必修3用样本的数字特征估计总体的数字特征

2.（5分）甲、乙两个班级各随机选出15名同学进行测验，成绩的茎叶图如图所示.则甲、乙两班的最高成绩分别是______,______.从图中看____班的平均成绩较高.9692乙练习巩固2.数据123，127，131，151，157，135，129，138，147，152，134，121，142，143的茎叶图中，茎应取______.2.为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积比为2∶4∶17∶15∶9∶3，其中第二小组频数为12.（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110次以上（含110次）为达标，试估计该校全体高一学生的达标率是多少.用样本的数字特征估计总体的数字特征2.2.2中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．平均数:一组数据的算术平均数．

众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．知识探究（一）：众数、中位数和平均数思考1：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，你认为众数应在哪个小矩形内？由此估计总体的众数是什么？月均用水量/t频率组距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O取最高矩形下端中点的横坐标2.25作为众数.月均用水量/t频率组距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O思考2：在频率分布直方图中，每个小矩形的面积表示什么？中位数左右两侧的直方图的面积应有什么关系？取最高矩形下端中点的横坐标2.25作为众数.思考3：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，从左至右各个小矩形的面积分别是0.04，0.08，0.15，0.22，0.25，0.14，0.06，0.04，0.02.由此估计总体的中位数是什么？月均用水量/t频率组距0.50.40.30.20.10.511.5

22.533.544.5O0.5-(0.04+0.08+0.15+0.22)=0.01，

x解：设中位数为x则（x-2）×0.5=0.01，∴中位数x=2.02.说明:

2.02这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.0不一样,这是因为样本数据的频率分布直方图,只是直观地表明分布的形状,但是从直方图本身得不出原始的数据内容,所以由频率分布直方图得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数值不一致.思考4：平均数是频率分布直方图的“重心”，在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，各个小矩形的重心在哪里？从直方图估计总体在各组数据内的平均数分别为多少？0.25,0.75,1.25,1.75,2.25,2.75,3.25,3.75,4.25

月均用水量/t频率组距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O思考5：根据统计学中数学期望原理，将频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加，就是样本数据的估值平均数.由此估计总体的平均数是什么？0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02（t）.

平均数是2.02.

思考6：从居民月均用水量样本数据可知，该样本的众数是2.3，中位数是2.0，平均数是1.973，这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？

频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的是一个估计值，且所得估值与数据分组有关.注:在只有样本频率分布直方图的情况下，我们可以按上述方法估计众数、中位数和平均数，并由此估计总体特征.(3)试估计总体的众数、中位数.（2012广东高考）三种数字特征的优缺点特征数优点缺点众数体现了样本数据的最大集中点无法客观反映总体特征中位数不受少数极端值的影响不受少数极端值的影响有时也是缺点平均数与每一个数据有关，更能反映全体的信息.受少数极端值的影响较大，使其在估计总体时的可靠性降低.方差与标准差（二）设一组样本数据

，其平均数为，则称s2为这个样本的方差，称s为这个样本的标准差。它的算术平方根x1，x2，…，xn思考1：在一次射击选拔赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，每次命中的环数如下：甲：78795491074乙：9578768677

甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？知识探究（二）：标准差思考2：甲、乙两人射击的平均成绩相等，观察两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在那里吗？环数频率0.40.30.20.145678910O（甲）环数频率0.40.30.20.145678910O（乙）甲的成绩比较分散，极差较大，乙的成绩相对集中，比较稳定.思考4：反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，一般用s表示.假设样本数据x1，x2，…，xn的平均数为，则标准差的计算公式是：那么标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有何特点？

S=0，标准差为0的样本数据都相等.

标准差越大离散程度越大，数据较分散；标准差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围.

标准差的意义：

标准差是样本数据到平均数的一种平均距离。它用来描述样本数据的离散程度。在实际应用中，标准差常被理解为稳定性。标准差规律：标准差越大，数据的离散程度越大；反之，数据的离散程度越小。小结1.标准差：2.方差:1、已知某样本的方差是4，则这个样本的标准差是————。2、已知一个样本1、3、2、x、5，其平均数是3，怎么

计算标准差?————3、甲、乙两名战士在射击训练中，打靶的次数相同，且射击成绩的平均数x甲=x乙，如果甲的射击成绩比较稳定，那么方差的大小关系是S2甲————S2乙。练习A18．(09广东)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图7。（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）计算甲班的样本方差；13．（12广东）由整数组成的一组数据其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为_______________________．(从小到大排列)1，1，3，3

练习请你用发现的结论来解决以下的问题已知数据a1，a2，a3，…，an的平均数为X，方差Y,标准差Z,则①数据a1+3，a2+

3，a3+3

，…，an+3平均数为--------，方差为-------，标准差为----------。②数据a1-3，a2-3，a3-3

，…，an-3平均数为----------，方差为--------，

标准差为----------。③数据3a1，3a2，3a3，…，3an的平均数为-----------，方差为-----------，

标准差为----------。④数据2a1-3，2a2-3，2a3-3

，…，2an-3的平均数为----------，

方差为---------，标准差为----------。X+3YZX-3YZ3X2X-33Z32Y22Y2ZThankyou!2.(2010·北京高考)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.由图中数值可知a=______.若要从身高在［120，130），［130，140），［140，150］三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在［140，150］内的学生中选取的人数应为______.0.0303试估计总体的众数、中位数、平均数.【解析】各矩形的