－3|的单调区间，并指出单调性．类型二证明单调性命题角度1证明具体函数的单调性例2证明f（x）＝eq\r(x)在其定义域上是单调增函数．反思与感悟运用定义判断或证明函数的单调性时,应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1,x2且x1〈x2的条件下,转化为确定f(x1)与f(x2)的大小,要牢记五大步骤：取值→作差→变形→定号→小结．跟踪训练2求证:函数f（x）＝x＋eq\f（1，x）在[1，＋∞）上是单调增函数．命题角度2证明抽象函数的单调性例3已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f（x＋y)＝f(x)＋f（y）－1，且当x>0时,f(x）>1.求证:函数f（x)在R上是单调增函数．反思与感悟因为抽象函数不知道解析式,所以不能代入求f（x1)－f(x2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f（x1）－f（x2）的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值．跟踪训练3已知函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m，n,恒有f(m＋n)＝f(m）·f（n)，且当x>0时,0<f（x)<1。求证：f(x）在R上是单调减函数．类型三单调性的应用命题角度1利用单调性求参数范围例4若函数f（x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（3a－1x＋4a，x<1，,－ax，x≥1））是定义在R上的单调减函数，则a的取值范围为________．反思与感悟分段函数在定义域上单调,除了要保证各段上单调外,还要保证在接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的．跟踪训练4已知函数f(x）＝x2－2ax－3在区间［1,2］上单调,则实数a的取值范围为________________．命题角度2用单调性解不等式例5已知y＝f(x)在定义域（－1,1)上是单调减函数，且f（1－a）〈f(2a－1),求a的取值范围．反思与感悟若已知函数f（x）的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1），f（x2）的大小；由f(x1),f(x2)的大小，可得x1，x2的大小．跟踪训练5在例5中若函数y＝f（x)的定义域为R，且为单调增函数，f(1－a)〈f(2a－1),则a的取值范围又是什么？1．函数y＝f（x）在区间［－2,2］上的图象如图所示,则此函数的单调增区间是________．2．函数y＝eq\f(6,x）的单调减区间是________．3．在下列函数f(x）中,满足对任意x1，x2∈(0，＋∞),当x1〈x2时,都有f(x1）>f(x2)的是________．(填序号）①f(x）＝x2；②f（x）＝eq\f（1,x）；③f（x）＝｜x|；④f(x）＝2x＋1。4．给出下列说法：①若定义在R上的函数f(x)满足f（3)＞f(2），则函数f（x）在R上为单调增函数;②若定义在R上的函数f(x)满足f(3）＞f（2），则函数f(x)在R上不可能为单调减函数;③函数f(x）＝－eq\f（1，x）在(－∞，0）∪（0，＋∞）上为单调增函数；④函数f（x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋1,x≥0，，－x2＋1，x＜0））在定义域R上为单调增函数．其中说法正确的是________．(填序号）5．若函数f(x)在R上是单调减函数,且f(｜x|)〉f（1)，则x的取值范围是________．1．若f（x）的定义域为D,A⊆D,B⊆D,f(x)在A和B上都为单调减函数，未必有f(x)在A∪B上为单调减函数．2．对单调增函数的判断，对任意x1<x2，都有f(x1）〈f(x2)，也可以用一个不等式来替代:（x1－x2）［f（x1)－f（x2)］>0或eq\f(fx1－fx2，x1－x2)〉0。对单调减函数的判断,对任意x1〈x2，都有f（x1）>f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：（x1－x2）·［f(x1）－f（x2)］<0或eq\f（fx1－fx2，x1－x2）<0.3．熟悉常见的一些函数的单调性,包括一次函数，二次函数，反比例函数等．4．若f(x)，g(x)都是单调增函数，h（x）是单调减函数，则:①在定义域的交集（非空)上，f(x）＋g（x）为单调增函数，f（x)－h（x)为单调增函数,②－f（x)为单调减函数，③eq\f（1，fx)为单调减函数（f（x)≠0)．5．对于函数值恒正(或恒负)的函数f（x），证明单调性时，也可以作商eq\f(fx1，fx2）与1比较．

答案精析问题导学知识点一思考两函数的图象如下:函数f(x）＝x的图象由左到右是上升的；函数f（x）＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的．知识点二思考f(x)＝x2的单调减区间可以写成(－∞,0），而f(x）＝eq\f（1，x）的单调减区间（－∞,0)不能写成(－∞,0］,因为0不属于f（x)＝eq\f(1,x）的定义域．题型探究例1解y＝f(x）的单调区间有[－5，－2］，［－2,1］，［1，3］,［3，5］,其中y＝f（x）在区间［－5，－2]，［1,3］上是单调减函数，在区间［－2，1],［3,5]上是单调增函数．跟踪训练1解先画出f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x2－2x－3，x<－1或x>3，,－x2－2x－3，－1≤x≤3））的图象，如图．所以y＝｜x2－2x－3｜的单调区间有（－∞，－1］，［－1，1],［1,3］，［3,＋∞)，其中单调减区间是（－∞，－1］，[1，3］；单调增区间是［－1,1],［3,＋∞)．例2证明f（x）＝eq\r（x）的定义域为[0，＋∞）．设x1，x2是定义域［0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1）－f（x2）＝eq\r（x1）－eq\r（x2)＝eq\f(\r（x1)－\r(x2)\r（x1)＋\r(x2）,\r（x1）＋\r（x2))＝eq\f（x1－x2,\r(x1)＋\r(x2)）.∵0≤x1<x2，∴x1－x2<0，eq\r(x1)＋eq\r(x2）〉0，∴f（x1)－f(x2)〈0，即f（x1）<f(x2)，∴f（x)＝eq\r（x)在定义域［0，＋∞）上是单调增函数．跟踪训练2证明设x1，x2是实数集R上的任意实数，且1≤x1〈x2，则f(x1)－f（x2）＝x1＋eq\f(1，x1）－（x2＋eq\f（1，x2)）＝(x1－x2)＋（eq\f（1,x1）－eq\f(1,x2））＝(x1－x2)＋eq\f（x2－x1，x1x2）＝(x1－x2）(1－eq\f(1,x1x2）)＝（x1－x2）(eq\f(x1x2－1，x1x2）)．∵1≤x1<x2，∴x1－x2<0，1〈x1x2，∴eq\f(x1x2－1，x1x2)〉0，故（x1－x2）(eq\f(x1x2－1,x1x2)）〈0,即f(x1)－f(x2）<0,即f(x1）〈f（x2）．∴f(x)＝x＋eq\f(1，x)在区间［1，＋∞）上是单调增函数．例3证明方法一设x1,x2是实数集上的任意两个实数，且x1>x2。令x＋y＝x1，y＝x2,则x＝x1－x2>0.f（x1）－f(x2)＝f（x＋y）－f(y）＝f(x）＋f(y)－1－f（y)＝f(x）－1.∵x〉0，∴f(x）〉1，f（x）－1>0，∴f（x1）－f（x2）〉0，即f(x1)〉f(x2)．∴函数f（x)在R上是单调增函数．方法二设x1〉x2，则x1－x2〉0，从而f(x1－x2)〉1，即f(x1－x2）－1>0。f（x1)＝f［x2＋（x1－x2)]＝f(x2)＋f（x1－x2)－1>f(x2），故f(x）在R上是单调增函数．跟踪训练3证明∵对于任意实数m，n,恒有f(m＋n）＝f（m)·f(n),令m＝1，n＝0，可得f(1）＝f(1）·f(0），∵当x＞0时，0＜f（x)＜1，∴f（1）≠0，∴f(0）＝1.令m＝x＜0，n＝－x＞0，则f(m＋n)＝f(0）＝f(－x）·f（x)＝1，∴f（x）f(－x)＝1，又∵－x＞0时，0＜f(－x)＜1，∴f（x)＝eq\f(1，f－x）＞1。∴对任意实数x，f（x)恒大于0。设任意x1<x2，则x2－x1〉0，∴0<f(x2－x1)〈1,∴f（x2)－f(x1)＝f［（x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1）f(x1）－f(x1）＝f(x1）［f（x2－x1）－1]〈0，∴f(x)在R上是单调减函数．例4［eq\f(1，8)，eq\f(1,3））解析要使f(x)在R上是单调减函数,需满足：eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（3a－1〈0，,－a〈0，,3a－1·1＋4a≥－a·1，))解得eq\f(1,8)≤a＜eq\f(1，3）.跟踪训练4（－∞，1]∪［2，＋∞）解析由于二次函数开口向上，故其单调增区间为[a,＋∞）,单调减区间为(－∞，a］，而f（x）在区间［1，2]上单调，所以［1,2]⊆［a，＋∞)或[1，2]⊆(－∞,a]，即a≤1或a≥2。例5解f(1－a）〈f(2a－1)等价于eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(－1<1－a〈1，，－1<2a－1<1，，1－a〉2a－1,)）解得0〈a〈eq\f(2，3)，即所求a的取值范围是0<a<eq\f（2,3).跟踪训练5解∵y＝f（x）的定义域为R,且为单调增函数，f(1－a）〈f(2a－1），∴1－a<2a－1，即a>eq\f(2,3)，∴所求a的取值范围是(eq\f（2，3），＋∞）．当堂训练1．［－2，1]2。（－∞，0)，(