机械工程控制课程.复习

机械控制工程实质是研究工程技术中广义系统的动力学问题，研究系统在外界条件作用下，从系统的一定初始状态出发，所经历的由其内部的固有特性所决定的整个动态历程。研究系统及其输入、输出三者之间的动态关系。本课程主要研究当系统已定，输入已知时，求出系统的输出，并通过输出来研究系统本身的有关问题，即系统分析。

控制理论的内容分类1、古典控制理论用频域法、时域法解决单输入、单输出线性定常系统的问题。时域法→在时间域内解决问题频域法→在频率域内解决问题2、现代控制理论用时域法（状态空间法）解决多输入、多输出的线性及非线性时变系统的问题及最优控制问题。自动控制系统→就是在没有人的直接参与下，利用控制器使生产过程或被控制对象的某一物理量准确地按预期的规律运行的设备或装置。

自动控制系统要解决的最基本的问题就是如何使受控对象的物理量按照给定的变化规律变化。

组成：控制装置对被控对象起控制作用的设备的总体。

被控对象

要求实现自动控制的机器、设备和生产过程。

自动控制系统的基本方式：开环控制闭环控制

反馈---把输出量（被控制量）部分或全部送回输入端，并与输入信号比较的过程。反馈原理---基于反馈基础上的“检测偏差，纠正偏差”的控制原理。反馈控制系统---利用反馈原理组成的系统，亦称闭环控制系统。

a)

测量、反馈b)

求偏差c)

纠正偏差闭环控制系统的组成：

给定元件

典型的反馈控制系统框图

串联校正元件 执行元件

控制对象

反馈元件

放大变换元件

并联校正元件

输入信号xi

主反馈信号xb

偏差信号e

局部反馈

主反馈

输出信号

扰动

比较元件

+ - + - x0

对闭环系统的三项基本要求是：稳、准、快建立数学模型的依据通过系统本身的物理特性来建立。如力学三大定律、流体力学定律、电学定律、欧姆定律、克希霍夫定律等数学模型的特点

1、实物→（抽象）数学表达式2、不同的控制系统可以具有相同的数学模型

控制系统的数学模型定义是描述系统或环节内部、外部各物理量（或变量）之间动、静态关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。

数学模型的分类1、微分方程时间域t2、传递函数复数域s=σ+iω3、频率特性频率域ω4、状态方程时间域t典型的微分方程：

i=0,1…nj=0,1,…m1、线性定常系统？2、线性时变系统？3、非线性系统？据传递函数的定义：形式上记为：(n>m)拉氏变换：传递函数

（1）前向通道传递函数（2）反馈通道传递函数（3）对输入引起的开环传递函数（4）对输入量的闭环传递函数(5）对扰动量的闭环传递函数比例环节:G(s)=K

积分环节:G(s)=1/s微分环节

G(s)=s典型环节的传递函数

惯性环节:

一阶微分环节:

振荡环节:

等效原则：前向通道和反馈通道传递函数都不变。方框图变换法则(比较点和引出点的移动)梅逊公式

含多个局部反馈的闭环控制系统对反馈信号为相加的取”-”对反馈信号为相减的取”+”

适用条件:1、整个方框图只有一个前向通道；2、各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框。方框图

等效原则：前向通道和反馈通道传递函数都不变。方框图变换法则(比较点和引出点的移动)梅逊公式

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适用条件:1、整个方框图只有一个前向通道；2、各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框。方框图控制系统（线性） 机械电气液压气压……

数学建模 微分方程传递函数实验数据状态方程…… 控制系统分析

控制系统设计

空间状态、鲁棒、最优控制、模糊、智能…… 现代设计分析方法 经典设计分析方法 时域分析 频域分析

时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，可以提供系统时间响应的全部信息。当系统受外加作用所引起的输出（即x(t)）随时间的变化规律，我们称其为系统的“时域响应”。

瞬态响应是指在输入信号的作用下，系统的输出量从初始状态到达到一个新的稳定状态的响应过程（亦称为动态响应），又称过渡过程。稳态响应是指当时间t趋于无穷大时系统的输出响应，它反映了系统的精度。时间响应及其组成

瞬态性能指标瞬态响应指的是一个控制系统在过渡过程中的状态和输出的行为。

所谓过渡过程，是指系统在外力的作用下从一个稳态转移到另一个稳态的过程。

瞬态性能指标一个稳定的线性定常连续系统对单位阶跃函数的响应通常有衰减振荡和单调变化两种类型。具有衰减振荡的瞬态过程如图所示。ptr0.5

y(t)tdtp01tst稳态误差

具有衰减振荡的单位阶跃响应一阶系统瞬态性能分析

控制系统的运动方程为一阶微分方程，称为一阶系统。如RC电路:

R

i(t)

C传递函数:方框图：微分方程:R(s)C(s)E(s)(-)1/Ts一般地，将微分方程为,传递函数为

的系统叫做一阶系统。T的含义随系统的不同而不同。它在S平面上的极点分布为如图所示。j0P=-1/TS平面(a)零极点分布一阶系统的单位阶跃响应

输入r(t)=1(t)，

y(t)0.6320.8650.950.982初始斜率为1/T

h(t)=1-e-t/T0

tT2T3T4T1单位阶跃响应曲线t0.135/T0.018/TT2T3T4T初始斜率为0.368/T0.05/T0g(t)(c)单位脉冲响应曲线特点：

1)可以用时间常数去度量系统的输出量的数值； 2)初始斜率为-1/T2；3)无超调；稳态误差ess=0。一阶系统的单位脉冲响应

输入r(t)=(t)，闭环传递函数输入信号时域输出响应ess

01(t)0tT

无穷大

1)系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数；

2)系统对输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分。•整理得传递函数

在第二章，已得微分方程：•取拉氏变换，有

二阶系统的数学模型控制系统的运动方程为二阶微分方程，称为二阶系统。

随着阻尼比取值的不同，二阶系统的特征根也不相同。

1、

欠阻尼（0＜＜1）当0＜＜1时，两个特征根为是一对共轭复根，如图a所示.2、临界阻尼（）当时，特征方程有两个相同的负实根，即此时的如图b所示.

3、过阻尼（）当时，两个特征根为是两个不同的负实根，如图c所示。4、无阻尼（）当时，特征方程具有一对共轭纯虚根，如图d所示，这是欠阻尼的特殊情况。

(a)0＜＜1(b)=1(c)＞1(d)=0s1s2s1s2s1s2s2s1•其根决定了系统的响应形式。其输出的拉氏变换为单位阶跃函数作用下，二阶系统的响应称为单位阶跃响应。二阶系统特征方程二阶系统的单位阶跃响应

闭环极点：1.欠阻尼二阶系统(即0<ζ<1时)

•系统有一对共轭复根：=•

阶跃响应为•其中=cos

0

s1

ωn-n

s2

j

jd欠阻尼二阶系统的单位阶响应由稳态和瞬态两部分组成：其中，称为有阻尼振荡频率。稳态部分等于1，表明不存在稳态误差；•瞬态部分是阻尼正弦振荡过程，阻尼的大小由n(即σ，特征根实部）决定；•振荡角频率为阻尼振荡角频率d（特征根虚部），其值由阻尼比ζ和自然振荡角频率n决定。衰减速度取决于值的大小，而衰减振荡的周期为:

•系统有两个相同的负实根：s1,2=-

n

阶跃响应:

2.

临界阻尼二阶系统（即ζ=1时）•系统单位阶跃响应是无超调、无振荡单调上升的，不存在稳态误差。•此时系统有两个纯虚根：s1,2=±jn

•阶跃响应：c(t)=1-cosnt•系统单位阶跃响应为一条不衰减的等幅余弦振荡曲线。振荡频率为n。•此时系统有两个不相等负实根

3.

无阻尼二阶系统（即ζ=0时）4.

过阻尼二阶系统（即ζ>1时）•系统的单位跃响应无振荡、无超调、无稳态误差。•阶跃响应：0123456789101112ntc(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。1.动态性能指标计算

上升时间tr单位阶跃响应

•即

•得

•此时对于不允许产生振荡的控制系统，应工作在过阻尼状态，它的瞬态响应指标类似一阶系统，可参考之。对于大多控制系统通常允许有适度的振荡特性，因此系统经常工作在欠阻尼状态。下面是二阶系统在欠阻尼状态时的瞬态响应指标。单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。

峰值时间tp

•由

•得单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。

超调量%

•由单位阶跃响应进入±误差带的最小时间。

调节时间ts

•有

•根据定义

•因

•则

欠阻尼二阶系统的一对包络线如图：

c(t)t01包络线（=2%时）(=5%)•工程上通常用包络线代替实际曲线来估算。

振荡次数N是系统的阻尼振荡周期。取Δ＝2时，，有

取Δ＝5时，，有

若已知，考虑到，即

•

阻尼比ζ越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间ts长；•ζ过大时，系统响应迟钝，调节时间ts也长，快速性差；•ζ=0.7，调节时间最短，快速性最好，而超调量%<5%，平稳性也好，故称ζ=0.7为最佳阻尼比。结构参数ζ对单位阶跃响应性能的影响解题思路：系统闭环频率特性

系统开环频率特性

正弦输入信号 稳态输出信号（同频率正弦信号） 频率特性

奈氏图 伯德图 基本环节频率特性

正弦输入信号 稳态输出信号（同频率正弦信号） 频率特性

奈氏图 伯德图 基本环节频率特性

正弦输入信号 稳态输出信号（同频率正弦信号） 频率特性

奈氏图 伯德图 基本环节频率特性

正弦输入信号

稳态输出信号(同频率正弦信号)

频率特性

奈氏图

伯德图

基本环节频率特性 系统频率特性

三频段

系统时域性能指标

截止频率与带宽

谐振峰值谐振频率 剪切率

稳定性判据

相对稳定性

系统频域性能指标

代数判据 几何判据

奈氏判据 对数判据 赫尔维茨判据

罗斯判据

稳定性判据 系统闭环传递函数无右极点 绝对稳定性 相对稳定性 相角裕量

幅值裕量 奈氏图

伯德图

频率响应法是二十世纪三十年代发展起来的一种经典工程实用方法,是一种利用频率特性进行控制系统分析的图解方法,可方便地用于控制工程中的系统分析与设计。第四章控制系统的频率特性分析

频率响应是指控制系统或元件对正弦输入信号的稳态正弦响应。即系统稳定状态时输出量的振幅和相位随输入正弦信号的频率变化的规律。输入输出式中：Xo(ω)为输出正弦信号的幅值，Φ(ω)为输出正弦信号的相位。频率特性：当系统输入各个不同频率的正弦信号时，其稳态输出与输入的复数比称为系统的频率特性函数，简称系统的频率特性，记为G(j)。相频特性幅频特性系统的频率响应为：

①由定义。②根据系统的传递函数求取。③通过实验测得。

频率特性的求法:

将G(S)中的S代以jω频率特性极坐标图（Nyquist图）

是ω的复变函数,故可在的复平面上表示它.

ω由0→∞时,的端点轨迹即为频率特性的极坐标图.

开环系统的幅频特性是各串联环节幅频特性的幅值之积；开环系统的相频特性是各串联环节相频特性的相角之和。系统开环传递函数幅频特性和相频特性Nyquist图的一般形状系统称为0型，Ι型，Ⅱ型…系统。1、ω=0时（起点）

幅值

v为积分环节个数2、ω=∞

时（终点）

幅值

规定φ(ω)逆时针为正，物理系统一般为滞后的，所以，φ(ω)一般为负值。

3、与实轴与虚轴的交点：4、G(S)

包含导前环节时，若由于相位非单调下降，曲线有弯曲。（一阶微分环节）对数频率特性图:伯德图(Bode图)L(w)(dB)0.010.1110wlgw2040－40－20......0(w)0.010.1110wlgw45o90o－90o－45o......0o

对数相频特性记为单位为分贝(dB)

对数幅频特性记为单位为弧度(rad)如果所研究的函数y和自变量x在数值上均变化了几个数量级。例如，已知x和y的数据为：x=10,20,40,60,80,100,1000,2000,3000,4000y=2,14,40,60,80,100,177,181,188,200在机械工程上为什么常采用半对数坐标系分析频率特性？在直角坐标纸上作图几乎不可能描出在x的数值等于10、20、40、60、80时，曲线开始部分的点。若采用半对数坐标或对数坐标则可以得到比较清楚的曲线。系统开环传函由多个典型环节相串联：那麽，系统对数幅频和对数相频特性曲线为：系统开环对数幅值等于各环节的对数幅值之和；相位等于各环节的相位之和。系统开环对数幅频特性曲线的绘制步骤:

(1)

将系统开环传递函数改写为各个典型环节标准形式的乘积形式；

(2)令S=jω,求G(jω)；

(3)确定各环节的转折频率,并将转折频率由低到高依次标注到半对数坐标轴上；

(4)绘制L()的低频段渐近线；0型（无积分环节），高度为20lgK的水平线；有积分环节则为斜率为-20×v的斜线，它与零分贝线的交点为；

(5)按转折频率由低频到高频的顺序,在低频渐近线的基础上,每遇到一个转折频率,根据环节的性质改变渐近线斜率,绘制渐近线,直到绘出转折频率最高的环节为止。

(6)如需要精确对数幅频特性，则可在各转折频率处加以修正。

(7)相频特性曲线由各环节的相频特性曲线相加获得。

1、设系统的传递函数为,求系统的频率特性,及系统对正弦输入的稳态响应。2、设单位反馈系统的开环传递函数为,已知在正弦信号作用下,闭环系统的稳态输出,试计算参数K及T的值。3、已知最小相位系统开环对数频率特性曲线如图所示。试写出开环传递函数。4、最小相位系统对数幅频渐近特性如图所示，请确定系统的传递函数。100

1、解：

2、解：T=0.1K=103、系统开环传递函数即

确定开环增益K当ω=ωc时，A(ωc)=1。所以故

4、解因此系统的传递函数具有下述形式式中K，1，2，3，4待定。

由20lgK=30得K=31.62。确定1：

所以

1=0.316确定4：

所以

4=82.54

确定3：

所以

3=34.81

确定2：

所以

2=3.481

于是，所求的传递函数为第五章控制系统的稳定性分析稳定性定义定义：设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。

稳定

不稳定

临界稳定 t t t

线性系统的稳定性取决于系统的内部固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。

设初始条件为零时，作用一理想脉冲信号到一线性系统，这相当于给系统加了一扰动信号。若，则系统稳定。

总结：稳定性判别的基本准则：

系统稳定的必要和充分条件是其特征方程的根（或者系统传递函数的极点）全部位于s复平面的左半平面。如果有一个或以上的根在右半平面，系统不稳定，如果有根在虚轴上，而其余的根位于s平面的左半平面，系统处于临界稳定状态（振荡），如果有根在原点上，系统偏离平衡点，也不稳定。

从工程控制角度来看，认为临界稳定也是不稳定。

闭环特征方程的根必须位于S平面的左半平面

系统稳定充要条件j0稳定区域不稳定区域[S平面]1)

列写罗斯计算表：任意一行的各项同时乘以一个正数，结果不变。一．代数稳定判据罗斯（Routh）稳定判据：

式中：直至其余的b为零。同样的:

﹍﹍2)

第一列各数的符号全为正且不为0，则说明无正实部的根，系统稳定。否则系统不稳定，第一列各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。已知一调速系统的特征方程式为例试用劳斯判据判别系统的稳定性：解：列劳斯表

由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。3）劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项。

第一列出现零的情况时，用一个小的正数ε代替０进行计算后，再令ε→０求极限来判别第一列系数的符号。实际上在无符号变化是表示有一对虚根存在，有符号变化时则同上。已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。例由于表中第一列上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为不稳定。解：列劳斯表4）劳斯表中出现全零行

如出现一行全零时，此时存在一些对称（大小相等，符号相反）的根（包括实根和共轭复根，系统处于临界稳定状态）。则用上一行的系数组成一个辅助方程，对方程求导后得到的系数代替原为零的各项，再继续。解辅助方程得的根即为特征方程的根。列劳斯表

由上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方程在S右半平面上没有特征根。令F(s)=2s4+12s2+16=0，求得两对大小相等、符号相反的根，显然这个系统处于临界稳定状态。例如，一个控制系统的特征方程为：

用劳斯判据检验下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并检验是否有根在垂线的右方。

例解：列劳斯表

第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。5）劳斯判据的应用列劳斯表令代入特征方程：第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线的右方。式中有负号，显然有根在的右方。

1、

奈奎斯特稳定判据

即:1+G(S)H(S)=0的根全部具有负实部。

将1+G(S)H(S)与开环频率特性G开(jω)、即G(jω)H(jω)联系起来，将系统特性由复数域引入频域分析，通过G开(ω)的频率特性图用图解法来判别系统的闭环稳定性。闭环特征方程的根必须位于S平面的左半平面

系统稳定充要条件二．几何稳定判据闭环系统传递函数：开环传递函数：特征方程：函数F（S）与开环、闭环的传递函数零点和极点的关系零点零点零点极点极点极点相同相同GB(S)F(S)GK(S)线性定常系统稳定的充要条件：其闭环系统的特征方程的全部根具有负实部，即GB(S)在[S]平面的右半平面没有极点，亦即F(S)在[S]平面的右半平面没有零点(Z=0)。

N=Z-PNyquist稳定判据:当ω由-∞→+∞时，若[GH]平面上的开环频率特性GK(jω)，即G(jω)H(jω)逆时针方向包围点(-1,j0)P圈，则闭环系统稳定。其中P为GK(S)在[S]平面的右半平面的极点数。应用：

P为GK(S)在[S]平面的右半平面的极点数，（1）P=0时（即开环稳定），ω由-∞→+∞时，若[GH]平面上的G(jω)H(jω)不包围点(-1,j0)，即N=0，则闭环系统稳定；反之，则闭环系统不稳定。（2）P≠0时（即开环不稳定），ω由-∞→+∞时，若[GH]平面上的G(jω)H(jω)逆时针包围点(-1,j0)P圈(表示Z<P)，则闭环系统稳定；若逆时针包围点(-1,j0)的圈数不到P圈(表示Z>P)，或顺时针包围(-1,j0)点，则闭环系统不稳定。几点说明①Nyqusit判据是在[GH]平面判别系统的稳定性;②P=0，最小相位系统，开环奈奎斯特轨迹不包围(-1,j0)，则闭环系统稳定；P≠0，非最小相位系统，开环奈奎斯特轨迹逆时针包围(-1,j0)P圈，则闭环系统稳定。③P=0，开环稳定，闭环可能不稳定；P≠0，开环不稳定，闭环可能稳定。④开环Nyqusit轨迹是实轴对称的：

ω由-∞→0与ω由0→+∞的开环Nyqusit轨迹关于实轴对称，故只需绘出ω由0→+∞的曲线即可判别闭环系统的稳定性。

2、Bode稳定判据开环幅相频率特性在Nyquist图上与单位圆相交的频率即为对数幅频特性曲线L(ω)和0db线相交的幅值穿越