立体几何第二章复习

立体几何复习提要1、线面关系中的平行与垂直2、空间中的角与距离3、典型题型分类解析平行与垂直平行线线平行线面平行面面平行线线平行判定线面平行判定线面平行性质面面平行判定面面平行性质（1）定义：如果两条直线在同一平面内，且没有公共点，则这两条直线平行。（2）初中所学的判定方法（两条直线在同一平面内）（3）平行公理4（4）线面平行的性质定理:线线平行判定如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线与交线平行。（5）面面平行的性质如果两个平面和第三个平面相交，则交线平行。（6）线面垂直性质如果两条直线同时垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。（7）利用距离如果一条直线上的所有点到另一条直线的距离相等，那么这两条直线平行。（8）利用所成角如果两条直线与一个平面所成角相等且方向相同，那么这两条直线平行。（1）定义：直线和平面没有公共点。（2）判定定理：平面外一条直线和平面内一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。（3）面面平行的性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。线面平行判定（4）利用垂直如果一条直线和一个平面分别与另一个平面垂直，且直线不在这个平面内，则这条直线和这个平面平行。（5）利用平行如果一条直线与两个平行平面中的一个平行且不在另一个平面内，则这条直线与另一个平面平行。（6）利用距离一条直线垂直于一个平面，同时垂直于另一条直线，则另一条直线平行于这个平面。线面平行的性质（1）性质定理：如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行。（2）如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面没有公共点。（3）如果一条直线与两个相交的平面都平行，那么这条直线与交线平行。（4）如果一条直线与一个平面平行，另合乎一条直线与这个平面垂直，那么这两天天条直线垂直。（5）如果一条直线与一个平面平行，事实不则这条直线与平面所成的角为零度。（6）如果一条直线与一个平面平行，则这就日条直线上的所有的点到这个平面的距各个离相等。面面平行判定（1）定义：如果两个平面没有公共点，则这两个平面平行。（2）判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。（3）推论：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行。（4）利用线面垂直：如果两个平面分别垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5）利用面面平行：如果两个平面都平行于第三个平面，那么这两个平面平行。（6）利用距离：如果一个平面上的所有点到另一个平面的距离相等，那么这两个平面平行。面面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么这两个平面没有公共点。（2）如果两个平面平行且都与第三个平面相交，则交线平行。（3）如果两个平面平行，则其中一个平面内的所有直线与另一个平面平行。（4）如果两个平面平行，且其中一个平面与一条直线垂直，则另一个平面与这条直线也垂直。（5）如果两个平面平行，那么这两个平面所成的角为零度。（6）如果两个平面平行，则其中一个平面内的所有点到另一个平面的距离相等。（7）夹在两个平行平面间的平行线段相等。平行与垂直垂直线线垂直线面垂直面面垂直线线垂直判定线面垂直判定线面垂直性质面面垂直判定面面垂直性质线线垂直判定（1）利用线线平行：一条直线垂直于两条平行线中的一条，则垂直于另一条（2）利用勾股定理逆定理（3）利用等腰三角形性质（4）利用平面图形性质(5)线面垂直的性质：a⊥αbα∪a⊥b(6)利用线面垂直、线面平行：a⊥αb∥αa⊥b(7)利用三垂线定理：αaCBA在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。（反之也成立）线面垂直判定（1）判定定理1——如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。（2）判定定理2——如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直。（3）面面垂直的性质：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面（4）面面垂直推论:如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线l垂直于另一个平面（5）面面平行性质：一直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面线面垂直性质（1）定义——如果一条直线和一个平面垂直则这条直线垂直于平面内的任意一条直线（2）性质定理——如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行。（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面（6）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直（7）如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直推论:如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直面面垂直判定如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面推论:如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线l垂直于另一个平面面面垂直性质垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：1.平行转化2.垂直转化每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的.例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.

例1.已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点.(1)

求证：MN∥平面PAD；

(2)求证：MN⊥CD；

PABCDNM(3)若平面PCD与平面ABCD所成二面角为θ，问能否确定θ的值，使得MN是异面直线AB与PC的公垂线.

例2、在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，2AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过A1，B，M三点的平面交C1D1于点N。(1)求证：EM∥平面A1ND1；(2)求二面角B-A1N-B1的正切值

ABC1A1D1CB1EMN例3、正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都相等，D、E分别是CC1和AB1的中点，点F在BC上且满足BF∶FC=1∶3.(1)若M为AB中点，求证：BB1∥平面EFM；(2)求证：EF⊥BC；(3)求二面角A1—B1D—C1的大小

N(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；例4、在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.例5如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC=60o,PA=AC=a,PB=PD=a,点E在PD上，且PE：ED=2：1。（1）证明PA⊥平面ABCD；（2）求二面角E-AC-D的大小；

PABCDE空间中的角与距离立体几何专题复习

之二空间中的角αabαbαβmb’aABP00<θ≤90000≤θ≤90000≤θ≤1800三种角的定义两异面直线所成角直线与平面所成角二面角空间角的计算步骤：一作、二证、三算

空间中的角解法小结1、异面直线所成角的方法（1）平移法（2）补形法2、直线与平面所成角的方法关键：抓垂足、斜足，找斜线在平面内的射影。当二面角的棱已知时：（1）定义法(2)垂面法（3）三垂线定理法寻找平行平面，将问题转化3、二面角找二面角的棱,进而找棱的两条垂线当二面角的棱未知时：利用射影面积公式S′=Scosθ［例］在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点.(1)求证：四边形B′EDF是菱形；(2)求直线A′C与DE所成的角；(3)求直线AD与平面B′EDF所成的角；(4)求面B′EDF与面ABCD所成的角.

1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是()A. B.

C. D.ABDCA1B1D1C1OMPABDCA1B1D1C1OME2.已知∠AOB=90°,过O点引∠AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45°、60°，则以OC为棱的二面角A—OC—B的大小为_________.

3、如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=1/2，则面SBA与面SCD所成的二面角的大小是

。

sABCD4.如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,AE⊥PD,EF∥CD,AM＝EF(1)证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；(2)若PA=3AB,求二面角E—AB—D平面角的正弦值.(3)若PA=3AB,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值.PABCDEFM求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法

求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离或平面与平面的距离空间中的距离解法小结

1.正方形ABCD边长为2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角，M为矩形AEFD内一点，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为0.5，那么点M到直线EF的距离为

。N2.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=，D为AB的中点.（1）求证：AB1⊥平面CED（2）求异面直线AB1与CD之间的距离；（3）求二面角B1—AC—B的平面角.

(1)求点E到平面ABD的距离：(2)求二面角A—BD—C的正切值

3.如图，正三棱柱A1B1C1-ABC中，底面边长和侧棱长都是1，D