量子力学第二章

第二章

波函数与薛定谔方程ThewavefunctionandSchrödingerEquation1内容提要

本章内容主要包括:(1)微观粒子体系—量子体系的描述方法，即用波函数来描述量子体系状态，体系波函数一旦确定，意味着量子体系的一切力学量信息都可以通过对波函数的解读来获得，只是这些力学量取值在量子体系中通常以概率的形式，而不是决定的形式体现。(2)介绍求解体系波函数的方程—薛定谔方程；（3）应用薛定谔方程求解几个简单力学体系的波函数21.接受微观粒子运动状态的描述方式波函数及其统计解释。2.通过对实验的分析,理解态叠加原理。3.掌握微观粒子运动的动力学方程波函数随时间演化的规律SchrÖdinger方程。4.掌握定态及其性质。5.通过对三个实例的讨论,掌握定态SchrÖdinger方程的求解。学习要求3

微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态的描述必有别于经典力学对粒子运动状态的描述，即微观粒子的运动状态不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述。这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像。§2.1波函数的统计解释1．微观粒子状态的描述德布罗意指出：微观粒子的运动状态可用一个复函数来描述，函数—称为波函数。★

描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波4★如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，它的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写粒子状态的波函数，它通常是一个复函数。三个问题？(1)是怎样描述粒子的状态呢？(2)如何体现波粒二象性的？(3)描写的是什么样的波呢？deBroglie

波5▲两种错误的看法（1）波由粒子组成

如水波，声波，由物质的分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。

电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上仍可呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。

2．波函数的统计解释6（2）粒子由波组成电子是波包把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度这也与实验结果相矛盾，这是因为若电子本身是一个波包，则在单电子实验中就应该观察到双缝干涉的实验现象，而实际上在一次性单电子实验中并不能观察到干涉现象。7实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小≈1。

电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？“电子既不是粒子也不是波”，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是也可以说，“电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性的统一。”这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。经典概念中粒子意味着

81.实在的物理量的空间分布作周期性的变化;2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。经典概念中波意味着

（1）入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;我们再看一下电子的衍射实验▲玻恩的解释：OPP电子源感光屏QQ衍射实验事实：9（2）入射电子流强度大，很快显示衍射图样.

这类似于掷硬币的实验，可以一次性的掷大量的硬币，也可以一次一次地在相同条件下投掷大量的硬币，两种情况得到的结果相同，这表明量子体系的波动行为具有统计的特性。亮条纹表明粒子出现的概率大，暗条纹表明粒子在该处出现的概率小。若用波函数描述粒子的行为，则它必须能够反映这种属性。

在光的衍射现象中，条纹的亮暗与光的强度成正比，即振幅的平方成正比，而从光是粒子的角度，强度大的地方意味着光子在该处出现几率大。既然量子力学中的态用波函数描述的，波函数的模的平方就相应于波函数振幅的平方。所以，类似于光的属性，其模的平方应该与粒子在空间某一位置出现的概率成正比。10

波动观点粒子观点明纹处:电子波强(x,y,z,t)2大

电子出现的概率大暗纹处:电子波强(x,y,z,t)2小电子出现的概率小

可见，波函数模的平方与粒子时刻在处附近出现的概率成正比。1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函数的统计解释：

波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平方）与粒子在该点出现的概率成比例。注意：波函数本身没有直接的物理意义11设粒子状态由波函数描述，波的强度是则微观粒子在t时刻出现在处体积元dτ内的几率

称为几率密度(概率密度)12

（1）“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒子的波是几率波”，这是量子力学的一个基本假设。

知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子在空间各点处出现的几率，以后的讨论将进一步知道，波函数给出体系的一切性质，因此说波函数完全描写体系的量子状态（简称状态或态）（2）波函数一般用复函数表示。必须注意它表示粒子在t时刻出现在附近单位体积内的几率13令3．波函数的归一化条件

时刻，在空间任意两点和处找到粒子的相对几率是：可见，和描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。即14和描述同一状态

这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅增大一倍（原来的2倍）时，则相应的波动能量将为原来的4倍，因而代表完全不同的波动状态。

为消除波函数有任一常数因子的这种不确定性，利用粒子在全空间出现的几率等于1的特性，提出波函数的归一化条件，即通过乘一个常数使波函数模的平方在全空间的总和为1，这样的波函数模平方直接代表粒子的几率，称为归一化波函数：15则有其中称为归一化常数于是归一化条件消除了波函数常数因子的一种不确定性。设原波函数为，归一化波函数为16注意（1）归一化后的波函数仍有一个模为一的因子不定性（δ为实函数）。若是归一化波函数，那末，也是归一化波函数，与前者描述同一几率波。（2）只有当几率密度对空间绝对可积时，才能按归一化条件进行归一化。17

第一节内容复习1、量子体系状态的描述方法

经典力学的描述方法：用位置和动量作为变量描述粒子的运动状态。只要物体在任一时刻的位置确定，则物体的运动状态就确定了。其特点是：用轨道的概念表示质点的运动特性。

量子力学的描述方法：由于微观粒子的波粒二象性，无法确定粒子在某一时刻的精确位置，不能用轨道的概念描述粒子的状态。用波函数来描述量子体系的状态。182、波函数的基本性质

a、波函数通常用复数表示b、波函数的统计解释：波函数自身没有直接的物理意义；模平方与粒子在某一点出现的概率成正比c、波函数包含体系的所有物理量信息，这些物理量的取值在量子力学中是以概率形式呈现的3、概率密度与归一化19波函数的归一化：通过在原波函数前乘上一个常数因子，其模平方积分等于1.其物理意义表示粒子在全空间出现的总概率为1.归一化因子经过归一化后的波函数就代表某一点的几率密度

粒子在任意时刻在空间某点附近单位体积内出现的概率即c20§2.2态叠加原理

在经典力学中，声波和光波等都遵从叠加原理,叠加是波共有的属性。例如，光学中的惠更斯原理就是典型的叠加原理的体现。微观粒子类似于光的性质，具有波动性质。所以量子力学中描述量子态的波函数也应该满足态叠加原理。以下介绍量子力学中的态叠加原理。211.电子双缝衍射实验12用表示粒子穿过上面狭缝到达屏B的状态，用表示粒子通过下面狭缝到达屏B的状态，再用表示粒子穿过两个狭缝到达B的状态，则有其中c1以及c2与粒子通过上下两个缝的概率有关由此，我们得到了量子力学中的态叠加原理：如果以及是粒子的可能态，则其线性叠加也是体系的一个可能状态22物理意义迭加态的概率:

如果粒子处在以及的线性叠加态则它既处在态也处在态上若是粒子的可能状态，则粒子也可处在它们的线性迭加态233．电子在晶体表面的衍射d

电子从晶体表面出射后，既可能处在态，也可能处在、

等状态，按态迭加原理，在晶体表面反射后，电子的状态

可表示成

取各种可能值的平面波的线性叠加，即

电子沿垂直方向射到单晶表面，出射后将以各种可能的动量运动，出射后的电子为自由电子，其状态波函数为平面波。24考虑到电子动量的连续变化（1）

即衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果该式是以为谱系的傅里叶积分25由此

（2）对及作扼要比较说明

26以坐标

为自变量的波函数，坐标空间（坐标表象）波函数以动量为自变量的函数，动量空间波函数，因为它反映动量为p的态出现的概率

给出t时刻粒子处在位置处的几率

给出t时刻粒子动量为的几率

二者描写同一量子状态一维情况下27态叠加原理复习若是体系的可能状态，则它们的线性迭加态也是体系的可能态物理意义：处在Ψ态上的粒子体系，则仍部分处在Ψ1、Ψ2…..Ψn上与经典态叠加原理的区别：经典的叠加态和叠加前的态有本质区别，而量子体系的叠加态和叠加前的状态无本质区别，处在叠加态的体系以概率的形式呈现单个状态28§2.3薛定谔方程1．微观粒子运动方程应具有的特点

量子体系用波函数描述，波函数随空间及时间变化，所以需要建立波函数的方程，该方程是量子力学的基本方程，该方程类似于经典力学的牛顿运动方程，不能推导出来。实际过程是先建立方程，用该方程解决实际问题，若理论与实践符合，说明它是正确的。该方程必须满足以下的两个条件

本节研究量子力学的动力学问题，建立量子力学的动力学方程——Schrödinger方程（1）方程必须为线性的（态叠加原理要求）（2）方程的系数只能包含粒子本质特性的常数及普适常数如质量、电量，不应该包含能量、动量状态参量（因为这种情况下导出的方程不具有普适性）29又（2）

（3）（1）

2．自由粒子的运动方程将（1）和（2）式代入（3）式，得

以下根据运动方程的两个特点，引出自由粒子的Schrödinger方程，再推广到一般情形。自由粒子波函数30讨论

通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，能量和动量作用于波函数可用算符替换，从而得到自由粒子波动方程：称为能量算符称为动量算符（4）

313．势场中运动粒子的Schrödinger方程设势场中运动粒子的状态波函数为（6）

用能量关系式乘以波函数

按（5）式，将能量和动量分别用能量算符和动量算符替代，即得Schrödinger方程粒子的哈密顿函数324．多粒子体系的Schrödinger方程作动量算符替代则利用哈密顿算符，可将Schrödinger方程（6）写成另一形式（7）称为哈密顿算符33多粒子体系：一个体系中包含两个或两个以上的粒子，这种体系就称为多粒子体系，描述其状态同样是用波函数来表示，其模平方与t时刻第一个粒子出现在处，第二个粒子出现在处，…,第n个粒子出现在的几率成正比。哈密顿函数34

（1）Schrödinger作为一个基本假设提出来，它的正确性已为非相对论量子力学在各方面的应用而得到证实。注意

（2）Schrödinger方程在非相对论量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相仿,只要给出粒子在初始时刻的波函数，由方程即可求得粒子在以后任一时刻的波函数。Schrödinger方程（9）

哈密顿算符

（8）例：写出氦原子核外电子的薛定谔方程35内容复习薛定谔方程其中称为哈密顿算符该方程是量子力学的基本方程，通过它可以解出粒子体系的波函数，从而可进一步确定量子体系的所有性质362多粒子的波函数与薛定谔方程多粒子体系的波函数用表示，其物理意义:模平方与t时刻第一个粒子出现在r1处，第二个粒子出现在r2处，第三个粒子出现在r3

处，…,第n个粒子出现在rn处的几率成正比。哈密顿算符

373、几率流密度与几率守恒方程几率流密度物理意义：表示单位时间内流过垂直于运动方向单位面积内的几率。微分形式几率守恒方程物理意义：单位时间内某一点附近单位体积内几率的变化等于从相应界面流进或流出的几率。38物理意义：单位时间内粒子在某一有限体积内的几率的变化等于从该体积相应的边界面流进或流出的几率。积分形式39§2.4粒子流密度和粒子数守恒定律1．几率守恒定律由Schrödinger方程

（1）

则设是描述粒子状态的归一化波函数

取复共轭

这一节内容将讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化代入（1）式后，有

40（2）令称为几率流密度几率连续性方程（3）（3）式对空间V作体积分(4)

的物理意义表示单位时间内，通过垂直于粒子运动方向单位面积的概率，类似于电流密度41当时(4)式表明:单位时间内粒子在内几率的增量等于单位时间内流入内的几率(负号表示流入)。(3)式是几率守恒定律的积分形式。(4)式即表明粒子的总几率不变,即几率守恒。表明波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。42——量子力学的电荷密度——量子力学的质量流密度

——量子力学的电流密度——量子力学的质量密度2．电荷守恒定律，粒子数守恒设粒子的电荷为，质量为——量子力学的电荷守恒律——量子力学的物质守恒律注意：以上所有的物理量都带有几率的意义433．波函数的标准条件（1）根据Born统计解释，是粒子

时刻出现在点的几率密度，这是一个确定的数，所以要求应是的单值函数且有限。（2）根据粒子数守恒定律:

波函数对时间和空间的坐标的一阶导数存在，所以函数在空间任何一点都应是有限、连续。

概括之，波函数在全空间每一点应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。

注意：波函数的一阶导数不一定连续44§2.5定态薛定谔方程

1．定态，定态波函数（1）

（2）

若与无关，即外力为保守力，则可以分离变量，令(2)代入(1)式，两边同除，得到（3）

等式两边是相互无关的物理量，故应等于与无关的常数（4）对于薛定谔方程45（5）

（6）

(5)代入(2)式，得到令deBroglie能量式

可见分离变量中引入的常数为粒子的能量，当粒子处在由波函数（6）所描述的状态时，粒子的能量有确定的值，这种状态称为定态；描述定态的波函数（6）称为定态波函数。定态条件下，能量取确定值2．定态Schrödinger方程

当粒子处在定态中时，具有确定的能量，其空间波函数可由方程（3）求得，即由 46在给定的定解条件下（边界条件确定的条件下）求出，方程（7）称为定态Schrödinger方程。

（7）3.Hamilton算符和能量本征值方程可将定态Schrödinger方程(7)写成（8）

该方程称为哈密顿算符(能量算符)的本征方程，其物理意义：在该方程的解所表示的态中，能量具有确定的取值，该态称为能量的本征态，E的取值称为本征值。47

由此讨论定态问题就是要求出体系可能的定态波函数及相应于这些态中的能量；求定态波函数的问题又归结为解定态Schrödinger方程+定解条件构成的本征值问题:

定解条件：波函数所满足的边界条件本征能量值谱：本征函数系：本征波函数任意状态

484.求解定态问题的步骤（1）列出定态Schrodinger方程（2）利用边界条件及波函数三个标准条件求解能量的本征值及本征函数（4）通过归一化确定归一化系数（3）写出定态波函数即得到对应第个本征值

的定态波函数49与无关5．定态的性质（2）几率流密度与时间无关（1）粒子在空间几率密度与时间无关与无关判别定态的方法：（1）能量是否为确定值（2）几率与时间无关（3）几率流密度与时间无关50下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？（1）

（2）

（3）

思考题511、波函数基本条件单值性、有限性、连续性2、定态及定态薛定谔方程若薛定谔方程中U（r，t）不显含时间，则可化为如下两个方程前一节课内容复习52由此可得，其解形式为该形式波函数所描述的态称为定态，相应的空间部分方程称为定态薛定谔方程

定态的基本性质（1）能量具有确定值（2）几率与时间无关（3）几率流密度与时间无关53通过定态薛定谔方程及边界条件，可以解出波函数及相应的能量，其解通常是一系列分立的谱系本征函数能量本征值这些解是方程的特解，其一般解为54§2.6一维无限深势阱在继续阐述量子力学基本原理之前，先用Schrodinger方程来处理一类简单的问题——一维定态问题（一维无限深势阱，线性谐振子，势垒贯穿）。（1）有助于具体理解已学过的基本原理；（2）有助于进一步阐明其他基本原理；（3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；

（4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。其好处主要有：55无限深势阱-aa0U(x)考虑一维粒子的运动，其势能为:经典情况：相当于两个非常坚硬的墙壁（非常强大的斥力场），经典粒子只能在墙壁内来回反弹，不可能逃出势阱量子力学研究方法：写出体系的定态薛定谔方程，波函数在阱内、外即全空间都要满足该方程561．定态Schrödinger方程哈密顿算符(1)(2)572．定态Schrödinger方程的解因及有限，由（2）

（3）令（4）（1）

从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。其通解为：（5）

利用的连续性，由（3）和（5）得58（8）

本征能量：（9）

该方程组是关于A、B的线性齐次方程，有非零解得条件为系数行列式为0，即

由此59当n为偶数时

本征函数当n为奇数时

（10）

为偶数60（11）

为奇数(10)和(11)两式统一写成由归一化条件求得归一化常数61推导:（取实数）（12）

归一化的本征函数62or

由此可见：一维无限深势阱粒子的每个定态波函数是由两个沿相反方向传播的平面波叠加而成的驻波。3．对粒子的定态波函数意义的讨论634．几率幅与几率密度曲线图

下面为n=1、2、3、4时的波函数及相应几率密度曲线64从中可以看出以下的一些特性1、波函数及几率密度曲线在x轴的节点数（波函数为0的点）为n-1，即第n个态的波函数与x轴节点数为n-12、波函数具有确定的奇偶性，即确定的宇称，这是由于势阱具有空间反演对称性造成的，且最低态为偶宇称3、当n趋于无穷大时，体系的能量趋于连续，且粒子在阱内各个位置出现几率相同，且能量趋于连续，其行为类似于经典粒子。65总结基态能量（1）能量取分离谱，即能量是量子化的。(2)粒子能量最低的态称为基态与经典最低能量为零不同，这是微观粒子波动性的表现，因为“静止的波”是没有意义的，亦即的态不存在，无意义。66（3）束缚态——通常将在无穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。67为偶数为奇数复习：无限深势阱问题1、能量的本征值与本征函数682基本性质（1）能量取分离谱，即能量是量子化的。（2）本征函数在x轴上的节点数（波函数为0的位置的个数）等于量子数减1。（3）体系的波函数具有确定的宇称（4）体系处于束缚态——在无穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。69§2.7线性谐振子

在经典力学中，当质量为的粒子，受弹性力作用时，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：其解为。这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子称为（线性）谐振子。经典允许的振动范围谐振子在运动中能量守恒。其能量是振幅的连续函数。1.经典谐振子谐振子哈密顿量：引言谐振子能量：70

量子力学中的线性谐振子是指在势场中运动的质量为的粒子2.量子谐振子

例如双原子分子，两原子间的势是二者相对距离的函数，如图所示。

自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。71在处，有一极小值。在附近，势可以展开成泰勒级数：axV(x)0V0若取，即平衡位置处于势点；并记，并作坐标平移，则有72定态Schrödinger方程：

1.Schrödinger方程（1）

则方程改写成令

（为待定常数）（2）

（3）

上式两边同除以73于是方程（2）可写成（4）

2.方程的求解当时，方程（4）的渐近形式为

（5）

方程（5）在处的有限解为

令方程（4）的解

（6）

代入方程（4）可得满足的微分方程

74相应于每一个n，方程的解由无穷级数退化为一个n阶多项式，称为厄米多项式,用Hn(ξ）表示

用常微分方程的幂级数解法可以求出方程的解，但并非参数λ取任何值都能保证解H(ξ)有限，即方程的解有物理意义。计算表明，只有在λ取奇数的情况下，才能满足这个条件，即：(8)（称为厄密方程）(7)(9)厄密多项式75几个厄密多项式：从上式可以看出，n阶厄密多项式是n次多项式：(1)其最高项系数为2n；（2）厄米多项式要么为奇函数，要么为偶函数，且最低阶为偶函数76厄密多项式的两个常用公式（对材物不作要求）第一式证明由令λ=2n-1（1）77（2）（3）把（2）（3）代入（1）式得（4）又（5）由（4）（5）得78由归一化条件(11)3.线性谐振子的能量本征函数归一化常数的推导（对材物专业不作要求）由归一化条件可得分步积分79分步积分80求得归一化常数(12)(13)归一化的本征函数而由此81本征波函数(14)4.线性谐振子的能量本征值由(2)和(9)式,即由和得本征能量:

(15)821能量的本征值：

（1）能量谱为分离谱，两能级的间隔为

（2）基态能量：（又称零点能）

零点能不等于零是量子力学中特有的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应，已被绝对零点情况下光被晶体散射实验所证实。讨论83基态能量：基态本征函数：2.基态在处的势能：在范围内经典动能由几率密度看出,粒子在处出现的几率最大；在范围内，粒子出现的几率不为零。对其它各能级状态下的波函数可作类似的分析。

84

在经典情形下，粒子将被限制在范围中运动。这是因为振子在处，其势能，即势能等于总能量，动能为零，经典的粒子动能不可以小于零，因此粒子被限制在内。

可见，量子与经典情况完全不同，这是由微观粒子的波动性确定的,这并不违反能量守恒定律，因为量子力学中粒子的能量不再是位置的函数。3.具有宇称

上式谐振子波函数说明体系的宇称具有确定的奇偶性为854．本征函数与几率密度8687n=10时谐振子的几率密度

从以上本征函数与几率密度曲线图看出，量子力学的谐振子波函数ψn有n个节点，在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振子在[-a,a]区间每一点上都能找到粒子，没有节点。88经典谐振子的几率密度

总结

以上讨论的定态问题即一维无限深势阱及谐振子问题都属于束缚态问题，其特点是波函数分布在有限范围内，即无穷远处波函数为0，且能量取分立值

89谐振子内容复习定态Schrödinger方程：

能量的本征值：

本征函数：

90是厄密多项式谐振子的波函数具有确定的宇称，且为束缚态91量子谐振子与经典谐振子的区别（1)相比于经典谐振子，量子谐振子存在零点能（2)相比于经典谐振子，量子谐振子可以进入经典禁区以上两点区别本质上源于微观粒子的波动性，因为“静止的”波是不存在的，另外由于粒子位置不能精确确定，“粒子在某一点能量、势能、动能”的说法是没有意义的，所以经典能量关系式不再有意义，因此不能用经典能量关系式判断粒子能否进入某一区域92§2.8

势垒贯穿一维无限深势阱以及谐振子问题中，体系的势能在无穷远处为无限大，波函数在无穷远处为0，这个条件使得体系的能级是分立的，体系属于束缚态。这一节讨论的问题是势能在无穷远处为有限值的情况，这时粒子可以在无穷远处出现，波函数在无穷远处可以不为零，由于没有边界条件的限制，体系能量可以取任意值，即组成连续谱。93设粒子所处的势场为经典情况：无穷远处过来的粒子，若总能量小于势能，则粒子被反弹回去，若能量大于势能则粒子能穿过势垒

量子力学情况，粒子具有波动性，运动情况需要通过解薛定谔波动方程获得，所解得的波函数满足整个空间的薛定谔方程1.势垒问题中的定态定薛谔方程94（1）E>U0情形0aV(x)V0IIIIIIE令

假设一个粒子从无穷远处射向势垒，它相当于一列波向势垒传播。在势垒不同区域，体系波函数满足以下的定态方程

95则方程变为分区求解ⅠⅡⅢ2.方程的求解向右传播的入射平面波向左传播的反射平面波由左向右的透射波因Ⅲ区无由右向左传播的平面波，故三式均为两个左右传播的平面波的叠加96可得透射波振幅及反射波振幅与入射波振幅间的关系联立这四个方程式，并消除与（4）在势能有限的情况下，不仅波函数连续，其一阶导数也连续97（5）以下是对两式推导,对以下（7）（8）（9）进行变形可得（6）（7）（8）（9）（10）98（11）（12）由（6）+（10）可得（13）由（11）+（12）可得（15）由（6）-（10）可得（14）99（16）把（15）（16）分别代入（13）（14）可得（17）（18）解（17）（18）可得关系式（4）（5）以下求入射粒子被反射及透射的概率100利用几率流密度公式:求得入射波

的几率流密度

透射波的几率流密度

反射波的几率流密度

101

为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。3.透射系数和反射系数透射系数（6）反射系数（7）以上二式说明入射粒子一部分贯穿势垒到的III区域，另一部分则被势垒反射回来。表明粒子数守恒

它们的物理意义表示：入射粒子被势垒透射以及反射的几率102（2）E<U0情形

是虚数Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

令是实数其中在(4)和(6)式中，把换为

，得到透射波振幅:

（8）103透射系数:

（9）隧道效应（tunneleffect）

粒子能够穿透比它能量更高的势垒的现象称为隧道效应.它是粒子具有波动性的生动表现。当然，这种现象只在一定条件下才比较显著。右图给出了势垒穿透的波动图象。此结果表明，即使，透射系数一般不等于零。0aV(x)V0入射波+反射波透射波x同样，势垒贯穿也是经典理论无法理解的104当