第02讲逻辑代数基础

第2讲逻辑代数基础

课时授课计划

课程内容知识要点：逻辑代数的基本概念（包括变量、运算、函数等）逻辑代数的公理、定理和规则逻辑函数的各种表示形式及相互转换目的与要求：熟练掌握基本逻辑运算和几种常用复合导出逻辑运算；熟练运用真值表、逻辑式、逻辑图来表示逻辑函数。理解并掌握逻辑代数的基本公式、基本定律和三个重要规则。重点与难点：重点：三种基本逻辑运算和几种导出逻辑运算；真值表、逻辑式、逻辑图之间的相互转换。基本公式和基本定律；三个重要规则。难点：将真值表转换为逻辑式。 摩根定律；三个规则。课堂讨论：讨论简单逻辑运算的逻辑口诀；分析逻辑式与逻辑图之间的相互转换以及如何由逻 辑式或逻辑图列真值表。常用公式的证明；三个重要规则的验证。现代教学方法与手段：投影PowerPoint幻灯课件复习（提问）：与、或、非逻辑的运算口诀、逻辑符号。常用公式的证明；三个重要规则的验证。

逻辑代数的基本概念逻辑函数的不同表示方法及其相互转换逻辑函数的规则和公式逻辑和逻辑值所谓逻辑，是指事物的前因和后果所遵循的规律。客观存在的大量完全对立又互相依存的逻辑状态可以用逻辑“真”（逻辑“1”）和逻辑“假”（逻辑“0”）两个对立的逻辑值来表示。逻辑“1”—条件具备或结果发生

逻辑“0”—条件不具备或结果未发生逻辑“1”和逻辑“0”不同于二进制数1和0逻辑代数、逻辑变量、逻辑函数逻辑代数

描述二值性逻辑关系的数学方法，是研究数字系统逻辑设计的数学工具。逻辑变量：逻辑代数中用来代替逻辑值的字母表示条件自变量或输入变量表示结果因变量或输出变量逻辑函数：描述因变量（输出变量）关于自变量（输入变量）的对应关系。历史沿革形式化定义基本逻辑运算

描述一个数字系统，仅用逻辑变量的取值来反映单个开关元件的两种状态是不够的，还必须反映一个复杂系统中各开关元件之间的联系，这种相互联系反映到数学上就是几种运算关系。逻辑代数中定义了“与”、“或”、“非”三种基本运算。逻辑与:定义为当决定某一事件的所有条件都成立时，这个事件才会发生。逻辑表达式：F=A·B。（又称为逻辑“乘”

）实现“与”运算关系的逻辑电路称为“与”门。真值表：将所有输入组合及其对应的输出列成的表。逻辑功能口诀：有“0”出“0”，全“1”出“1”。演示与运算

逻辑或：定义为当决定某一事件的所有条件中只要有一个条件成立时，这个事件就会发生。逻辑表达式：F=A+B。（又称为逻辑“加”

）

实现“或”运算关系的逻辑电路称为“或”门。逻辑功能口诀：有“1”出“1”，全“0”出“0”。演示或运算

非运算逻辑非：定义为结果与条件相反。逻辑表达式：（又称逻辑求反）实现“非”运算关系的逻辑电路称为“非”门或反相器。逻辑功能口诀：“0”变“1”，“1”变“0”。1AFAFAF1）与非逻辑

与和非的复合逻辑称为与非逻辑，它可以看成与逻辑后面加了一个非逻辑，实现与非逻辑的电路称为与非门。

逻辑功能口诀：有“0”出“1”，全“1”出“0”。复合逻辑运算2）或非逻辑

或和非的复合逻辑称为或非逻辑，可以看成或逻辑后面加了一个非逻辑，实现或非逻辑的电路称为或非门。

逻辑功能口诀：有“1”出“0”，全“0”出“1”。3）与或非逻辑是三种基本逻辑的组合，也可看成是与逻辑和或非逻辑的组合。

4）异或逻辑

异或逻辑是指当两个输入逻辑变量取值相同时，输出为0，不同（相异）时输出为1。实现异或逻辑的电路称为异或门。

逻辑功能口诀：相同为“0”，不同为“1”。异或运算规则异或运算性质5）同或逻辑

同或逻辑又称为异或非逻辑，是指当两个输入逻辑变量取值相同时，输出为1，不同时输出为0。实现同或逻辑的电路称为同或门（或称为异或非门）。

逻辑功能口诀：相同为“1”，不同为“0”。异或运算规则逻辑函数的三种表示方法逻辑表达式真值表逻辑电路图逻辑表达式描述逻辑表达式表示逻辑变量之间函数关系的代数式。同一个逻辑函数可以用不同形式的逻辑表达式来表示。运算优先顺序真值表描述将所有输入组合及其对应的输出列成的表。由于一个逻辑变量只有0和1两种可能的取值，故n个逻辑变量一共只有2n种可能的取值组合。有限的变量个数使得变量取值组合的总数必然是有限的，从而，能够用穷举的方法来描述逻辑函数的功能。同一个逻辑函数只能有唯一的一张真值表。

逻辑图描述逻辑图是用基本逻辑门和复合逻辑门的逻辑符号组成的对应于某一逻辑功能的电路图。同一个逻辑函数可以有多个不同形式的逻辑图与之对应。卡诺图描述卡诺图是由表示逻辑变量所有取值组合的小方格所构成的平面图。它是一种用图形描述逻辑函数的方法。卡诺图在逻辑函数化简中十分有用。逻辑函数的不同表示方法

（函数式、真值表、逻辑图）

之间的相互转换1、真值表逻辑函数式 将真值表中使每个输出变量值为1时对应的一组输入变量组合以逻辑乘（与运算）形式表示（其中在输入变量组合中，用原变量表示变量取值1，用反变量表示变量取值0），再将所有使输出变量值为1的逻辑乘项进行逻辑加（或运算），即得到输出变量的逻辑函数表达式。2、函数式逻辑图

将逻辑函数表达式中出现的与、或、非等运算关系，分别用相应的逻辑符号来表示，并根据输入输出关系作相应的连线。3、真值表逻辑图

综合1、2的做法举例例：已知逻辑函数的真值表如下所示，试求其函数式和逻辑图。ABCY000000100100011110001011110111104、逻辑图函数式 逐级根据输入写输出举例例：写出下图的逻辑函数式。5、函数式真值表 只要把输入变量取值的所有组合逐一带入式中计算出函数值，然后将输入变量取值与函数值对应地排列成表即可。举例例：已知函数式为

求其真值表。解：将输入变量A,B,C的各种取值组合逐一代入上式计算，再将结果填入表中6、逻辑图真值表综合4、5的做法直接作真值表逻辑代数的重要规则代入规则反演规则对偶规则代入规则任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。

例如：两变量的德摩根律--〉三变量的德摩根律代入规则的正确性是由逻辑变量和逻辑函数值的二值性保证的。代入规则的意义代入规则的意义：利用这条规则可以将逻辑代数公理、定理中的变量用任意函数代替，从而推导出更多的等式。这些等式可直接当作公式使用，无需另加证明。应用代入规则的注意事项注意：使用代入规则时必须将等式中所有出现同一变量的地方均以同一函数代替，否则代入后的等式将不成立。反演规则

反演规则用于求反函数。注意事项：保持原函数式中运算符号的优先顺序不变；不属于单个变量上的反号应保留不变。对偶规则若逻辑函数表达式的对偶式就是原函数表达式本身，即F‘=F。则称函数F为自对偶函数。若两个逻辑函数表达式F和G相等，则其对偶式F'和G'也相等。这一规则称为对偶规则。对偶规则的应用和注意事项为了证明两个逻辑式相等，可以通过证明其对偶式相等来完成。因为有时证明对偶式相等更加容易。求某一逻辑表达式的对偶式时，同样要注意保持原函数的运算顺序不变。逻辑代数的基本公式（17个）

变量与常量关系重迭律互补律还原律交换律分配律反演律（德·摩根律）变量与常量关系（0-1律）重迭律互补律还原律交换律结合律分配律反演律（德·摩根律）逻辑代数的常用公式（5个）历史沿革逻辑代数是从哲学领域中的逻辑学发展而来的。1847年，英国数学家乔治·布尔(G.Boole)提出了用数学分析方法表示命题陈述的逻辑结构，并成功地将形式逻辑归结为一种代数演算，从而诞生了著名的“布尔代数”。1938年，克劳德·向农(C.E.Shannon)将布尔代数应用于电话继电器的开关电路，提出了“开关代数”。随着电子技术的发展，集成电路逻辑门已经取代了机械触点开关，故“开关代数”这个术语已很少使用。为了与“数字系统逻辑设计”这一术语相适应，人们更习惯于把开关代数叫做“逻辑代数”。返回逻辑代数的基本概念逻辑代数L是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集K，常量0和1以及“与”、“或”、“非”三种基本运算所构成，记为

L={K,·,+,-,0,1}

该系统满足公理。交换律

对于任意逻辑变量A、B，有

A+B=B+A；

A·B=B·A

结合律对于任意的逻辑变量A、B、C，有

(A+B)+C=A+(B+C)；

(A·B)·C=A·(B·C)

分配律对于任意的逻辑变量A、B、C，有

A+(B·C)=(A+B)·(A+C)；

A·(B+C)=A·B+A·C0─1律对于任意逻辑变量A，有

A+0=A；

A+1=1；