第三章poisson过程与更新过程

第三章泊松过程与更新过程教师

徐凤xdiao_3@1第二章Poission过程及更新过程23.0计数过程定义称一个随机过程是一个计数过程(pointprocess),若N(t)满足:1)N(t)取非负整数值；2）若s<t,则N(t)-N(s)等于区间(s,t]中“事件”发生的次数.33.1Poission过程的定义背景:考虑在时间间隔(0,t]中某保险公司收到的某类保险的理赔次数N(t),它是一个计数过程.此类过程有如下特点:(1)零初值性：N（0）=0；(2)独立增量性：在不同的时间区段内的理赔次数彼此独立；(3)平稳增量性:在同样长的时间区段内理赔次数的概率规律是一样的;(4)普通性:在非常短的时间区段Δt内的理赔次数几乎不可能超过1次,且发生1次理赔的概率近似与Δt成正比.(稀有事件)4定义3.1.1计数过程{N(t),t0}称为具有参数(或强度)

的Poission过程(或Poission

流)，如果1）N(0)=0;2）具有独立增量性;3）满足增量平稳性;4）对于任意t>0和充分小的，有

其中为的高阶无穷小。λ又称为Poission过程的强度系数5定理3.1.1

若{N(t),t0}为Poission过程，则利用定理3.1.1,可得到Poission过程的等价定义:即定义3.1.2

计数过程{N(t),t0}称为具有参数(或强度)λ

的Poission过程，如果1）N(0)=0，2）具有独立增量性，3）此即注：泊松过程的数字特征与特征函数

泊松过程的均值函数泊松过程的方差函数泊松过程的均方值函数泊松过程的自相关函数泊松过程的自协方差函数8例

3.1.1（Poisson过程在排队论中的应用）设某火车站售票从早上8:00开始，此售票处连续售票，乘客以10人/小时的速率到达，求以下（1）9:00-10:00间最多有5名乘客来此购票的概率（2）10:00-11:00没有人来买票的概率（3）若已知8:00-11:00有10个人来买票，则9:00-10:00间有5名乘客买票的概率。例

3.1.2（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）设保险公司接到的索赔请求为以Poisson过程{N(t)},又假设每次的赔付都是1，每月平均接到索赔要求为4次，则一年中保险公司要支付的金额平均是多少？9例

3.1.3设N(t)表示[0,t]时段内事件A的发生次数,且{N(t),t0}形成强度为λ的Poisson过程.如果每次事件A发生时以概率p能够被记录下来,并以M(t)表示到t时刻记录下来的事件总数,试证明{M(t),t0}形成强度为λp的Poisson过程.解：对照Poisson过程的定义3.1.21){M(t),t0}是一计数过程,且M(0)=0;2)每次事件发生时，对它的记录与对其它事件的记录独立，故{M(t),t0}具有独立增量性；只需验证3)10由全概率公式，11例

3.1.4若每条蚕的产卵数服从Poisson分布，强度为λ，而每个卵变成为成虫的概率为p，且每条卵是否变为成虫彼此之间没有关系，求在时间[0,t]内每条蚕养活k只小蚕的概率。例

3.1.5观察资料表明，天空中星体数服从Poisson分布，其参数为λV,这里V是被观察区域的体积。若每个星球上有生命体存在的概率为p,则在体积为V的宇宙空间中有生命体存在的星球数的分布是怎样的？3.2泊松过程的性质

3.2.1到达时间间隔与到达时刻的分布12设{N(t),t0}为泊松过程，N(t)表示在[0,t]内事件发生的次数，令，表示第k个事件发生的时刻;表示第k-1个事件与第k个事件发生的时间间隔，即先讨论到达时间间隔的Tk分布.13定理3.2.1到达时间间隔序列相互独立同分布，且服从参数为λ的指数分布.定理3.2.1

提供了Poisson过程的参数估计方法.设事件的发生过程{N(t),t0}为Poisson过程.某日从0点开始,记录到事件发生时刻为0:33,1:00,2:27,3:05,3:36的取值:t1<t2<,…,<tnT.试用极大似然法估计该过程的强度λ.练习14参数λ的极大似然估计:一般地,若从0时刻开始,观察到Poisson过程{N(t),t0}的一段样本轨道:τ1,…,τn的取值:t1<t2<,…,<tn,由于,τ1,τ2-τ1,…,τ

n-τn-1独立同指数分布,于是似然函数为令得λ的极大似然估计为:15定理3.2.2

到达时间的概率密度函数为证明注：1）的特征函数为分布函数为：16例3.2.2

设一系统在[0,t]内承受的冲击数{N(t),t0}是参数为λ的泊松过程，第i次受冲击的损失为Di.设{Di,i1}独立同分布,且与{N(t),t0}独立,且损失随时间按负指数衰减,即t=0时损失为D,在t时损失为,设损失是可加的,那么到系统在[0,t]内受到冲击的损失之和为其中τi为第i次冲击到达的时刻,求17定理3.2.3若计数过程{N(t),t0}的到达时间间隔序列是相互独立同参数为λ的指数分布，则{N(t),t0}是参数为λ的泊松过程.定理3.2.3提供了对泊松过程进行计算机模拟及其统计检验的理论基础与方法，只需产生n个同指数分布的随机数,将其作为Ti,i=1,…即可得到Poisson过程的一条样本轨道.18要检验{N(t),t0}是否为Poisson过程,可转化为检验相邻两次跳跃间隔时间{Tn=tn–tn-1,n1}是否为指数分布总体的i.i.d样本.课外练习设观察到某记数过程{N(t),t0}的一段样本轨道τ1,…,τ50的取值如下,检验{N(t),t0}是否为Poisson过程.

0.03,0.76,1.01,1.37,1.43,1.56,1.95,3.95,4.05,4.45,4.70,4.81,4.85,5.00,5.87,6.32,6.36,6.40,6.85,6.90,8.33,8.85,8.95,11.26,12.25,13.04,13.85,14.11,14.76,15.56,17.65,17.80,18.20,18.24,18.62,19.06,19.14,19.46,20.26,20.46,20.55,22.51,22.70,23.19,23.28,23.63,23.80,24.22,24.81,25.6519设有n位顾客在0时刻排队进入仅有一个服务员的系统.假定每位顾客的服务时间独立,均服从参数为λ的指数分布.以N(t)表示到t时刻为止已被服务过的顾客人数.求（1）E[N(t)];（2）第n位顾客等候服务时间的数学期望;

(3)第n位顾客能在t时刻之前完成服务的概率.提示:的分布函数是练习20解:（1）由定理3.2.3,{N(t),t≥0}为强度λ的possion过程，故E[N(t)]=λt；（2）记第n位顾客完成服务的时间为，根据定理3.2.2,第n位顾客等候服务时间为(3)根据定理3.2.2,或3.2.2到达时刻的条件分布21本节讨论在给定N(t)=n的条件下，的条件分布及其有关性质。这个定理说明，由于泊松过程具有平稳独立增量性，从而在已知[0,t]上有1个事件发生的条件下,事件发生的时间τ1应该服从[0，t]上的均匀分布。对此我们自然要问：(1)这个性质是否可推广到的情形？(2)这个性质是否是泊松过程特有的？换言之，其逆命题是否成立？定理3.2.4

设是泊松过程，则对有22为回答(1),需要如下关于顺序统计量的性质:若{Ui,1in}在[0,t]上独立同均匀分布,则其顺序统计量的联合密度函数为定理3.2.5设{N(t),t≥0}为参数(或强度)λ的泊松过程，若在[0,t)内有n个事件相继到达，则n个到达时刻的联合分布和n个[0,t)上独立同均匀分布的随机变量的顺序统计量的联合分布相同.23设一系统在[0,t]内承受的冲击数{N(t),t0}是参数为λ的泊松过程，第i次受冲击的损失为Di.设{Di,i1}独立同分布,且与{N(t),t0}独立,且损失随时间按负指数衰减,即t=0时损失为D,在t时损失为,设损失是可加的,那么到系统在[0,t]内受到冲击的损失之和为其中τi为第i次冲击到达的时刻,求用定理3.2.5解例3.2.2练习：24则{N(t),t≥0}为泊松过程.……证略.定理3.2.6

设{N(t),t≥0}为计数过程，Tn为第n个事件与第n-1个事件的时间间隔，独立同分布且分布函数为F(x),若F(0)=0，且对,都有对问题(2),即逆命题,有如下定理:定理3.2.7

设{N(t),t≥0}为跃度为1的计数过程，满足，t>0,N(t)P(λt),且在N(t)=n条件下，的条件概率密度是则{N(t),t≥0}为泊松过程.

……证略3.3泊松过程的叠加与分解1.泊松过程的叠加定理3.3.1

：设与为相互独立且强度分别为，的泊松过程，则仍为泊松过程。且其强度为二泊松过程的强度之和。（即两个相互独立的泊松过程的叠加仍为泊松过程）例3.3.1：设乘客从南北两个方向在[0,t)时段内到达同一飞机场的人数为，,分别服从强度为与的泊松过程，试求在时段内到达机场的人数的平均值。解：依题意，(k=1,2)，且相互独立，到达机场的总人数即为,服从强度为的泊松过程，故在[0,t)时段内到达机场的人数均值为2.泊松过程的分解定理3.3.2：设，是强度为λ的泊松过程。为进入子系统A的质点数;为进入系统B的质点数.则的分解过程与相互独立，分别是强度为与的泊松过程。例3.3.2

：设某个汽车站有A，B两辆跑同一路线的长途汽车。设到达该站的旅客数是一泊松过程，平均每10分钟到达15位旅客，而每个旅客进入A车或B车的概率分别为2/3与1/3。试求进入A车与进入B车的旅客数的概率分布。

解：由平均10分钟内到达车站15位旅客知，到达旅客的强度=15/10=1.5（人/分）故在[0,t)时段内进入该汽车站的旅客数N(t)的分布为由定理3.3.2知，在[0,t)时段内进入A车的旅客数也是一个泊松过程，且其强度为p=1.5*(2/3)=1（人/分）。因此同理进入B车的旅客数也是一个泊松过程且有3.4Poission过程的推广31(3)若,则定理3.4.1

(1){X(t),t0}是平稳独立增量过程;(2)其特征函数为定义3.4.1

设{N(t),t0}为强度为λ

Poission过程,{Yi,i1}是独立同分布的随机变量序列,且{Yi,i1}与{N(t),t0}独立,记称{X(t),t0}为复合Poission过程(compoundpoissonprocesses).32例3.4.1设保险公司在[0,t]时段内接到的索赔次数N(t)形成强度为λ的Poisson流,且设保险公司第i次赔偿额是Yi,{Yi,i=1,2,…}独立同正态分布,则每月要付出的赔偿额服从什么分布？一年中它要付出的平均金额是多少?解：[0，t]内赔偿额形成复合Poission过程，每月要付出的赔偿额特征函数为一年中它要付出的平均金额是33条件Poisson过程定义3.4.2

设Λ是一个正的随机变量,分布函数为G(x),x0,设{N(t),t0}是一计数过程,且当给定Λ=λ时,{N(t),t0}是一Poisson过程,即

,有称{N(t),t0}是条件Poisson过程.定理3.4.2

设{N(t),t0}是条件Poisson过程,且则(2)E[N(t)]=tEΛ(3)34例3.4.2

设意外事故的发生频率受某种未知因素影响,有两种可能λ1,λ2,且0<p<1为已知.且当给定Λ=λi时,[0,t]时段内事故次数N(t)形成一强度为λiPoisson流.已知到时刻t为止已发生了n次事故,求[t,t+s]时段内无事故的概率.解：在Λ=λi的条件下，N(t)是强度为λi

的Poisson流.P{[t,t+s]时段内无事故|N(t)=n}3536非齐次Poisson过程当Poisson过程的强度λ随时间t变化时,Poisson过程被推广成为非齐次Poisson过程.在实际中,非齐次Poisson过程也是比较常用的.例如在考虑设备故障率时,由于设备使用年限的变化,出故障的可能性会随之变化;放射性物质的衰变速度,会因各种外部条件的变化而随之变化;昆虫产卵的平均数量随年龄和季节的变化而变化等.定义3.4.3

随机过程{N(t),t0}称为具有强度函数λ(t)

的非齐次Poisson过程，如果1）是一计数过程,且N(0)=0，2）具有独立增量性，3）对任意实数t0,s>0,N(t+s)-N(t)为具有参数的Poisson分布.37

设某设备的使用期限为10年,在前5年内它平均2.5年需要维修一次,后5年平均2年需要维修一次.试求它在使用期内只维修过一次的概率练习383.5更新过程一个计数过程,若它们相邻事件到达时间间隔Tn是指数分布,则此过程为Poisson流.若是一般分布,则此过程为更新过程(renewalprocesses).

更新机器零件问题是更新过程的典型例子.某机器上有一个零件是易损件,每当它损坏时,就要换上新的零件.t=0时开始装上一个零件,机器持续地运转一段时间T1,该零件损坏,立即用寿命T2的零件来更换,这样不断地进行下去,关于这一列{Tn}的更新过程{N(t),t0}就表示到t时刻为止更换的零件数.393.5.1更新过程的定义

则称{N(t),t0}为更新过程。显然,更新过程是一个计数过程.在更新过程中,我们将事件发生一次叫作一次更新,从而定义中Tn就是第n-1次和第n次更新相距的时间,τn是第n次更新发生的时刻.N(t)就是t时刻之前发生的总的更新次数.定义3.5.1

设为独立同分布的非负随机变量序列，分布函数为F(x),且F(0)<1。令τ0=0，记40?更新过程一定是独立增量过程吗?设更新过程的基本结论：

过程的统计特性可由序列的共同分布完全刻画；N(t)是关于t的单调递增阶梯函数，对于固定的t，N(t)为取非负整数值的随机变量；的分布函数为41

,即在有限时间内不可能进行无穷次更新.N(t)的概率分布为42例3.5.1

设更新过程的更新间距服从参数为m,λ

的Gamma分布，即的概率密度函数为

求注：1）的特征函数为分布函数为：3.5.2更新函数

43令,称为过程{N(t),t0}的