第三章-非稳态导热

第三章非稳态导热第三章非稳态导热§3.1非稳态导热的基本概念§3.2集总参数法的简化分析§3.3一维非稳态导热的分析解§3.4二维三维非稳态导热问题的求解§3.5半无限大物体的非稳态导热１、重点内容：

①非稳态导热的基本概念及特点；②集总参数法的基本原理及应用；③一维及二维非稳态导热问题。

2、掌握内容：

①确定瞬时温度场的方法；②确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。

3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。

§3-1非稳态导热的基本概念一、非稳态导热过程及其特点导热系统内温度场随时间变化的导热过程为非稳态导热。温度随时间变化，热流也随时间变化。自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t=f()例如：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环境温度；供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度2非稳态导热的分类周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期性的变化

非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度，最终达到热平衡．物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值．着重讨论瞬态非稳态导热

3温度分布：4两个不同的阶段

非正规状况阶段(右侧面不参与换热)：温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t分布的影响较大．环境的热影响不断向物体内部扩展的过程，即物体（或系统）有部分区域受到初始温度分布控制的阶段。必须用无穷级数描述．

两类非稳态导热的区别：前者存在着有区别的两个不同阶段，而后者不存在。正规状况阶段(右侧面参与换热)：当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受t0影响，主要取决于边界条件及物性，此时，非稳态导热过程进入到正规状况阶段。环境的热影响已经扩展到整个物体内部，即物体（或系统）不再受到初始温度分布影响的阶段。可以用初等函数描述。5热量变化Φ1－－板左侧导入的热流量Φ2－－板右侧导出的热流量6学习非稳态导热的目的：(1)温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律(2)非稳态导热的导热微分方程式：(3)求解方法：分析解法、近似分析法、数值解法分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换近似分析法：集总参数法、积分法数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、分子动力学模拟二、讨论物体处于恒温介质中的第三类边界条件问题

在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征与边界条件参数的关系。

已知：平板厚、初温、表面传热系数h、平板导热系数，将其突然置于温度为的流体中冷却。由于面积热阻与的相对大小的不同，平板中温度场的变化会出现以下三种情形：

（1）

这时，由于表面对流换热热阻几乎可以忽略，因而过程一开始平板的表面温度就被冷却到。并随着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于。（2）

这时，平板内部导热热阻几乎可以忽略，因而任一时刻平板中各点的温度接近均匀，并随着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于

这时，平板中不同时刻的温度分布介于上述两种极端情况之间。（3）与的数值比较接近

由此可见，上述两个热阻的相对大小对于物体中非稳态导热的温度场的变化具有重要影响。为此，我们引入表征这两个热阻比值的无量纲数毕渥（Biot）数：1）毕渥数的定义：毕渥数属特征数（准则数）。

2）Bi数的物理意义：

Bi的大小反映了物体在非稳态条件下内部温度场的分布规律。3）特征数（准则数）：表征某一物理现象或过程特征的无量纲数。4）特征长度：是指特征数定义式中的几何尺度。§3-2集总参数法的简化分析1定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的分析方法。此时，，温度分布只与时间有关，即，与空间位置无关，因此，也称为零维问题。一、集总系统的能量平衡方程和温度分布

h,t0AQcΔΕρ,c,V,t0一个集总参数系统，其体积为V、表面积为A、密度为、比热为c以及初始温度为t0，突然放入温度为t、换热系数为h的环境中。

热平衡关系为：内热能随时间的变化率ΔΕ＝通过表面与外界交换的热流量Qc

当物体被冷却时（t>t）,由能量守恒可知方程式改写为：初始条件控制方程

积分过余温度比其中的指数：应用集总参数法时，物体过余温度随时间的变化关系是一条负自然指数曲线，或者无因次温度的对数与时间的关系是一条负斜率直线

是傅立叶数物体中的温度呈指数分布方程中指数的量纲：即与的量纲相同，当时，则此时，上式表明：当传热时间等于时，物体的过余温度已经达到了初始过余温度的36.8％。称为时间常数，用表示。二、时间常数

称为系统的时间常数，记为s，也称弛豫时间。

如果导热体的热容量（Vc

）小、换热条件好（hA大），那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，时间常数(Vc/hA)小反映了系统处于一定的环境中所表现出来的传热动态特征，与其几何形状、密度及比热有关，还与环境的换热情况相关。可见，同一物质不同的形状其时间常数不同，同一物体在不同的环境下时间常数也是不相同。θ/θ0τ/τs0.386101当物体冷却或加热过程所经历的时间等于其时间常数时，即τ=τs

，τ=4τs，工程上认为=4τs时导热体已达到热平衡状态3瞬态热流量：导热体在时间0-内传给流体的总热量：当物体被加热时(t<t)，计算式相同（为什么？）4物理意义无量纲热阻无量纲时间Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部，因而，物体各点地温度就越接近周围介质的温度。5、集总参数系统的判定

如何去判定一个任意的系统是集总参数系统？V/A具有长度的因次，称为集总参数系统的定型尺寸。为判定系统是否为集总参数系统。

采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%对厚为2δ的无限大平板对半径为R的无限长圆柱对半径为R的球其他无规则形状的物体，定型尺寸V/A例题3-2将一个初始温度为20℃、直径为100mm的钢球投入1000℃的加热炉中加热，表面传热系数为h=50W/(m2·K)。已知钢球的密度为7790kg/m3，比热容为470J/(kg·K)，导热系数为43.2W/(m·K)。试求钢球中心温度达到800℃所需要的时间。解：首先判断能否用集总参数法求解：毕渥数为可以用集总参数法求解。

可解得Fov=83.6例题3-2一温度计的水银泡呈圆柱状,长20mm,内径为4mm,初始温度为t0,今将其插入到温度较高的储气罐中测量气体温度.设水银泡同气体间的对流换热表面传热系数h=11.63W/(m2.K),水银泡一层薄玻璃的作用可忽略不计,试计算此条件下温度计的时间常数,并确定插入5min后温度计读数的过余温度为初始温度的百分之几?水银的物性参数如下:解:首先检验是否可用集总参数法.考虑到水银泡柱体的上端面不直接受热,故可以用集总参数法.时间常数为即经5min后温度计读数的过余温度的确13.3%.也就是说,在这段时间内温度计的读数上升了这次测量中温度跃升的86.7%§3.2一维非稳态导热过程分析一、无限大平板加热（冷却）过程分析厚度2

的无限大平壁，、a为已知常数；=0时温度为t0;突然把两侧介质温度降低为t并保持不变；壁表面与介质之间的表面传热系数为h。两侧冷却情况相同、温度分布对称。中心为原点。导热微分方程：初始条件：边界条件：(第三类)采用分离变量法求解：取只能为常数：只为的函数只为x的函数对积分得到式中C1是积分常数，常数值的正负可以从物理概念上加以确定。当时间τ趋于无穷大时，过程达到稳态，物体达到周围环境温度，所以必须为负值，否则物体温度将无穷增大。令则有以及以上两式的通解为：于是常数A、B和ε可由边界条件确定。(1)(2)(3)由边界条件（2）得B=0（a）将右端整理成：注意，这里Bi数的尺度为平板厚度的一半。解题过程参看书P58至此，我们获得了无穷个特解：….将无穷个解叠加：利用初始条件求An解的最后形式为：傅里叶准则Fo：称之为傅里叶准则或傅里叶数，其物理意义表征了给定导热系统的导热性能与其贮热（贮存热能）性能的对比关系，是给定系统的动态特征量

—

无量纲距离2.非稳态导热的正规状况

对无限大平板当取级数的首项，板中心温度，误差小于1%

与时间无关3正规热状况的实用计算方法－线算图法诺谟图以无限大平板为例，F0>0.2时，取其级数首项即可P61图3-5P62图3-6经过秒钟、每平方米平壁放出或吸收的热量：P62图3-7解的应用范围书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第三类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却过程，并且F0>0.2多维非稳态导热的图解法应用上面讨论的海斯勒线算图可以求出厚度为2的大平板、半径为R的无限长圆柱体、及半径为R的球体的温度分布和传导的热量。对非一维非稳态导热问题，我们能不能利用上面的一维非稳态导热线算图来进行求解呢？用一个无限长矩形柱为例来回答这一问题。

0xy2δ12δ2一个无限长矩形柱，可以看成是由两个无限大平板正交而组成，它们的厚度分别为21和22。

无限长矩形柱的导热微分方程式为：

假定,将其代入微分方程中

一个二维非稳态导热问题的解可以用两个导热方向相互垂直的一维非稳态导热问题解的乘积来表示。

同理，一个三维非稳态导热问题的解可以用三个相互垂直的一维非稳态导热问题解的乘积来表示。2δ2yx02δ1例如：1.矩形截面的长棱柱（正四棱柱）：可由两个大平板正交构成，因而温度分布为两个大平板对应的温度分布的乘积yzx2.矩形块体(立方体)可由三个大平板正交构成，因而温度分布为三个大平板对应的温度分布的乘积2δxrR03.短圆柱体可由一个长圆柱体和一个大平板正交构成，因而温度分布为一个长圆柱体和一个大平板对应的温度分布的乘积rx04.半长圆柱体可由一个长圆柱体和一个半无限大固体正交构成，因而温度分布为一个长圆柱体和一个半无限大固体对应的温度分布的乘积需要强调的是，我们要确定某一点的温度时，一定要首先确定该点在对应的几个一维空间上的位置，再去确定相应的一维温度值，最终乘积得出物体在该点的温度值。

例题3-1一块厚200mm的大钢板，钢材的密度为ρ=7790kg/m3，比热容cp=170J/(kg·K)，导热系数为43.2W/(m·K)，钢板的初始温度为20℃，放入1000℃的加热炉中加热，表面传热系数为h=300W/(m2·K)。试求加热40分钟时钢板的中心温度。解：

根据题意，δ=100mm=0.1m。钢材的热扩散率为

傅里叶数为

毕渥数为

查图可得

§3-5半无限大的物体半无限大系统指的是一个半无限大的空间，也就是一个从其表面可以向其深度方向无限延展的物体系统。很多实际的物体在加热或冷却过程的初期都可以视为是一个半无限大固体的非稳态导热过程。误差函数：令

无量纲坐标引入过余温度问题的解为

误差函数无量纲变量说明：(1)无量纲温度仅与无量纲坐标

有关.(2)一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的时间无论x有多么大，该处总能感受到温度的化。(3)

但解释Fo,a