大学物理第17章

第十七章光的衍射17-1光的衍射惠更斯-菲涅尔原理1、光的衍射现象

当光在传播过程中遇到大小与波长相比拟的障碍物（小孔、小屏、狭缝、毛发和细针等），会发生明显的光线偏离直线传播的现象-------光的衍射。（a）圆孔衍射（b）单缝衍射方孔衍射网格衍射针和线的衍射条纹不同大小的圆孔衍射的条纹(菲涅尔衍射)2、菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射夫琅禾费衍射光源、屏与缝相距无限远缝在实验中实现夫琅禾费衍射菲涅尔衍射缝

光源、屏与缝相距有限远

波在传播过程中，从同一波阵面S上发出的子波，经传播而在空间某点相遇时，可相互叠加而产生干涉现象。子波在P点引起的振动振幅并与有关。：波阵面上面元

(子波波源)：t时刻波阵面*3、惠更斯–菲涅尔原理17-2夫琅禾费单缝衍射1、菲涅尔半波带法

用

/2分割BC，过等分点作AC

的平行线，平行线将将AB

等分----将单缝分割成数个半波带。暗纹明纹K=0为中央明纹中心的位置。2、明纹暗纹位置暗纹明纹3、中央明纹半角宽度中央明纹线宽度为:其它明、暗纹的线宽度:

将第一个暗纹中心与中央明纹之间的角距离称为中央明纹半角宽度。相邻暗纹间距相邻明纹间距除中央明纹以外，衍射条纹平行等距。4、相邻条纹间距5、单缝衍射光强分布

用计算机模拟计算的单缝夫琅禾费衍射图样光强分布（中央明纹向下移动）（中央明纹向上移动）6、入射光非垂直入射时光程差的计算

例1

用单色平行光垂直照射到宽度为a=0.5mm的单缝上，在缝后放置一个焦距为f=100cm的透镜，则在焦平面的屏幕上形成衍射条纹，若在离屏上中央明纹中心距离为1.5mm处的P点为一亮纹，试求：（1）入射光的波长；（2）P点条纹的级数和该条纹对应的衍射角；（3）狭缝处波面可分为几个半波带；（4）中央明纹的宽度。解（1）单缝明纹位置且有（2）P点条纹的级数和该条纹对应的衍射角（3）狭缝处波面可分为几个半波带共有2k+1=3个半波带。（4）中央明纹的宽度

例2

如图，一雷达位于路边15m处，它的射束与公路成15º角。假如发射天线的输出口宽度b=0.10m，发射的微波波长是18mm，则在它监视范围内的公路长度大约是多少？

解将雷达天线输出口看成是发出衍射波的单缝，衍射波能量主要集中在中央明纹范围内。根据暗纹条件17-3衍射光栅光栅光谱大量等宽等间距的平行狭缝(或反射面)构成的光学元件。１、衍射光栅两者均周期性地分割了波阵面。光栅常数透光缝宽度a不透光宽度b光栅常数

通常在1cm内刻有成千上万条透光狭缝，相当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、明亮。单缝衍射条纹光栅衍射谱线（1）光栅方程明纹满足光栅方程的明纹又称为主极大。123（2）暗纹方程

要使P点出现暗纹，例如对3条缝的情况，各分振动的振幅矢量应组成一个闭合的三角形。123132A1A3A4A5A6A2123456123456123456123456即当相邻缝间的分振动的位相差满足或，P点出现暗纹。

要使P点出现暗纹，例如对6条缝的情况，各分振动的振幅矢量应组成一个闭合的多边形：推广到N条狭缝的情况则有暗纹方程

上式中kNk

，因为此时满足明纹条件，所以k的取值为这样，在两相邻主极大之间有N-1条暗纹。A1A3ANA2（3）次极大

两相邻主极大之间有N-1条暗纹，则两暗纹之间还存在次明纹，次明纹强度很小，仅为主极大的4%。在N-1条暗纹之间有N-2条次明纹，N越大，次极大越多，明纹越细亮。IOsin多缝干涉（4）衍射条纹的角宽对两边微分即主极大两侧的两个极小的衍射角之差。

显然，分母很大时，角宽会很小，条纹很细且明亮。（5）缺级IIIOOOsinsinsin单缝衍射多缝干涉光栅衍射单缝衍射减弱条件光栅衍射加强条件两式相比缺级条件I048-4-8单缝衍射轮廓线光栅衍射光强曲线m为整数时，光栅谱线中m、2m、3m等处缺级。m不为整数时，例如当m=3/2时,

只有当k=2，4，…时才缺级，即谱线中的第3，6，9级等条纹缺级。I048-4-8单缝衍射轮廓线光栅衍射光强曲线例1

分光计作光栅实验，用波长

=632.8nm的激光照射光栅常数d=1/300mm的光栅上，且a/b=2。问最多能看到几条谱线。解在分光计上观察谱线，最大衍射角为90°,取若不考虑缺级能观察到的谱线为11条：则+3，–3级缺级，这样能观察到的谱线为9条。例2以每毫米有500条栅纹的衍射光栅观察钠光谱线（=590nm），缝宽a和刻痕宽度b之比为12。问（1）平行光垂直入射于光栅时最高能看到第几级光谱线？观察屏上总共可能出现几条光谱线？（2）平行光以30°斜入射时，最高能看到第几级光谱线？解（1）按题意，光栅常数因为衍射角最大不能超过／2，由光栅方程得

取整数k=3，得最高可能看到第3级谱线。假如没有缺级，那么在零级衍射条纹左右各有三条谱线，总共有七条谱线。但由题知由缺级方程得

即衍射光谱线第3，6，9，…级缺级。故观察屏上实际呈现的谱线是：0，±1,±2。

（2）斜入射时，图中两条光线的光程差除BC外应再加上入射前的光程差DB，因此总光程差是则由光栅方程得

式中k的最大值相应于=／2，因此取整数，最高能看到第5级。练习关于光栅衍射，下列说法正确的是（）（N为光栅缝数）A.光栅衍射没有中央明纹；B.主极大的光强是来自一缝光强的N倍；C.光栅衍射是单缝衍射与缝间干涉的结果；D.相邻两缝的光程差必须为半波长的奇数倍才能得到暗纹。2、光栅的分辨本领

瑞利判据当一谱线的中心恰与另一条的极小重合时，两条谱线刚好能分辨。能够分辨恰能分辨不能分辨

恰能分辨时两谱线重叠部分的光强（红色）为单个谱线中心最大光强I0的80％。

因此，波长差为d的两种单色光刚好能被分辩时，它们的衍射角之差（角间距）d

应等于它们衍射条纹的半角宽。对两边微分得则半角宽为（1）半角宽对光栅方程两边微分与半角宽比较得刚好能被分辩时角间距等于衍射条纹的半角宽，d越小，分辩本领越大，因此定义分辩本领所以光栅的分辩本领为得（2）角间距例

设计一光栅，要求（1）能分辨钠光谱的5.890×10-7(m)和5.896×10-7(m)的第二级谱线；（2）第二级谱线的衍射角30°；（3）第三级谱线缺级。解（1）按光栅的分辨本领得即N491条。（3）缺级条件（2）由(a+b)sin

=k

可得

衍射条纹特征：一组明暗相间的同心圆环，中心亮斑为爱里斑。17-4夫琅禾费圆孔衍射1、夫琅禾费圆孔衍射1).爱里斑直径第一级暗环直径d

为爱里斑直径。爱里斑对透镜中心张角由理论推导可知2).爱里斑的能量爱里斑占总能量的84%。2、光学仪器的分辨本领

一般光学仪器成像，可以看成圆孔衍射。由于衍射，会使图像边缘变得模糊不清，使图像分辨率下降。瑞利判据当一个爱里斑的边缘（即第一暗环）正好落在另一个爱里斑的中心时，两个物点恰能被分辨。最小分辨角分辨本领D为光学仪器的通光孔径。**

美国波多黎各阿雷西博镇建造了直径达305米的抛物面射电望远镜，不能转动，这是世界上最大的单孔径射电望远镜。

联邦德国在玻恩附近建造了100米直径的全向转动抛物面射电望远镜，这是世界上最大的可转动单天线射电望远镜。1990年发射的哈勃太空望远镜的凹面物镜的直径为2.4m，最小分辨角0=0.1，在大气层外615km高空绕地运行,可观察130亿光年远的太空深处,发现了500亿个星系。地面观测用哈勃望远镜观测采用波长较短的光，也可提高分辨率。

电子显微镜用加速的电子束代替光束，其分辨距离达0.1nm，可用它来观察分子结构。

例1

设人眼在正常照度下的瞳孔直径约为3mm，而在可见光中，人眼最敏感的波长为550nm，问 （1）人眼的最小分辨角有多大？

（2）若物体放在距人眼25cm（明视距离）处，则两物点间距为多大时才能被分辨？解（1）（2）例2

毫米波雷达发出的波束比常用的雷达波束窄，这使得毫米波雷达不易受到反雷达导弹的袭击。

（1）有一毫米波雷达，其圆形天线直径为55cm，发射频率为220GHz的毫米波，计算其波束的角宽度；

（2）将此结果与普通船用雷达发射的波束的角宽度进行比较，设船用雷达波长为1.57cm，圆形天线直径为2.33m。解（1）（2）17-5Ｘ射线衍射X射线冷却液金属靶克鲁斯克管1912年德国慕尼黑大学的实验物理学教授冯·劳厄用晶体中的衍射拍摄出X射线衍射照片。由于晶体的晶格常数约0.1nm，与X射线波长0.01nm~1000nm接近，衍射现象明显。劳厄斑X射线照相底片单晶片铅板1913年英国的布拉格父子，提出了另一种研究X射线的方法，并作出了精确的定量计算。由于父子二人在X射线研究晶体结构方面作出了巨大贡献，于1915年共获诺贝尔物理学奖。

晶体是由彼此相互平行的原子层构成。

布拉格公式加强受迫振动，向各方向发射子波只有镜式反射方向强度最大1、可利用晶体对X射线的反射来获得单色X射线；2、若d已知，可用来测定X的波长，从而可用来分析未知的化学组成。3、若已知X的波长，可求得d，以研究晶体的结构。晶面族注意：1、对不同的晶面族，掠射角

及晶面间距均各不相同。2、公式中的d必须是相邻晶面的距离。3、如果两相邻的晶面间的距离d</2，则sin>1，即公式对n没有解。加强

例1

一X射线束以45的掠射角入射到晶体的某一族晶面上，其波长从0.095nm到0.130nm连续变化。晶面间距d=0.275nm。问该晶面族的衍射线是否会产生？

解

由布拉格公式级次k的取值范围为即k只能取整数。所以，k=4时，k=3时，

例2波长为=0.11nm的X射线投射到食盐(NaCl)某一组晶面上，晶面间距d=0.252nm，问掠射角为多大时出现衍射极大？解作业第十七章P803、6、1112、1317、19、21

习题1用光栅摄谱仪分析波长在9000Å附近、相隔0.5Å的若干谱线。设摄谱仪的焦距为80cm，感光底片的空间分辨率为150条/mm。如果要求底片上记录的谱线刚好能分辨，问应选用光栅常数d和有效宽度D多大的光栅？

解波长差为的两谱线在底片上散开的距离l为为两谱线的同级衍射角之差，可由光栅方程求得摄谱仪通常用一级谱线，此时衍射角较小，从而

l受到底片分辨率的制约，即

将f=80cm、

=0.5Å代入得

刚好能分辨时，谱线的半角宽度'应等于两谱线的衍射角之差，即'=

。下面求'对两边微分

半角宽度'为'=，而=l/f，因此光栅的有效宽度为

习题2两块光栅的缝宽、缝间隔d及缝数完全相同。现将它们在同一平面上相距l放置，组合成一块光栅。用该光栅做衍射实验时，原来每块光栅的一系列主极强现在发生了什么变化？具体说明当（1）l=1.5d及（2）l=2d两种情况下的变化特点。

解原来单