第5章 梁的应力

材料力学第5章梁的应力姓名：鲁晓俊单位：武昌理工学院第5章梁的应力5.1梁横截面上的正应力5.2梁横截面上的剪应力5.3梁的强度条件5.4梁的合理截面及变截面梁5.1.1纯弯曲与横力弯曲5.1梁横截面上的正应力mmFSM当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力FS.mmFSmmM弯矩M是由正应力合成的.剪力FS有由切应力合成的；所以，在梁的横截面上一般既有正应力s，又有切应力t。这种梁段的弯曲称为横力弯曲。简支梁CD段任一横截面上，剪力等于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是纯弯曲.若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲.aaFSMxx+FCDABF+－5.1梁横截面上的正应力5.1.2纯弯曲梁段横截面上的正应力一、弯曲试验与假设弯曲试验5.1梁横截面上的正应力试验现象

横线为直线,仍与纵线正交

靠顶部纵线缩短,靠底部纵线伸长纵线伸长区,截面宽度减小纵线缩短区,截面宽度增大弯曲假设

横截面变形后保持平面，仍与纵线正交－弯曲平面假设

各纵向“纤维”处于单向受力状态－单向受力假设（纯弯与正弯矩作用）5.1梁横截面上的正应力推

论

梁内存在一长度不变的过渡层－中性层中性层与横截面得交线－中性轴

横截面间绕中性轴相对转动

中性轴⊥截面纵向对称轴5.1梁横截面上的正应力几何方面:物理方面:静力学方面:二、对称弯曲正应力公式5.1梁横截面上的正应力(a)(b)中性轴通过横截面形心(a)(c)(d)(a)－抗弯截面系数(d)－惯性矩5.1梁横截面上的正应力结论中性轴过截面形心

中性轴位置：

正应力公式：

中性层曲率：,对称弯曲,纯弯与非纯弯应用条件：总

结假设平面假设，单向受力假设综合考虑三方面5.1梁横截面上的正应力一些易混淆的概念对称弯曲－对称截面梁，在纵向对称面承受横向外力时的受力与变形形式纯弯曲－梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常数的受力状态中性轴－横截面受拉与受压区的分界线形心轴－通过横截面形心的坐标轴弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲变形的能力

抗弯截面系数Wz－代表梁截面几何性质对弯曲强度的影响中性轴与形心轴对称弯曲与纯弯曲截面弯曲刚度与抗弯截面系数5.1梁横截面上的正应力三、Iz及Wz矩形截面圆形截面圆环截面bhzyzdyzDdy5.1梁横截面上的正应力zy四、于中性轴不是对称轴的横截面M应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离ytmax和ycmax直接代入公式5.1梁横截面上的正应力5.1.3横力曲梁段横截面上的正应力5.1梁横截面上的正应力横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力使横截面发生翘曲，横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表明，对于跨度与横截面高度之比l/h大于5的梁，横截面上的正应力变化规律与纯弯曲时几乎相同，因此，纯弯曲时的正应力计算公式，也可以应用于横力弯曲的梁.例

已知：F=15kN,l=400mm,b=120mm,d=20mm试计算：截面

B-B的最大拉应力st,max与压应力sc,max解：1.弯矩计算2.形心位置计算由矩形

1

与矩形

2

组成的组合截面5.1梁横截面上的正应力3.惯性矩计算4.最大弯曲正应力5.1梁横截面上的正应力5.2.1矩形截面梁的剪应力5.2梁横截面上的剪应力假设t

(y)

//

截面侧边，并沿截面宽度均匀分布狭窄矩形截面梁(h>b)Sz(w)－面积

w

对中性轴

z

的静矩5.2梁横截面上的剪应力5.2.2工字形截面梁的剪应力5.2梁横截面上的剪应力假设:t//腹板侧边,并沿其厚度均匀分布w－y下侧部分截面对中性轴

z的静矩5.2.3圆形截面梁的剪应力5.2梁横截面上的剪应力分析表明，最大弯曲切应力仍发生在中性轴上，并可近似认为沿中性轴均匀分布5.2.4薄壁圆环形截面梁的剪应力5.2梁横截面上的剪应力式中：在中性轴处有最大剪应力tmax:5.3

梁的强度条件5.3.1梁的正应力强度条件1.概念危险点——发生最大正应力（包括最大拉应力和最大压应力）的各点，叫做梁的危险点。

危险截面——最大弯矩或较大弯矩所在截面叫梁的危险截面。2.梁的正应力强度条件：梁的横截面上的最大工作正应力smax不容许超过材料的许用弯曲正应力[s]，即

当中性轴为截面对称轴时的强度条件为：

当中性轴不为截面对称轴时，拉应力强度条件为：当中性轴不为截面对称轴时，压应力强度条件为：5.3梁的强度条件例题5.2

图5.12（a）所示的楼板主梁欲用二个工字型钢制成。已知钢的许用弯曲正应力，试选择工字钢的型号。解先作简支梁的弯矩图（如图5.12（b））,可知，发生在梁的跨中截面处。每一个工字钢的抗弯截面模量由型钢规格表可查得45b工字钢为故所选工字形截面型号为45b。5.3梁的强度条件试校核该梁的强度。例题5.3

某T形截面铸铁梁尺寸如图所示。已知解（1）作出梁的弯矩图。这时可能出现的危险截面应为B、C两截面，且有5.3梁的强度条件中性轴z距梁截面上、下边缘最远距离为y1=52mm和y2=88mm。截面对形心主轴z的惯性矩为（2）求形心位置。选参考轴z1，有5.3梁的强度条件（3）校核B截面的强度。B截面上负弯矩、梁截面上的正应力分布规律如图所示，中性轴以上为受拉区，中性轴以下为受压区。B截面上的最大压应力B截面上的最大拉应力5.3梁的强度条件因此，该梁不满足抗拉强度条件。（4）校核C截面强度。C截面上为正弯矩，梁截面上的正应力分布规律如图所示，中性轴以上为受压区，中性轴以下为受拉区。C截面上的最大拉应力为5.3梁的强度条件对于横力弯曲的等直梁，在剪力最大横截面上的中性轴处，通常产生最大剪应力，而正应力为零，此时的应力状态为纯剪切应力状态。需满足的剪应力强度条件为：5.3.2梁的剪应力强度条件式中表示横截面在中性轴以上(或以下)部分面积对中性轴z的面积矩，为材料在横力弯曲时的许用剪应力。b——表示横截面在中性轴处的宽度，5.3梁的强度条件5.3.3梁的正应力强度条件和剪应力强度条件的主次关系两个强度条件中正应力强度条件是主要的，需要满足正应力强度条件，一般情况下，不校核剪应力强度条件，也会满足。但对以下三种特殊情况，就必须注意校核梁内的剪应力强度：（1）梁的跨度较短，或在支座附近作用有较大的荷载，梁内出现弯矩较小而剪力很大；（2）在铆接或焊接的组合截面（例如工字形）钢梁中，其横截面的腹板厚度与高度之比小于一般型钢截面的相应比值；5.3梁的强度条件例题简支梁在距支座0.2m处作用有P=200kN的集中力若钢材的许用正应力[s]=160MPa，许用剪应力[t]=100MPa。试选择工字形型钢号码。解（1）作梁的弯矩图与剪力图，如图（b）、（c）。5.3梁的强度条件选工字形钢20b，（3）剪应力强度校核不满足剪应力强度条件。(2)由正应力强度条件选择型钢号码5.3梁的强度条件（4）根据剪应力强度条件重选型钢号码，采用试算法仍不满足剪应力强度要求。（a）选22b：（b）选25b：故选25b可以满足要求。

5.3梁的强度条件5.4

梁的合理截面及变截面梁5.4.1梁的合理截面形状选取原因：2.截面面积愈小，自重也小，引起的附加自重应力也小，还有利于安装和现场施工。1.在选择材料相同及外力不变的条件下，由正应力强度条件可知，若截面面积不变，抗弯截面模量较大者梁的承载能力高。一、梁的合理截面形状请问哪种摆放形式合理?将梁的抗弯截面模量WZ与其横截面面积A之比作为选定合理截面形状的一个指标。1、梁的合理摆放5.4梁的合理截面及变截面梁将较多材料放置在远离中性轴的位置2、梁的合理截面形状5.4梁的合理截面及变截面梁常见截面的WZ/A

值

因此：工程上常采用工字形、圆环形、箱形等截面形式。5.4梁的合理截面及变截面梁2.若梁的截面设计得过高过窄，则可能使梁在不大的外力作用下，出现侧向翘曲而失稳破坏。如图：1.分析梁的截面的合理形式时，还应考虑刚度、稳定性以及施工、制造、安装等方面的要求。注意：5.4梁的合理截面及变截面梁

1.变截面梁：在弯矩较大的梁段采用较大的截面，