格林函数法和特征线法复习

Green函数法和特征线法

2012.11.16答疑时间：13周的周四，周五两天地点：理科楼：具体分配如下周四上午（8:30-11:30）330刘老师和219张老师周四下午（2:10-5:10）330刘老师和316赵老师，周五上午219（8:30-11:30）张老师，316（10:10-11:50）王老师，周五下午（2:10-5:10）理科楼316的王老师和赵老师。这些时间段，大家可以到这些老师处答疑3格林函数对于在区域有一阶连续偏导数的函数我们有等式在边界还不能直接由(1)式求出。此积分表达式表示函数但狄利克雷问题或诺依曼问题的解上的数值表示出来。中为调和函数，在及其法向导数上具(1)内部的数值在区域可以用函数44.2格林函数对于在区域有一阶连续偏导数的函数我们有等式由于在边界因此比如，对于狄利克雷问题，上狄利克雷问题的解是惟一的，上的值就不知道，的值就不能再任意给定了。中为调和函数，在而上具(1)上的值是已在给定的，在边界比如，对于狄利克雷问题，而上的值是已在54.2格林函数对于在区域有一阶连续偏导数的函数我们有等式所以为了求解狄利克雷问题，函数的概念。中为调和函数，在上具(1)我们自然首先想到从公式(1)中设法消去还需要借助格林第二公式(2)为此，需要引入格林6(1)(2)在格林第二公式(2)中，取调和函数，均为区域将上式与(1)式相加得内的并且在则得上有连续的一阶偏导数，(3)7(1)(2)如果选取调和函数(3)使之满足项就消失了，这样(3)式中的于是有(4)8选取的调和函数满足于是有(4)令(5)则(4)式可表示为(6)称为拉普拉斯方程的格林函数其中(或上恒等于0.称为狄利克雷问题的源函数).在而且边界9(7)(5)(6)已经知道，因此，如果格林函数并且上具有一阶连续偏导数。如果拉普拉斯方程的狄利克雷问题上具有一阶连续偏导数的解存在的话，在它在那么问题(7)的解可表示为(8)10(5)已经知道，因此，如果格林函数并且上具有一阶连续偏导数，对于泊松方程的狄利克雷问题而言上如果存在一阶连续偏导数的解，在它在解必能表示为则这个(8)11(5)应用(8)求解拉普拉斯方程的狄利克雷问题时，关键在于要找到格林函数(5)是下面特殊的狄利克雷问题的解由这个函数问题的格林函数。其中确定的格林函数，称为第一边值(8)(9)(对于某些特殊区域，如球域、半空间等，可求出格林函数)12补充3

定义平面上第一边值问题的格林函数并为此，我们需要借助公式和平面上的格林公式导出该问题解的积分表达式(1’)(2’)13在格林公式(2’)中，取调和函数，均为区域将上式与(1’)式相加得内的并且在，则得上有连续的一阶偏导数(3’)(2’)(1’)14如果选取调和函数满足项就消失了，这样(3’)式中的于是有(4’)(2’)(1’)(3’)15令(5’)则(4’)式可表示为(6’)称为二维拉普拉斯方程的格林函数其中上恒等于0.(或称狄利克雷问题的源函数).在而且边界(4’)16(7’)已经知道，因此，如果格林函数并且上具有一阶连续偏导数。如果二维拉普拉斯方程的狄利克雷问题上具有一阶连续偏导数的解存在的话，在它在那么问题(7’)的解可表示为(8’)(5’)(6’)17应用(6’)求解拉普拉斯方程狄利克雷问题时，关键在于要找到格林函数(5’)是下面特殊的狄利克雷问题的解由这个函数问题的格林函数。其中确定的格林函数，称为第一边值(9’)(对于某些特殊区域，如圆域、半平面等，可求出格林函数)(5’)(6’)18(5)格林函数的几个重要性质：格林函数当处处满足拉普拉斯方程，一点外在除去性质1相同。趋于无穷大，时，其阶数和在边界恒等于0.上格林函数性质2在区域内，下面不等式成立性质319(5)格林函数的几个重要性质：格林函数即若之间具有对称性质，和参变量关于自变量性质4这个性质在电学上的意义可以这样来描述：则处的单位点电荷在类似于这样的原理，在物理学中称为互易原理。处产生的电位等于(对称性)处的单位点电荷在处产生的电位。20(5)格林函数的几个重要性质：性质5一方面利用关系式(8’)，证考察下列狄利克雷问题(8)可得另一方面由极值原理知此问题解为根据狄利克雷问题解的惟一性可知性质5成立。21(5)格林函数在静电学中的物理意义：处放一单位正电荷，则在自由空间中，设在点它所产生的电位为在导电面内的电位，可用函数则此时而这个导电面又是接地的，点的点电荷是包围在一个封闭的导电面内，如果在来表示，此函数在导电面上恒等于0，其中函数正好表示导电面上感应电荷所产生的电位。例1、设，求

，并且满足

的解，其中是以原点为圆心，为半径圆形域，为的单位外法向量。（化工02黄正清）解：故积分可得并由：并且带入可得即有例2、设，求

，并且满足

的解，其中是以原点为球心，为半径球形域，为的单位外法向量。解：故积分可得并由：并且（化工02黄正清）带入可得即有3.试写出第一卦限x>0,y>0,z>0的格林函数形式解：第一卦限的格林函数满足在第一卦限上取一点并在该点放置一个单位正电荷，令是关于三个坐标平面xoy，zoy，xoz对称的点，并且在这些点分别放置一个单位负电荷，令是关于坐标原点对称的点,杜燊能动17潘劲松核工程12并且在这个点放置一个单位负电荷.令是关于三个坐标轴ox，oy，oz对称的点，并且在这些点分别放置一个单位正电荷.则第一卦限的格林函数为4.试写出第一象限x>0,y>0的格林函数形式解：第一象限的格林函数满足在第一象限上取一点并在该点放置一个单位正电荷，令是关于两个坐标轴x,y对称的点，并且在这些点分别放置一个单位负电荷，令是关于坐标原点对称的点,杜燊能动17潘劲松核工程12并且在这个点放置一个单位负电荷.则第一卦限的格林函数为例5.设有一半径为R的均匀球，上半球面的温度保持为。求球内温度的稳定分布。下半球面的温度保持为解：考虑定解问题由球域上的泊松积分公式，得杜燊能动17潘劲松核工程12由于此积分的计算很困难，下面我们只考虑一些特殊位置的温度分布。比如，求温度在球的铅垂直径（直径的上半部）和（直径的下半部分）上的分布。当时，，故有：当时，,故有在以上两个公式中，当时，球的温度为.张远舸结构11例6半空间laplace问题解赵兴红2111705023结构11

例7（球域拉普拉斯问题）解：对于球域问题可作用电镜像法作如下分析：赵兴红2111705023结构11

故而原问题的解如下：43特征线法或行波法一行波法适用范围：无界域内波动方程，等…1基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。*44*45一维波动方程的达朗贝尔公式

行波法

*46结论：达朗贝尔解表示沿x

轴正、反向传播的两列波速为a波的叠加，故称为行波法。a.只有初始位移时，代表以速度a

沿x

轴正向传播的波代表以速度a

沿x

轴负向传播的波4解的物理意义b.只有初始速度时：假使初始速度在区间上是常数，而在此区间外恒等于0*47解：将初始条件代入达朗贝尔公式5达朗贝尔公式的应