第3章 力矩与平面力偶系

§3-1

力矩的概念§3-2

平面力偶的概念§3-3

平面力偶系的合成与平衡第3章力矩与平面力偶系转动效果力的大小力臂d转动方向力对点的矩力使物体绕点转动效果的度量；代数值（不是矢量）；绝对值等于力的大小与力臂之积；正负:逆时针转动为正，顺时针转为负；单位：牛顿·米（N.m）§3-1

力矩的概念1.力对点之矩力矩的性质（1）力沿其作用线移动，不改变它对点的矩;（2）力的作用线通过矩心时，力矩等于零。反之也成立。(3)

互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。(4)

Mo(F)＝±Fd=±2SΔOAB

.F1F2OFo.2.合力矩定理表达式：证明：由图得而OxydxyFFxFyAaqa-qr则(a)

若作用在A点上的是一个汇交力系（F1、F2、…Fn）,则利用式(a)可将每个力对O点之矩相加，有由式(a)，该汇交力系的合力FR=∑F，它对矩心O的矩为比较(b)、(c)两式有(a)(b)(c)平面汇交力系的合力对平面内任一点的力矩，等于力系中各分力对同一点的力矩的代数和。

平面汇交力系的合力矩定理：例3-1已知F=300N，l=0.5m，α=60°。试计算力F对O点之矩。解：按合力矩定理计算。F1F21、力偶的概念

力偶作用面：力偶中两个力所决定的平面。力偶臂：两个力作用线之间的垂直距离，以d表示。力偶：把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力组成的力系称为力偶，记作(，)。§3-2

力偶的概念力偶的作用效果：使物体的转动状态改变。力偶的转动效果力的大小力偶臂转动方向力偶使物体转动效果的度量；代数值（不是矢量）；绝对值等于力偶中力的大小与力偶臂之积；正负:逆时针转动为正，顺时针转为负。单位：牛·米（N·

m）力偶矩

力偶与力偶矩(2)力偶的性质(a)力偶在任何坐标轴上的投影等于零；(b)力偶不能合成为一力，也不能与一个力平衡；力偶和力是静力学的两个基本物理量。(c)力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效应，即它可以也只能改变物体的转动状态。xFF′d力偶臂力偶作用面2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。2．力偶的三要素1）力偶矩的大小2）力偶的转向3）力偶作用面的方位d作用面2.平面力偶等效定理定理：在同一平面内（或两平行平面内）的两个力偶，如它们的力偶矩的大小相等，而且转向相同，则此两力偶等效。F1FF′ABF1′CD设有一力偶(F,F′),如图所示。运用加减平衡力系的公理并注意到：证明：而推论1力偶可以在其作用平面内任意移动或

转动，不会改变它对物体的转动效应。即力偶对刚体的转动效应与其在作用平面的位置无关。两个重要推论：推论2在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶中力和力偶臂的大小而不改变力偶对刚体的转动效应。注意：上述结论只适用于刚体，而不适用于变形体。力偶的表示方法====※可用力偶的转向箭头来代替力偶。

平面力偶系可以合成为一个合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩代数和。

§3-3

平面力偶系的合成一.平面力偶系的合成2.平面力偶系的平衡条件平面力偶系平衡的必要和充分条件是：合力偶矩等于零，即力偶系中各力偶矩的代数和等于零，∑Mi=0利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。M1M2Mn两力偶作用在板上，尺寸如图，已知F1=F2=1.5kN,F3=F4=1kN,求作用在板上的合力偶矩。180mmF1F2F3F480mm解：由式M

=M1

+M2

则M=-F1

·0.18–F3·0.08=-350N·m负号表明转向为顺时针。图3-14例题3-2长为4m的简支梁的两端A、B

处作用有二个力偶，大小各为M1=16N·m，M2=4N·m，转向如图。试求A、B支座的约束力。解：作AB梁的受力图，如图(b)所示。AB梁上作用有二个力偶组成的平面力偶系，在A、B

处的约束力也必须组成一个同平面的力偶（FA，FB

）才能与之平衡。例题3-3FBFAM1M2AB(b)d604mABM1M2(a)图3-15由平衡方程∑M=0得-M1+

M2+FBlcos60º=0解得故FB=6NFA、FB为正值，说明图中所示FA、FB的指向正确。FA=FB=6NFBFAM1M2AB(b)d例题3-3如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r，θ=30°，不计各杆自重，试求M1和M2间的关系。BODqM1M2A例题3-4解：因为杆AB为二力杆，故其反力FAB和FBA只能沿A，B的连线方向。分别取杆OA和DB为研究对象。因为力偶只能与力偶平衡，所以支座O和D的约束力FO和FD只能分别平行于FAB和FBA

，且与其方向相反。BODqM1M2A例题3-4BDM2FDFBAOM1FOFABA因为所以求得写出杆OA和DB的平衡方程：∑M=0思考题3-1一力偶(F1,F1′)作用在Oxy平面内,另一力偶(F2，F2′)作用在Oyz平面内,它们的力偶矩大小相等(如图)。试问此两力偶是否等效，为什么？xyzF2F2′F1F1′图3-16O如图所示，在物体上作用有两力偶(F1,F1′)和(F2,F2′)其力多边形封闭。问该物体是否平衡？为什么？图3-17F1F2F1′F2′F1F2F1′F2′思考题3-2图3-18所示圆盘由O点处的轴承支持，在力偶M和力F的作用下处于平衡。能不能说力偶被力F所平衡？为什么？力矩和力偶有什么联系？又有什么区别？FMO图3-18思考题3-3思考题3-4两轮半径同为r，一轮在轮缘上受一大小为F

的力作用，另一轮在轮缘上受两个方向相反、大小都是F/2的力作用，各轮上的力对轮心的矩是否相同？两轮上的力对轮的外效应是否相同？(a)rO1Fr(b)O2F/2F/2图3-19思考题3-4图中所示两轮在图示主动力作用下能否处于平衡？为什么？若不能平衡，可否再在轮上加一个力使之平衡？如何加？(b)r(a)O1FrO2F/2F/2图3-20思考题3-5

长为l=4m的简支梁的两端A、B

处作用有两个力偶，大小各为M1=32N·m，M2=8N·m，转向如图。试求A、B支座的约束力。解：取AB梁为研究对象，作AB梁的受力图。例题3-5604mABM1M2M1M2ABdFAFB由平衡方程∑Mi

=0得－

M1+

M2+FBlcos60º=0解得故FB=12NFA、FB为正值，说明图中所设FA、FB的指向正确。FA=FB=12NM1M2ABdFAFB604mABM1M2－32+8+FB4cos60=0解：取AB梁为研究对象，作AB梁的受力图。

如图所示的铰接四连杆机构OA