数字信号处理-z变换(new1)

第二章z变换与离散时间傅立叶变换（DTFT)2.1本章要点Z变换定义序列特性对收敛域的影响Z变换的性质离散时间傅立叶变换（序列的傅立叶变换)利用z变换分析信号与系统的频域特性2.2z变换的定义与收敛域一、z变换定义二、z变换收敛域只有当，z变换才有意义。此时的取值范围称为z变换的收敛域1、有限长序列：收敛域为：例如2、右边序列：时，时，其z变换为：收敛域：此时称该系列为因果序列例如3、左边序列：时，其z变换为：收敛域：例如：4、双边序列：为任意值时，其z变换为：收敛域：第一项收敛域第二项收敛域如果则收敛域为否则不存在z变换图2-5双边序列及其收敛域举例：，求收敛域及零点、极点解（1）因果序列：(2)左边序列：零点z=0，极点z=0.5零点z=0，极点z=0.52、假如的z变换代数表示式是下式，问可能有多少不同的收敛域，它们分别对应什么序列？零点极点有三种收敛域：左边序列双边序列右边序列解：2.3z反变换三种方法：围线积分法（留数法），部分分式展开法，长除法*一、围线积分法（留数法）若函数收敛域为则使用时，分母多项式z的阶次比分子多项式z的阶次高二次或二次以上收敛域内环绕原点的反时针闭合围线例：已知求三种收敛域下z的反变换解：（1）在收敛域中作围线c,当在围线内有一个一阶极点当围线内有一个一阶极点和一个高阶极点故此时改求围线外留数。1/44Cn<=-2在收敛域中作围线c,当在围线内无极点，故，当，围线内有一个高阶极点，故此时改求围线外留数。1/44Cn<=-2（2）（3）在收敛域中作围线c,当在围线内两个一阶极点。当在围线内两个一阶极点和一个高阶极点，现改求围线外留数，由于围线外无极点，故此时。1/44Cn<=-2二、部分分式展开法一阶极点用部分分式展开法简便。部分分式法：若X(z)用z的正幂表示，则按X(z)/z写成部分分式，然后求各极点的留数，最后利用已知的变换关系求z反变换。例：设试用部分分式法求z反变换。解：右边序列例：有一右边序列

，其

变换为将上式作部分分式展开(用

表示)，由展开式求

(b)将上式表示成

的多项式之比，再作部分分式展开，由展开式求

,并说明所得到的序列与(a)所得的是一样的。

解：(a)因为且x(n)是右边序列

所以

(b)

三、长除法*：当收敛域，为因果序列，分子分母应按z的降幂排列，如果的收敛域为，则为左边序列，分子分母应按z的升幂排列。例：求反变换解：由于是因果序列，分子分母应按z的降幂排列。….2.4z变换的基本性质和定理一、线性：若则且收敛域为两序列的重叠部分如果线性相加后有零点、极点抵消，则收敛域可能扩大例：求的z变换解：例：求的z变换二、序列的移位若则例：若则例：若则注意：移位后z=0是否为极点，是否为极点。单边z变换：将右移m位后，则有当m=1,三、乘以指数序列（z域尺度变换）若则例：四、序列的线性加权（z域求导数）若则例：五、共轭序列设是复序列，其共轭序列为。若则六、翻褶序列例：有一信号,它与另两个信号和的关系是:

其中

，

已知

，

解：根据题目所给条件可得：

而

所以

七、初值定理对于因果序列，有

例：八、终值定理对于因果序列，且极点在单位园以内，（最多在有一阶极点）例：九、有限项累加特性对于因果序列，有则十、序列卷积和（时域卷积和定理）设：则十一、序列相乘（z域复卷积定理）（略）十二、帕塞瓦定理实部共轭对称虚部共轭反对称2.6.1利用z变换求解差分方程最一般的情况是考虑起始状态，激励（输入）为双边序列。对方程两边求单边z变换：（1）若输入x(n)=0,系统只有初始状态不为零，则方程右边为0，这时输出称为零输入响应，用表示。此时方程变为：零输入响应（2）若初始状态只有输入序列x(n)作用下所得到的输出序列称为零状态响应此时方程变为：零状态响应H（z)是零初始状态下的单位冲激响应的z变换，它完全由系统特性所决定，称为系统函数。系统的总响应：例：若离散时间系统可用以下一阶差分方程表示：设输入，初始条件①，求输出响应解（1）由得由所以：（2）2.2离散时间傅里叶变换（DTFT)——序列傅里叶变换本节要点：（1）离散时间傅里叶变换（DTFT)——序列傅里叶变换（2）离散时间傅里叶反变换（IDTFT)——序列傅里叶反变换（3）序列的傅立叶变换的收敛性——DTFT的存在条件（4）序列傅里叶变换的主要性质（5）周期性序列的傅里叶变换2.2离散时间傅里叶变换（DTFT)——序列傅里叶变换2.2.1序列傅里叶变换定义（2.2.1）式（2.2.1）表示序列的傅里叶正变换（离散时间傅里叶变换——DTFT)（2.2.2）式（2.2.2）表示的傅里叶正变换（离散时间傅里叶变换——DTFT)学习要点：2.2.2序列的傅立叶变换的收敛性——DTFT的存在条件此时正变换存在且连续——序列x(n)绝对可和是其傅里叶变换存在的充分条件（1）当时，收敛域包含单位圆收敛方式：（2）——序列x(n)绝对平方可和也是其傅里叶变换存在的充分条件收敛方式：（3）两个条件（序列的绝对可和及平方可和）是傅里叶变换存在的充分条件，不满足这两个条件的某些序列（例如周期性序列、单位阶跃序列等），只要引入冲激函数（奇异函数），则也可得到它们的傅里叶变换。例：求矩形序列的DTFT。其中：MATLAB程序：clc;clearall;N=5;n=-10:10;x=(n>=0).*(n<=4);omega=-pi:0.01*pi:pi;X=sin(N/2*omega)./sin(0.5*omega).*exp(-i*(N-1)./2*omega);absX=abs(X);phaseX=angle(X);subplot(311);stem(n,x,'.');title('x(n)');gridon;subplot(312);plot(omega,absX);title('abs(X)');gridon;subplot(313);plot(omega,phaseX);title('angle(X)');gridon;序列：离散、非周期信号幅频：连续、偶函数相频：连续、奇函数MATLAB结果图：2.2.3序列傅里叶变换的主要性质：由于序列傅里叶变换是系列在单位圆上z变换转换过来的（此时的z变换收敛域应包含单位圆）。即：故序列傅里叶变换的主要性质皆可由z变换的主要性质得出。学习要点：（1）线性：（2）序列的移位：例：设求：（1）（2）的序列傅里叶变换解：（2）（1）因为的收敛域为，包含单位圆所以（3）乘以整数序列(4)乘以复指数系列（调制性）例：设求：（1）（2）的序列傅里叶变换解：（1）（2）因为的收敛域为，包含单位圆所以（5）时域卷积定理例：设求：解：6、频域卷积定理7、序列的线性加权8、帕斯瓦定理9、序列的反褶：例：设求：的序列傅里叶变换解：（1）（2）（10）序列的共轭设是如下图所示的信号的傅里叶变换，不必求出，试完成下列计算,(a)

(b)

(c)

(d)-3-2-1012345123-14-354nx(n)解：由帕塞瓦尔公式可得：返回∵

∴即由帕塞瓦尔公式可得：返回2、已知对于以下序列，利用性质试求其DTFT,即（1）（2）解（1）返回（2）返回思考：是否存在？2.2.5周期性序列的傅里叶变换周期性序列由于不满足绝对可和或绝对平方可和，需引入冲激函数，才可求它的傅里叶变换。（1）复指数系列（在一定条件下才是时域周期序列）设则推广：2、常数序列的傅里叶变换对设则x(n)012345-5-4-3-2-1….….n….….13、周期为N的单位抽样序列串的傅里叶变换对设（2）（1）x(n)0N2N3N4N5N-5N-4N-3N-2N-N….….n1….….4、一般性周期为N的周期性序列的傅里叶变换设为的一个周期中的有限长序列。则令(2.2.72)(2.2.72)式中的由下式决定：（2.2.75）（2.2.76）周期序列频谱也可用傅里叶级数表示：一些常用的序列傅里叶变换对：序列序列傅里叶变换1序列序列傅里叶变换2.5、序列的z变换与连续信号的拉氏变换、傅立叶变换的关系令映射关系S用直角平面坐标

，z用极坐标1、与的对应关系2、与关系单位园上序列的z变换为序列的傅立叶变换11/T1/T(r=1)2.7傅立叶变换的一些对称性质1、共轭对称序列：如果是共轭对称序列如果实序列：，称为偶序列2、共轭反对称序列：如果是共轭反对称序列如果实序列：，称为奇序列任意序列若为实序列，且且偶函数奇函数2.8离散系统的系统函数、系统的频率响应系统函数：LSI系统单位抽样响应

称为LSI系统的系统函数。的系统函数称为LSI系统的频率响应单位园上一、因果稳定系统稳定系统：下列三条之一满足均为LSI稳定系统收敛域包含单位园存在且连续因果系统：：因果稳定系统：：二、系统函数和差分方程的关系：LSI系统可用若系统起始状态为零，对差分方程两边求z变换：为零点，为极点。确定系统的性质，应根据及收敛域来确定设N>M:三、系统的频率响应的意义研究线性系统对复指数或正弦序列的稳态响应，称为系统的频域表示法。的单位抽样响应输入输出当输入为正弦或复指数序列，输出为同频的复指数序列或正弦序列，其幅度为输入幅度与频率响应幅度相乘，相位为输入相位与频率响应相位相加。四、频率响应的几何确定法利用频率响应与系统函数关系：（z域收敛域一定要包含单位园）其中称为零点向量幅度其中称为极点向量幅度图2-19频率响应的几何解释(a)几何解释；

(b)频率响应的幅频特性曲线例：求因果系统的单位冲激响应，频率响应幅频特性，并判断该滤波器为高通、低通、带通、带阻滤波器该系统稳定，收敛域包含单位园，频率响应根据极点位置确定滤波器性质：0<a<1无限长IIR低通滤波器序列变换缓慢幅值最大幅值最小-1<a<0：a0-11012345幅值最大幅值最小序列变换最快无限长IIR高通滤波器例、设系统的差分方程为求其幅频响应解：零点：M-1个：极点：一个（M-1阶）：z=0该系统收敛域：稳定因果系统例M=8令1>a>0有限长FIR滤波器例：已知有傅里叶变换，用表示下列信号的傅里叶变换。(a)

(b)

(c)解(a)因为(b)(c)例.已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统

(a)求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域；

(b)求此系统的单位抽样响应；

(c)此系统