第三节位移法的基本概念

§8-3位移法的基本概念

位移法的基本未知量是结点角位移和结点线位移。

1．结点角位移基本未知量数目

作为基本未知量的结点角位移的数目就等于结构刚结点的数目。

一、位移法的基本未知量第8章位移法●本章教学基本要求：掌握位移法的基本原理和方法；熟练掌握用典型方程法计算超静定刚架在荷载作用下的内力；会用典型方程法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力；掌握用直接平衡法计算超静定刚架的内力●本章教学内容的重点：位移法的基本未知量；杆件的转角位移方程；用典型方程法和直接平衡法建立位移法方程；用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力。●本章教学内容的难点：对位移法方程的物理意义以及方程中系数和自由项的物理意义的正确理解和确定。●本章内容简介:8.1位移法的基本概念8.2等截面直杆的转角位移方程8.3位移法的基本未知量8.4位移法的基本结构及位移法方程8.5用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力8.6用典型方程法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力8.7用直接平衡法计算超静定结构的内力*8.8混合法8.1位移法的基本概念位移法尤其适用于高次超静定刚架的计算，而且是常用的渐近法（如第9章将介绍的力矩分配法、无剪力分配法）和第11章将介绍的适用于计算机计算的矩阵位移法的基础。对于线弹性结构，其内力与位移之间存在着一一对应的关系，确定的内力只与确定的位移相对应。因此，在分析超静定结构时，既可以先设法求出内力，然后再计算相应的位移这便是力法；也可以反过来，先确定某些结点位移，再据此推求内力，这便是位移法。两种方法的基本区别之一，在于基本未知量的选取不同：力法是以多余未知力（支反力或内力）为基本未知量，而位移法则是以结点的独立位移（角位移或线位移）为基本未知量。为了说明位移法的概念，我们来分析图示刚架的位移。由于结点A为刚结点，杆件AB、AC、AD在结点A处有相同的转角θA。若略去受弯直杆的轴向变形，并不计由于弯曲而引起杆段两端的接近，则可认为三杆长度不变，因而结点A没有线位移，而只有角位移。对整个结构来说，求解的关键就是如何确定基本未知量θA的值。从刚架中取出杆件AB进行分析在位移法分析中，需要解决的三个问题：第一，确定杆件的杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系（即杆件分析或单元分析）。第二，选取结构上哪些结点位移作为基本未知量。第三，建立求解这些基本未知量的位移法方程（即整体分析）。这些问题将在以下各节中予以讨论。8.2等截面直杆的转角位移方程应用位移法需要解决的第一个问题就是，要确定杆件的杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系，习称为杆件的转角位移方程。这是学习位移法的准备知识和重要基础。利用力法的计算结果，由叠加原理导出三种常用等截面直杆的转角位移方程。一、杆端内力及杆端位移的正负号规定1、杆端内力的正负号规定杆端弯矩对杆端而言，以顺时针方向为正，反之为负。对结点或支座而言，则以逆时针方向为正，反之为负。杆端剪力和杆端轴力的正负号规定，仍与前面规定相同。2、杆端位移的正负号规定角位移以顺时针为正，反之为负。线位移以杆的一端相对于另一端产生顺时针方向转动的线位移为正，反之为负。例如，图中，ΔAB为正。二、单跨超静定梁的形常数和载常数位移法中，常用到图示三种基本的等截面单跨超静定梁，它们在荷载、支座移动或温度变化作用下的内力可通过力法求得。a)两端固定b)一端固定一端铰支c)一端固定一端定向支承由杆端单位位移引起的杆端内力称为形常数，列入表8-1中。表中引入记号i=EI/l，称为杆件的线刚度。由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数。其中的杆端弯矩也常称为固端弯矩，用和表示；杆端剪力也常称为固端剪力，用和表示。常见荷载和温度作用下的载常数列入表8-2中。a)两端固定b)一端固定一端铰支c)一端固定一端定向支承三、转角位移方程

1、两端固定梁利用表8-1和表8-2，由叠加原理可得（8-1）2、一端固定另一端铰支梁（8-2）3、一端固定另一端定向支承梁(8-3)应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超静定梁的杆端弯矩。至于杆端剪力，则可根据平衡条件导出为(式中，和分别表示相当简支梁在荷载作用下的杆端弯矩。(8-4)对上述三种基本的单跨超静定梁的杆端剪力表达式，也可根据叠加原理，直接利用表8-1和表8-2，写出如下：1）两端固定梁2）一端固定另一端铰支梁3）一端固定另一端定向支承梁8.3位移法的基本未知量一、位移法的基本未知量位移法选取结点的独立位移，包括结点的独立角位移和独立线位移，作为其基本未知量，并用广义位移符号Zi表示。二、确定位移法的基本未知量的数目1、位移法基本未知量的总数目位移法基本未知量的总数目（记作n）等于结点的独立角位移数（记作ny）与独立线位移数（记作nl）之和，即2、结点独立角位移数结点独立角位移数（ny）一般等于刚结点数加上组合结点（半铰结点）数，但须注意，当有阶形杆截面改变处的转角或抗转动弹性支座的转角时，应一并计入在内。至于结构固定支座处，因其转角等于零或为已知的支座位移值；铰结点或铰支座处，因其转角不是独立的，所以，都不作为位移法的基本未知量。nY=4如果考虑杆件的轴向变形，则平面内一个结点有两个独立的线位移。为简化计算，引入以下假设(简化条件)

：（1）忽略受弯直杆的轴向变形；（2）直杆弯曲时两端点距离不变（小变形）。这样，每一受弯直杆相当于一个约束，使某些结点的线位移相等或等于零。作为基本未知量的结点线位移个数是独立的结点线位移个数。

3．结点线位移基本未知量数目怎样确定结构独立的结点线位移个数？

（1）简单情况：

观察确定。

位移法基本未知量个数=刚结点个数+独立的结点线位移个数

nl=2nY=4（2）复杂情况

采用“铰化结点、增设链杆”的方法：把刚架的所有刚结点和固定支座改为铰结点和铰支座，为使该铰结体系成为几何不变体系所需增设的最少支承链杆数，即为原结构独立的结点线位移个数。

(2)确定方法——铰化结点，增设链杆a)原结构b)“铰化结点”c)“增设链杆”d)基本未知量n=ny+nl

=4+3=74、两点说明(1)当刚架中有需要考虑轴向变形（）的二力杆时需要考虑二力杆的轴向变形的二力杆(2)当刚架中有的刚性杆时（柱全部为竖直柱，与基础相连的刚性柱为固定支座）1）刚性杆两端的刚结点转角，可不作为基本未知量。因为如果该杆两端的线位移确定了，则杆端的转角也就随之确定了。2）刚性杆两端的线位移，仍取决于整个刚架的结点线位移。3）刚性杆与基础固结处以及与其他刚性杆刚结处，在“铰化结点”时均不改为铰结，以反映刚片无任何变形的特点。综上所述，对于有刚性杆的刚架，ny等于全为弹性杆汇交的刚结点数与组合结点数之和；nl等于使仅将弹性杆端改为铰结的体系成为几何不变所需增设的最少链杆数。N=2+1=3a)原结构及其基本未知量b)“铰化结点，增设链杆”8.4位移法的基本结构及位移法方程

一、位移法的基本结构位移法的基本结构就是通过增加附加约束（包括附加刚臂和附加支座链杆）后，得到的三种基本超静定杆的综合体。所谓附加刚臂，就是在每个可能发生独立角位移的刚结点和组合结点上，人为地加上的一个能阻止其角位移(但并不阻止其线位移)的附加约束，用黑三角符号“”表示。所谓附加支座链杆，就是在每个可能发生独立线位移的结点上沿线位移的方向，人为地加上的一个能阻止其线位移的附加约束。a)原结构及其基本未知量b)基本结构二、位移法的基本体系图a所示刚架的基本未知量为结点A的转角Z1。在结点A加一附加刚臂，就得到位移法的基本结构（图b）。同力法一样，受荷载和基本未知量共同作用的基本结构，称为基本体系（图c）。a)原结构c)基本体系b)基本结构d)锁住结点e)放松结点三、位移法方程

基本结构在结点位移Z1和荷载共同作用下，刚臂上的反力矩F1必定为零（图c）。c)基本体系式中，Fij表示广义的附加反力矩（或反力），其中第一个下标表示该反力矩所属的附加约束，第二个下标表示引起反力矩的原因。设k11表示由单位位移Z1=1所引起的附加刚臂上的反力矩，则有F11=k11Z1，代入上式，得这就是求解基本未知量Z1的位移法基本方程，其实质是平衡条件。为了求出系数k11和自由项F1P，可利用表8-2和表8-1，在基本结构上分别作出荷载作用下的弯矩图（MP图）和Z1=1引起的弯矩图（图）。在图中取结点A为隔离体，由，得在MP图中取结点A为隔离体，由，得刚臂内之反力矩以顺时针为正将k11和F1P的值代入上式，解得结果为正，表示Z1的方向与所设相同。结构的最后弯矩可由叠加公式计算，即MP图图M图例如，图8-16a所示刚架的基本未知量为结点C、D的水平线位移Z1。在结点D加一附加支座链杆，就得到基本结构（图8-16b）。其相应的基本体系如图8-16c所示，它的变形和受力情况与原结构完全相同。位移法方程分别在MP图和图中，截取两柱顶端以上部分为隔离体，如图8-17所示。由剪力平衡条件，得a)

MP图(kN·m)b)M1图

(1/m)c)

M图(kN·m)将k11和F1P的值代入位移法方程式，解得结构的最后弯矩图可由叠加公式计算后绘制，如图c所示。四、典型方程法和直接平衡法关于如何建立位移法方程以求解基本未知量的问题，有两种途径可循。一种途径，已如上所述，是通过选择基本结构，并将原结构与基本体系比较，得出建立位移法方程的平衡条件（即Fi

=0）。这种方法能以统一的、典型的形式给出位移法方程。因此，称为典型方程法。另一种途径，则是将待分析结构先“拆散”为许多杆件单元，进行单元分析——根据转角位移方程，逐杆写出杆端内力式子；再“组装”，进行整体分析——直接利用结点平衡或截面平衡条件建立位移法方程。因此，称为直接平衡法。8.5用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力一、典型方程的一般形式基本未知量为刚结点B的转角Z1结点B、C的水平线位移Z2。其基本体系如图c所示。由于基本体系的变形和受力情况与原结构完全相同，而原结构上并没有附加刚臂和附加支座链杆，因此，基本体系上附加刚臂的反力矩F1及附加支座链杆的反力F2都应等于零。可建立求解Z1和Z2的两个位移法的典型方程。(a)(c)设基本结构由于Z1、Z2及荷载单独作用，引起相应于Z1的附加刚臂的反力矩分别为F11、F12及F1P，引起相应于Z2的附加支座链杆的反力分别为F21、F22及F2P（图d、e、f）。根据叠加原理，可得(d)(e)(f)又设单位位移Z1=1及Z2=1单独作用时，在基本结构附加刚臂上产生的反力矩分别为k11及k21，在附加支座链杆中产生的反力分别为k12及k22，则有将式（b）代入式（a），得(a)(b)上式称为位移法典型方程其物理意义是：基本体系每个附加约束中的反力矩和反力都应等于零。因此，它实质上反映了原结构的静力平衡条件。对于具有n个独立结点位移的结构，相应地在基本结构中需加入n个附加约束，根据每个附加约束的附加反力矩或附加反力都应为零的平衡条件，同样可建立n个方程如下：上式即为典型方程的一般形式。式中，主斜线上的系数kii称为主系数或主反力；其他系数kij称为副系数或副反力；FiP称为自由项。系数和自由项的符号规定是：以与该附加约束所设位移方向一致者为正。主反力kii的方向总是与所设位移Zi的方向一致，故恒为正，且不会为零。副系数和自由项则可能为正、负或零。此外，根据反力互等定理可知，kij=kji。二、系数和自由项的计算方法将系数和自由项代入典型方方程，可得联解以上两个方程求出Z1和Z2后，即可按叠加原理作出弯矩图。三、典型方程法的计算步骤1）确定基本未知量数目：n=ny+nl2）选择基本体系。加附加约束，锁住相关结点，使之不发生转动或移动，而得到一个由若干基本的单跨超静定梁组成的组合体作为基本结构（可不单独画出）；使基本结构承受原来的荷载，并令附加约束发生与原结构相同的位移，即可得到所选择的基本体系。3）建立位移法的典型方程。根据附加约束上反力矩或反力等于零的平衡条件建立典型方程。4）求系数和自由项。在基本结构上分别作出各附加约束发生单位位移时的单位弯矩图图和荷载作用下的荷载弯矩图MP图，由结点平衡和截面平衡即可求得。5）解方程，求基本未知量（Zi）。6）作最后内力图。按照叠加得出最后弯矩图；根据弯矩图作出剪力图；利用剪力图根据结点平衡条件作出轴力图。7）校核。由于位移法在确定基本未知量时已满足了变形协调条件，而位移法典型方程是静力平衡条件，故通常只需按平衡条件进行校核。可以看出，位移法（典型方程法）与力法在计算步骤上是极其相似的，但二者的原理却有所不同。【例8-1】试用典型方程法计算图a所示结构，并作出弯矩图。设EI=常数。解：(1)确定基本未知量数目:其基本未知量只有结点C的转角Z1

(a)(b)(2)选取基本体系，如图c所示。(3)建立典型方程根据结点C附加刚臂上反力矩为零的平衡条件，有(c)(b)(4)求系数和自由项设，作图和MP图，如图d、c所示。取结点C为隔离体，应用力矩平衡条件，求得(5)解方程，求基本未知量(6)作最后弯矩图(7)校核f)

M图(kN·m)【例8-2】试用典型方程法计算图a所示结构，并作弯矩图。设EI=常数。解：(1)确定基本未知量数目可以利用对称性取结构的1/4部分（图b）进行计算，其基本未知量只有结点A的转角Z1。(a)(b)(2)选择基本体系c)基本体系d)M1图e)

MP图(kN·m)(3)建立典型方程(4)求系数和自由项(5)解方程，求基本未知量(6)作最后弯矩图(7)校核【例8-3】试用典型方程法计算图a所示连续梁，并作弯矩图。解：(1)确定基本未知量数目基本未知量为结点B的转角Z1和结点C的转角Z2。(2)选择基本体系(3)建立典型方程(4)求系数和自由项(5)解方程，求基本未知量Z1和Z2

将以上各系数及自由项之值代入典型方程，解得(6)作最后弯矩图M图(kN·m)【例8-4】试用典型方程法求图8-23a所示结构，并作弯矩图。解：(1)确定基本未知量数目(2)选择基本体系基本体系(3)建立典型方程(4)求系数和自由项(5)解方程，求基本未知量Z1和Z2(6)作最后弯矩图(7)校核【例8-5】试用典型方程法求图8-24a所示结构，并作弯矩图。解:(1)确定基本未知量数目此结构的基本未知量为结点D的转角Z1和横梁BD的水平Z2。(2)选择基本体系，如图b所示。(a)(b)(3)建立典型方程(4)求系数和自由项c)M1图e)M2图d)变形图DCD=5D/3由图f的整体平衡条件，可求得f)

MP图(5)解方程，求基本未知量Z1和Z2(6)作最后弯矩图g)

M图(kN·m)(7)校核【例8-6】试用典型方程法计算图a所示排架。解：(1)确定基本未知量数目b)基本体系a)原结构只有一个独立的结点线位移未知量，即A、C、E的水平位移Z1。(2)选择基本体系，如图b所示(3)建立典型方程(4)求系数和自由项(5)解方程，求基本未知量Z1(6)按叠加原理即可作出弯矩图。【讨论】若令式中，ri为当排架柱顶发生单位侧移时，各柱柱顶产生的的剪力，它反映了各柱抵抗水平位移的能力，称为排架柱的侧移刚度系数。于是，各柱顶的剪力为再令称为第i根柱的剪力分配系数，则各柱所分配得的柱顶剪力为（i=1，2，3）当等高排架仅在柱顶受水平集中力作用时，可由各柱的剪力分配系数(即各柱抗侧刚度占结构整体抗侧刚度的比例)算出各柱顶剪力FQi；最后把每根柱视为悬臂梁绘出其弯矩图。称为剪力分配法，是计算等高排架很有效的方法。(8-13)(8-14)须注意，当任意荷载作用于排架时，则不能直接应用上述剪力分配法。可首先在柱顶加水平附加支座链杆，并求出该附加反力（图b）为(a)(b)M图之一c)

M图之二d)

M图【例8-7】弹性支座连续梁如图a所示，支座A的抗转动弹簧刚度系数。试作梁的弯矩图。解：(1)确定基本未知量此结构的基本未知量为抗转动弹簧支座A的转角Z1和结点B的转角Z2。(2)选择基本体系，如图b所示。(3)建立典型方程a)原结构b)基本体系

(4)求系数和自由项a)图b)图c)

MP图(kN·m)(5)解方程，求基本未知量Z1和Z2(6)作最后弯矩图，如图d所示。(7)校核：结点A和结点B均满足力矩平衡条件d)

M图(kN·m)【讨论】对于支座A的弹性支承，也可以理解为在支座A的左侧存在一个想象的“虚跨”，该虚跨在A端抗弯刚度正好等于弹簧刚度系数。这样，就把一个弹性支座上的梁化为全是刚性支座来处理，不同之处只是延长了一跨。BA虚跨其抗转刚度为k弹8.6用典型方程法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力一、支座移动时的内力计算特点

:第一，典型方程中的自由项不同。这里的自由项，是基本结构由于支座移动产生的附加约束中的反力矩或反力Fic，利用形常数作出基本结构由于支座移动产生的弯矩图图，然后由平衡条件求得。第二，计算最后内力的叠加公式不完全相同。其最后一项应以Mc替代荷载作用时的MP，即【例8-8】试用典型方程法作如图a所示结构在支座移动时的弯矩图。已知，，。解：(1)确定基本未知量数目(2)选择基本体系b)基本体系a)原结构(3)建立典型方程(4)求系数和自由项(5)解方程，求基本未知量(6)由作最后弯矩图e)

M图(kN·m)必须注意，计算支座移动引起的杆端弯矩时，不能用各杆EI的相对值，而必须用实际值。（与力法同）二、温度变化时的内力计算特点：第一，典型方程中的自由项不同。第二，计算最后内力的叠加公式不完全相同。其最后一项应以Mt替代荷载作用时的MP第三，温度变化时，不能再忽略杆件的轴向变形，因而前述受弯直杆两端距离不变的假设这里不再适用。轴线平均温度变化（t0）使杆件产生的轴向变形，会使结点产生已知位移，从而使杆两端产生相对横向位移，于是又产生出另一部分固端弯矩。同支座移动时的内力计算一样，在计算温度变化引起的杆端弯矩时，必须用各杆EI的实际值。【例8-9】图a所示刚架，各杆的内侧温度升高10℃，外侧温度升高30℃。试建立位移法典型方程，并计算自由项。设各杆的EI值相同，截面为矩形，其高度h=0.5m，材料的线膨胀系数为a。解：(1)确定基本未知量数目(2)选择基本体系b)基本结构

a)原结构(3)建立典型方程(4)求系数和自由项为了便于计算固端弯矩，可将杆两侧的温度变化t1和t2对杆轴线分解为正、反对称的两部分轴向变形而不弯曲弯曲变形而不伸长和缩短1）图d表示平均温度变化t0的作用。各杆轴向伸长为d)平均温度变化t0作用各杆两端横向相对位移为:横梁AB：利用表8-1形常数可求得由此引起的杆端弯矩:a)

(a)2）查表8-2载常数，可求得杆件两侧温差Δt（图e）使杆端产生的杆端弯矩（各杆只发生弯曲而结点无线位移时）b)

e)内外两侧温差Δt作用(b)3）总的固端弯矩为式（a）与式（b）的叠加据此，可绘出Mt图，如图8-30c所示。c)

a)

b)以下的步骤同前述典型方程法。8.7用直接平衡法计算超静定结构的内力借助于杆件的转角位移方程，根据先“拆散”、后“组装”结构的思路，直接由原结构的结点和截面平衡条件来建立位移法方程，这就是本节将介绍的直接平衡法。【例8-10】试用直接平衡法计算图8-31a所示刚架，并作弯矩图。已知EI=常量。解：(1)确定基本未知量，并绘出示意图(2)“拆散”，进行单元分析，即根据转角位移方程，逐杆写出杆端内力：1）对于左柱BA（视为两端固定梁）2）对于横梁BC（视为B端固定，C端铰支）3）对于右柱CD（视为D端固定，C端铰支）(3)“组装”，进行整体分析，即根据结点平衡条件和截面平衡条件建立位移法方程1)2）取横梁BC为隔离体，由截面平件(a)(b)以上式（a）和式（b）即为用直接平衡法建立的位移法方程，与前面用典型方程法解同一例题（参见图8-19）所建立的位移法方程（典型方程）完全相同。(4)联立求解方程（a）和（b），求基本未知量：(5)计算杆端内力将Z1和Z2代回第（2）步所列出的各杆的杆端弯矩表达式，即可求得(6)作最后弯矩图d)

M图(×ql2/184)【例8-11】试用直接平衡法作图a所示单跨梁的弯矩图。b)基本未知量a)解：(1)确定基本未知量，并绘出示意图(2)根据转角位移方程式（8-2），写出AB梁杆端弯矩为(3)根据弹性支座A