第一章离散时间信号与系统

数字信号处理课件第一章朱韵茹第一章离散的时间信号与系统1-1离散时间信号1-2离散时间系统1-3线性时不变系统的差分方程描述1-4连续时间信号的数字处理

1.1.1离散时间信号及其时域表示

1-1离散时间信号离散时间信号

在物理上是指定义在离散时间上的信号样品的集合，在数学上可用时间序列{x(n)}来表示。样品集合可以是本来就存在的，也可以是由模拟信号通过采样得来的或者是用计算机产生的

x(n)代表序列的第n个样点的数字，n代表时间的序号。离散时间信号的时域表示

*

表示离散时间信号的方法可采用枚举的方式。例如{x(n)}={…，-1.5，-8.7，2.53，0.0，6，7.2，…}箭头表示时间的零点位置*离散信号也可用公式表示例如*离散信号还可用图形的方式表示图中横坐标n表示离散的时间坐标，且仅在n为整数时才有意义；纵坐标代表信号样点的值。许多时候为了方便，直接用x(n)来代表序列全体{x(n)}。本书中，离散时间信号与序列将不予区分。1-2-1012n-201mn1-1…

1.1.2一些常用序列1.单位脉冲序列2.单位阶跃序列u(n)与u(n)

的关系...0123nu(n)13.矩形序列与u(n)的关系0123n14.复指数序列式中ω0为数字频率将复指数表示成实部与虚部其示意图如下：5.正弦序列正弦与余弦序列示意图如下：

1.1.3序列的分类1、能量信号与功率信号序列能量E定义：

*平均功率定义：

能量为有限值，平均功率等于0的信号称为能量信号。能量为无限值，平均功率为有限值的信号称为功率信号。例1-1-3设离散信号x(n)的表达式为

x(n)=6(-1)nu(n)判断信号是能量信号还是功率信号。解：信号的能量为可见信号的能量为无限的，但其功率为

若序列x(n)满足：x(n)=x(n+N)，且N是使其成立的最小正整数，则称序列x(n)为以N为周期的周期序列。

2、周期信号与非周期信号下图为周期序列示意图设x(n)=Asin(ω0n+φ)，那么

x(n+N)=Asin(ω0(n+N)+φ)=Asin(ω0n+φ+ω0N)如果x(n)=x(n+N)则要求N=(2π/ω0)k

，式中k,N均取整数，且k的取值保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列才是以N为周期的周期序列。即：正弦序列不一定是周期序列。正弦序列有以下三种情况：当2π／ω0为整数时，k=1,正弦序列是以2π／ω0周期的序列。当2π／ω0不是整数时，是一个有理数时，设2π／ω0=P/Q，式中P、Q是互为素数的整数，取k=Q,那么N=P，则正弦序列是以P为周期的周期序列。2π／ω0不是有理数时，任何整数k都不能使N为正整数，因此，此时正弦序列不是周期序列。例1-1-2求x(n)=sin(4πn/3)的周期N。解：因为ω0n=4π/3，所以N=2kπ/ω0=

6k/4，取k=2，得到N的最小正周期数即x(n)的周期为N=3。

3、对称信号与非对称信号对称信号：非对称信号：

1.1.4序列的基本运算1.序列的加减序列的加减指将两序列序号相同的数值相加减，即示例见下例：求z(n)=x(n)+y(n)解：…

z(2)=x(2)+y(2)

z(1)=x(1)+y(1)z(0)=x(0)+y(0)2.序列的乘积序列的乘积是指同序号的序列值对应相乘。即示例见下

z(1)=x(1)·y(1)解：…

z(2)=x(2)·y(2)z(0)=x(0)·y(0)例：求z(n)=x(n)·y(n)

y(n)=x(n-n0)

n0<0左移，n0>0右移如图：当n0=3时3.序列的延时序列的延时是将序列全体在时间轴上移动。4.序列乘常数序列乘以常数指将序列的每一个值都乘以常数，即

y(n)=ax(n)序列的反褶指将序列以n=0为对称轴进行对褶。5.序列的反褶

y(n)=x(-n)如下图所示：问题：已知x(n):画出x(n-2),x(2-n)的图形。6.序列的差分运算序列的差分运算指同一序列相邻的两个样点之差，分为前向差分和后向差分。前向差分：后向差分：比较上面两式，显然有当对序列进行多次差分时，就变成高次差分。如二次差分7.序列的抽取与插值y(-1)=

x(-1·3)y(0)=

x(0·3)y(1)=

x(1·3)解：…

*序列的抽取：指将原来的序列每隔M个样点保留一个样点，去掉其中的M-1个样点形成的新序列。

y(n)=x(nM)如图所示，取M=3,则y(n)=

？其分解过程见下例*序列的插值：指在原来序列的每两个样点之间等间隔的插入L个新的样点，从而变成一个具有更多样点的新序列。分解过程如下：例1-1-1任意序列x(n)都可用单位脉冲序列表示成加权和的形式，即

1.1.5用单位脉冲序列表示任意序列如:可表示为例：思考：P25,习题1离散时间系统，是指将输入序列变换成输出序列的一种运算。用T[]表示变换关系，示意图如下。

y(n)=T[x(n)]

1-2离散时间系统

1.2.1线性时不变系统则有若系统满足叠加原理

*线性时不变系统的性质1.线性性那么该系统就是线性系统。若系统变换关系不随时间变化，亦即系统的输出随输入的移位而相应移位但形状不变，称作时不变系统。

2.时不变特性（或移不变特性）设y(n)=T[x(n)]

则有T[x(n-n0)]=y(n-n0)，n0为常数用公式表示例1-2-1证明以下系统为线性时不变系统.证明：

线性性

设有序列x1(n)和x2(n)及常数a1和a2则有故知该系统为线性系统。时不变特性：由于在上式中令i=m-k，则上式右边变为可见系统为时不变系统。讨论的线性是不变性？

1.2.2线性时不变系统的基本元件线性时不变系统的由以下3个元件组成加法器，用于实现序列的加法运算，其图形表示如图a所示。2)系数乘法器，用于实现序列的乘以常数的运算，其图形表示如图b所示。3)延时器，用于实现序列的延时操作，其图形表示如图c所示。

*如下图就是利用这些元件实现的一个简单的线性时不变系统的框图其数学表达式为y(n)=x(n)+ay(n-1)若给线性移不变系统输入单位脉冲δ(n)，则其输出y(n)称为单位抽样响应，常用h(n)表示，即

1.2.3单位脉冲响应与线性时不变系统的卷积表示若已知系统的h(n)，对于任意的输入x(n)，对于线性是不变系统而言，如何求其输出y(n)？上式为x(n)与h(n)的线性卷积，它说明线性时不变系统的响应等于输入序列与单位脉冲响应序列的卷积。一般用h(n)代表系统，示意图如下*可交换性*结合性

1.卷积的性质若有两个级联系统h1(n)和h2(n)，如图所示，则有*分配性

若有两个并联系统h1(n)和h2(n)，如图所示，则有以上两图中的系统分别等效

卷积的计算过程包括以下四个步骤：反褶,移位,相乘,求和2.卷积的运算反褶，先将x(n)和h(n)的变量n换成m，变成

x(m)和h(m)，再将h(m)以m=0为轴反褶成h(-m)。移位，将h(-m)移位n，变成h(n-m)，n为正数，右移n位，n为负数，左移n位。3)相乘，将h(n-m)与x(m)在相同的对应点相乘。4)求和，将所有对应点乘积累加起来，就得到n时刻的卷积值，对所有的n重复以上步骤，就可得到所有的卷积值y(n)。例1-2-2设求：下面举例说明x(m)01231/213/2m012m1h(m)解：先给出x(m)和h(m)的图形反褶

.以m=0为对称轴，折叠h(m)得到h(0-m)x(m)01231/213/2m012m1h(m)-1012345y(n)n可见，当n<1时，x(m)与h(n-m)无交叠，相乘处处为零，即y(n)=0，n<10mh(0-m)-2-1n=0反褶10mh(-1-m)-2-1n=-1左移-31可见当1≤n≤2时，x(m)与h(n-m)有交叠，从m=1到m=n，即x(m)01231/213/2m移位得0mh(1-m)-1n=1右移0mh(2-m)2n=2右移111当3≤n≤5时，x(m)与h(n-m)有交叠，上限为3，下限为n-2，即得x(m)01231/213/2m0mh(3-m)2n=3右移1310mh(4-m)2n=4右移13410mh(5-m)2n=5右移13451当n>5时，x(m)与h(n-m)无交叠，相乘处处为零，即y(n)=0，n>5x(m)01231/213/2m012m1h(m)3456n>5右移综上可得y(n)如下012345y(n)n1/23/235/23/2n<1,n>5时y(n)=0 若有限长序列x(n),y(n)长度分别为N1，N2，序列z(n)为x(n),y(n)的线性卷积序列，则z(n)的长度为N1＋N2－1若x(n)序列区间为：N1～N2若y(n)序列区间为：N3～N4问：z(n)序列区间为：？思考：P26，7

因果性是指系统在n时刻的输出只取决于n时刻以及n时刻以前的输入，而与n时刻以后的输入无关。

1.2.5系统的因果性与稳定性1.系统的因果性线性时不变因果系统的充要条件为

h(n)=h(n)u(n)因果性说明了系统的可实现性。如果系统的输出与将来的输入有关，该系统为非因果系统，是不可实现的。

证明：充分性若n<0,h(n)=0，则利用卷积公式，对于任何输入x(n)，其输出为对某个时刻n0，其输出y(n0)为

上式表明n0时刻的输出y(n0)只与m≤n0的所有x(m)有关，而与m>n0的x(m)无关。因此，该系统为因果性系统。下面证明线性时不变因果系统的充要条件

必要性

：采用反证法。假定系统为因果性系统，但在n<0时h(n)≠0，按卷积公式，对于任何输入x(n)，n0时刻的其输出y(n0)为这样，由于n<0时h(n)≠0，上式中右边的第二项和式中至少有一项不为零，也就是说，n0时刻的输出y(n0)与一个m>n0的x(m)有关，与系统是因果性系统的假设矛盾。因此必须有n<0时h(n)=0。证毕。2.系统的稳定性

系统的稳定性是指系统对于任何有界输入，输出也应是有界的。通常称这种稳定性为有界输入—有界输出(BIBO)稳定性。系统的稳定条件为下面证明系统的稳定条件证明：充分性

可见，输入是有界时，输出亦有界，因此系统为因果系统。必要性

采用反证法。

即对有界的输入，输出为无界，与系统稳定性的假设矛盾。因此必须要有条件式。

例1-2-3

若系统的单位脉冲响应为

h(n)=-anu(-n-1)，讨论系统的因果性与稳定性。解：因果性因在n<0时，h(n)≠0，故系统为非因果系统稳定性

思考：P26，6-3例：证明：1.若T1,T2是线性系统，则系统T也是线性系统；2.若T1,T2是时不变系统，则系统也是时不变的；3.若T1,T2是因果系统，则系统也是因果系统；4.若T1,T2是稳定系统，则系统也是稳定系统

1-3时域离散系统的输入输出描述法－－－－线性常系数差分方程

1.3.1差分方程描述其中ai、bi都是常数。离散系统差分方程表示法有两个主要用途：①由差分方程得到系统结构；②求解系统的瞬态响应；N阶线性常系数差分方程的一般形式：例：用途一，由一阶差分方程画网络结构

y（n）=ay（n-1）+x（n）由此得到它的网络结构如图Da网络结构用途二在给定输入和给定初始条件下，用递推的方法求系统瞬态解例，一阶差分方程系统：其输入为解：①初始条件为y（n）=0，n〈0n=0以的前的输出已由初始条件给定，瞬态解从n=0求起，由差分方程、初始条件和输入，得：

依次递推

┆

，稳定、因果系统②输入相同，但初始条件改为n〉0，y（n）=0将上述差分方程改写成y（n-1）=2[y（n）-1.5x（n）]

此时y（0）=2[y（1）-1.5x(1)]=0

依此类推，得到②非因果、不稳定系统①、②两式所表示的两个不同的单位脉冲响应，虽满足同一差分方程，但由于初始条件不同，它们代表不同的系统，也即用差分方程描述系统时，只有附加必要的制约条件，才能唯一地确定一个系统的输入和输出关系。为了利用数字系统来处理模拟信号，必须先将模拟信号转换成数字信号，在数字系统中进行处理后在转换成模拟信号。其典型框图如下：本节主要介绍模拟信号与数字信号之间相互转换的基本数学原理。

1-4连续时间信号的数字处理1.4.1抽样定理与A/D转换器

抽样是将连续时间信号离散化的过程，它仅抽取信号波形某些时刻的样值。抽样分为均匀抽样和非均匀抽样，当抽样是取均匀等间隔点时为均匀抽样，否则为非均匀抽样。1.理想抽样及其频谱

理想抽样：当τ趋于零的极限情况时，脉冲序列p(t)变成了冲击函数串，称为理想抽样。

抽样过程：均匀抽样可以看作为一个脉冲调制过程，数学表示为。

xa(t)为调制信号即输入的模拟信号，p(t)为载波信号是一串周期为T，脉宽为τ的矩形脉冲串，调制后输出的信号就是抽样信号。理想抽样过程示意图用p(t)表示冲击函数串p(t)=则因此实际上是xa(t)在离散时刻nT的取值xa(nT)的集合。(2)抽样信号的频谱设模拟信号xa(t),冲击函数串p(t),抽样脉冲串以及抽样信号的傅里叶变换分别为由频域卷积定理得其中将Xa(jΩ)和P(jΩ)带入式中，得

可见,一个连续时间信号经过理想抽样后,其频谱为周期性信号，且以抽样频率Ωs=2π/T为间隔周期重复。即如图所示（图中仅为其幅度谱）：也就是说，理想抽样信号的频谱是原模拟信号频谱的周期延拓，周期为Ωs

，其频谱的幅度与原信号的谱相差一个常数因子1/T。如果xa(t)的频谱Xa(jΩ)为被限制在某一最高频率Ωh范围内，其频谱如图a所示，则称其为带限信号。0对带限信号的抽样满足Ωh≤

Ωs/2时,原来频谱和各次延拓分量的频谱不重叠,如图b所示，如采用一个截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器对抽样信号进行滤波，就可以不失真的还原出原来的连续信号。但如果信号的最高频率Ωh超过

Ωs/2,则各周期延拓分量产生频谱的交集,将无法不是真的还原出原来的连续信号，即产生了“混叠失真”，如图c所示。

*

Ωs/2通常称为折叠频率或奈奎斯特频率。0称为基带谱。**

重要结论：要想连续信号抽样后能够不失真的还原出原信号，则抽样频率必须大于或等于两倍原信号频谱的最高频率(Ωh≤

Ωs/2)，这就是奈奎斯特抽样定理.说明：实际工作中，考虑到有噪声，为避免频谱混淆，采样频率总是选得比两倍信号最高频率max更大些，如Ωs>(3~5)max。同时，为避免高于折叠频率的噪声信号进入采样器造成频谱混淆，采样器前常常加一个保护性的前置低通滤波器（抗混叠滤波），阻止高于S/2频率分