数值分析(25) 非线性方程组的数值方法

数值分析数值分析第三节非线性方程组的简单迭代法一、引言数值分析数值分析非线性方程组解的复杂性数值分析数值分析clear,clfx1=-2:.2:2;y2=-2:.2:2;y1=f1(x1);x2=f2(y2);plot(x1,y1,'r:',x2,y2,'b')xlabel('x'),ylabel('y')(3)a=0(4)a=-1(1)a=1(2)a=1/4数值分析数值分析几类典型非线性问题数值分析数值分析数值分析数值分析例：半线性椭圆型边值问题解:(1)剖分求解域.YN+1N:210012….NN+1X数值分析数值分析(2)对微分算子进行离散.在每个点(xi,yj)上的有限差分方程为在边界上数值分析数值分析对非边界点进行编号:

顺序为-----从下往上,从左往右相应的解向量和右端向量分别为

数值分析数值分析数值分析数值分析多元向量值函数的导数数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析多元实函数的高阶导数数值分析数值分析

研究非线性方程组解的存在唯一性问题可转化为研究不动点的存在唯一性。二、压缩映射与不动点迭代（简单迭代法）

数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析二、局部收敛性原理原理的局限性：（1）收敛域很难找（2）对非线性问题这是一个充分性原理，不是充分必要的，只有对线性问题，才是充分必要条件.如：数值分析数值分析P=1，C<1为线性收敛，P=2为平方收敛。三、收敛速度

数值分析数值分析第四节非线性方程组的Newton型算法

一、Newton-Raphson方法的迭代格式

数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析二、Newton迭代法的收敛性由迭代收敛阶的定义，Newton迭代法是平方收敛的。数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析二、同伦算法数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析

求解非线性方程组的同伦算法%文件名：Homotopy.mfunctionroot=Homotopy(funcF,funcH,x,N,tol,Nmax)%功能:求解非线性方程组的同伦算法%输入:%funcF-----原始方程函数句柄%funcH-----同伦方程函数句柄%x----初始迭代点%N(可选)----同伦参数t的划分数（默认是10）%tol(可选)---精度要求（默认是1e-4）%Nmax(可选)---最大迭代次数（默认100次）%输出:%root----解向量数值分析数值分析

ifsize(x,1)==1;x=x';endifnargin<6;Nmax=100;endifnargin<5|isempty(tol);tol=1e-4;endifnargin<4|isempty(N);N=10;endk=0;x0=x;n=length(x);dx=tol+1;f0=tol+1;form=1:Nt=m/N;while(norm(dx)>tol&norm(f0)>tol)&k<Nmax[jac,f0]=JacobianH(x,funcF,funcH,x0,t);

dx=jac\(-f0);x=x+dx;

k=k+1;Enddx=tol+1;f0=tol+1;root=x;k=0;end数值分析数值分析

function[jac,f0]=JacobianH(x,func1,func2,x0,t)%计算同伦函数的Jacobian矩阵和函数值h=1.0e-6;n=length(x);jac=zeros(n);f0=feval(func2,x,func1,x0,t);fori=1:ntemp=x(i);

x(i)=temp+h;f1=feval(func2,x,func1,x0,t);

x(i)=temp;

jac(:,i)=(f1-f0)/h;end数值分析数值分析例利用同伦算法求非线性方程组取初值x(0)=(10,5)’，t的划分数N=4，精度tol=10-3。首先定义方程函数functionf=fex8_6(x)%定义方程F(x)=0f(1)=x(1)^2+x(2)^2-5;f(2)=x(1)^2-x(2)^2+3;f=f';再定义同伦函数f=HomotopyH(x,func,x0,t)%同伦函数f0=feval(func,x0);f=feval(func,x)+(t-1)*f0;然后运行以下主程序x0=[10,5]';tol=1e-3;N=4;root=Homotopy(@fex8_6,@HomotopyH,x0,N,tol)root=1.00002.0000

数值分析数值分析三、拟牛顿法

数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析

求解非线性方程组的Broyden秩1算法%文件名：QuasiNewton.mfunctionroot=QuasiNewton(myfun,x,tol,N)%功能：Broyden秩1拟牛顿法求解非线性方程组%输入:%myfun----方程函数句柄%x----初始迭代点%tol(可选)-精度要求（默认是1e-4）%Nmax(可选)-最大迭代次数（默认100次）%输出:%root---解向量n=length(x);ifsize(x,1)==1,x=x';endh=1e-4;B0=zeros(n);B1=zeros(n);数值分析数值分析f0=feval(myfun,x);fori=1:ntemp=x(i);x(i)=x(i)+h;f1=feval(myfun,x);B0(:,i)=(f1-f0)/h;x(i)=temp;Enddx=B0\(-f0);k=0;whilenorm(dx)>tol&k<Nx1=x+dx;s=dx;f1=feval(myfun,x1);y=f1-f0;B1=B0+(y-B0*s)*s'/(s'*s);B0=B1;f0=f1;x=x1;dx=B0\(-f0);k=k+1;endroot=x;ifk==N,warning('已达最大迭代次数');endfprintf('迭代次数为:k=%d\n',k);数值分析数值分析例用Broyden秩1拟牛顿法求解如下非线性方程组在（1.5，0.75）附近的解首先定义方程函数functiony=fex8_5(x)y(1)=x(1)+2*x(2)-3;y(2)=2*x(1)^2+x(2)^2-5;y=y';然后运行以下主程序x0=[1.5,0.75]';root=QuasiNewton(@fex8_5,x0)迭代次数:k=1root=