控制测量学课件第13讲

控制测量学第13讲，授课人：李玉宝

8.4高斯投影坐标正反算公式将椭球面上元素投影到平面，涉及包括坐标、方向、长度三类值的数学归算问题，本小节仅讨论高斯投影中大地坐标和高斯平面坐标的相互换算问题。其中将经度、纬度值（L、B）转换为高斯平面坐标值（x、y）称为高斯投影正算，反之则称为高斯投影反算。8.4.1.高斯投影坐标正算高斯投影正算是满足正形投影条件及下列两个条件的投影方法：（1）中央子午线投影后为直线,这是对称于中央子午线的图形,投影后图形仍对称于X轴的基本条件;（2）中央子午线投影后长度不变。8.4.1.高斯投影坐标正算公式由于地球椭球是一旋转椭球体，椭圆柱体与中央子午线相切，所以椭球面相对于椭圆柱体的空间位置在中央子午线两侧对称，即在椭球体上对称于中央子午线上的两点，投影到高斯平面上后仍然对称于中央子午线的投影。换言之，当B不变时，以－l代替l，x坐标不变，而y坐标绝对值不变而符号相反，即在公式：中，第一式是的偶函数，第二式是的奇函数。由于分带投影，每带内对于中央子午线的经差l是一小量，所以可将公式（8－41）展开为l的幂级数，形式为：8.4.1.高斯投影坐标正算公式式中mi是待定系数，但不是常系数，而是B（q）的函数。将(8-64)式分别对求q、l求偏导，并顾及柯西－黎曼条件（8－51）,就得到（8－65）式。(8-64)(8-65)8.4.1.高斯投影坐标正算公式要使（8－65）式等号两边相等，充分必要条件是l同次幂的系数相等。为此就有：（8－66）由（8－66）式可见，要求出投影具体表达式（8－64）中的系数，关键在于求出，为此就首先要求出m0的表达式。8.4.1.高斯投影坐标正算公式根据中央子午线投影后长度不变的条件知道当l=0时，x=m0=X，即中央子午线上某点的纵坐标就等于从赤道量至该点的子午线弧长。顾及dX=MdB、，于是得；按照（8－66）式逐次进行，求出m2、m3，...等待定系数，再代回（8－64），整理就得到了高斯投影坐标正算公式（8－73）。（8－68）高斯投影正算精密公式：0.001m8.4.1.高斯投影坐标正算公式式中：(8-73)中央子午线中央子午线和赤道交点一般子午线赤道8.4.1.高斯投影坐标正算公式根据公式（8－73）可以得出以下结论：平行圈8.4.2.高斯投影坐标反算公式由高斯平面投影到椭球面，相应的投影方程式为：

与高斯正算一样，除正形投影条件外，对投影函数设置以下两个条件：（1）x轴投影后成为中央子午线，也是投影的对称轴。（2）x轴上的长度投影后保持不变。（8－74）8.4.2.高斯投影坐标反算公式由于采用分带投影，投影区域不大，y值相对于椭球半径而言是一小量，因而可以将大地坐标（q，l）展开成y的幂级数。由于是对称投影，在此幂级数中，q必是y的偶函数；l必是y的奇函数。因此应有下列级数形式：

式中ni是待定系数，和高斯投影正算一样，ni不是常系数,而是x坐标的函数。(8-76)8.4.2.高斯投影坐标反算公式将(8-76)式分别对x和y求偏导数（ni是x的函数），同正算公式一样，根据柯西－黎曼条件，并顾及根据等式两端y同次幂系数相等，求得系数ni的表达式。8.4.2.高斯投影坐标反算公式根据条件：x轴上的长度投影后保持不变，利用特殊点（x,0)得：

（是底点纬度）8.4.2.高斯投影坐标反算公式依次求出系数ni

代入（8－76），并且以X代替x，并加注下标f表示系数是底点纬度的函数，得到高斯投影反算公式：（8－87）8.4.2.高斯投影坐标正反算公式的几何解释1.正算时已知（B，l）求（x，y），由于l不大，求x的公式可表示为：式中X是过点的平行圈在中央子午线上的交点到赤道的弧长。（图8－14）8.4.2.高斯投影坐标正反算公式的几何解释2.反算时已知（x，y）求（B，l），分带投影y不大，所以有：式中Bf

是图（8－15）中p点在x轴上的垂足的纬度值，称为底点纬度。(由图可见，B小于Bf，所以式中取负号，教材图中P点底点纬度Bf没有加下标f)。f8.4.2.高斯投影坐标反算公式的几何解释由此可见，正算公式

可以看作是在中央子午线上点展开为l的幂级数，而反算公式

是在中央子午线上点

展开为y的幂级数。通过对正算公式（8－42）的分析，有下列结论：（1）l为常数时，随着B增加，x加大，y减小；由于cosB是偶函数，所以除中央子午线外，其余子午线投影后，均向中央子午线弯曲，并向两极收敛，同时还以中央子午线和赤道为对称轴。8.4.2.高斯投影坐标反算公式的几何解释（2）B为常数时，随着l的增加，x和y值都增加。所以在椭球面上对称于赤道的纬圈，投影后仍为对称的曲线，并且与子午线投影曲线互相垂直，凹向两极。（3）距中央子午线越远的子午线，投影后弯曲越厉害，长度变形越大。8.5高斯投影坐标的实用公式及算例8.5.1、适于查表的高斯坐标计算实用公式及算例（略）8.5.2、适于电算的高斯坐标计算实用公式及算例1、正算：克氏椭球参数公式是（8－100），国际椭球参数公式是（8－102）。2、反算：克氏椭球参数公式是（8－105），国际椭球参数公式是（8－106）。（8－100）和（8－105）均是代入具体椭球参数的公式。现在计算可以采用不涉及具体椭球参数的正反算公式，如前面介绍过的（8－73）和（8－87），在计算其中的N、η参数时，再代入采用的椭球参数。8.6平面子午线收敛角公式三四等及其以下等级平面控制网不在椭球面上计算,而是将观测值和大地方位角投影到高斯平面上,在高斯平面上完成平差计算.将椭球面上的大地方位角转换为高斯平面上的坐标方位角需要计算子午线收敛角。更常见的做法将椭球面上控制点（B.L)投影到高斯平面上，按平面坐标反算坐标方位角。但是如果遇到起算点是一个已知大地点，一个已知大地方位角，除了要将已知点投影到高斯平面上，还要通过计算子午线收敛角γ和方向改正值δ（后一小节介绍），按下式将大地方位角转换为坐标方位角：8.6平面子午线收敛角公式8.6.1平面子午线收敛角的定义平行圈子午线如图8－17所示，过p点的子午线在高斯平面上的投影与坐标北方向之间的夹角，就是子午线收敛角，通常用γ表示。根据正形投影的特性，也等于平行圈在高斯平面上投影与横轴y的夹角。图8－17p8.6平面子午线收敛角公式8.6.2公式推导平面子午线收敛角是坐标的函数，所以既可由大地坐标（L，B）计算，也可由平面坐标（x，y）计算，下面分别求其计算公式。1.由大地坐标计算的公式：根据（图8－17）及一阶导数的几何意义可以写出：而在平行圈上B＝常数，于是对求全微分有：（8－108）8.6平面子午线收敛角公式根据高斯投影正算公式（8－73）求得和的具体表达式，代回（8－108）后经整理，最终得到根据大地坐标计算子午线收敛角的公式（8－112）。根据公式（8－112），可以得到如下结论：①.γ是l的奇函数，而且l越大，γ越大（因为l越大，大地方位角的基准线－经线投影描写形越弯曲，与中央子午线夹角越大）。②.γ有正负，当点p在中央子午线以东时为正，反之为负。③.当l不变时，γ随纬度增大而增大（因为经线向两极收敛，纬度加大，收敛角加大）。8.6平面子午线收敛角公式2.由平面坐标x，y计算平面子午线收敛角的公式利用高斯投影反算公式（8－87）中以平面坐标表达l的关系式，并导出以底点纬度表达sinB、cosB的函数式，代入大地坐标计算子午线收敛角的公式（8－112），就得到平面坐标x，y计算平面子午线收敛角的公式（8－114）。8.6平面子午线收敛角公式以Bf表示sinB的方法是:将(8-103)式中（Bf-B）的表达式代入只取主项,并顾及

,就得:同理:8.6平面子午线收敛角公式将l和cosB,sinB的表达式代入（8－112）式，就得到以平面坐表示的子午线收敛角计算公式（8－114）。应用公式(8-114)一般是将坐标方位角换算为大地方位角,计算时要根据x坐标计算底点纬度Bf,然后结合椭球参数计算N、M、t、η等参数，才能计算γ。所以若是用于将大地方位角转换为坐标方位角，还是公式（8－108）更方便些。8.6.3实用公式及其算例分电算和查表计算两类，查表计算现在已经很少应用了，电算公式和上一小节介绍的公式，就编程来说也没有什么特别之处。（8－114）8.7方向改化公式大地线投影到平面后是一曲线，为利用平面公式平差计算，要用两点间连线代替曲线，为此引起的方向值变化就称为“方向改化”。8.7.1、方向改化近似公式的推导图8－18如图（8－18），假设地球为一圆球，在球面中央子午线东侧有一大地线A、B，它在高斯平面上的投影是a、b。过点A、B，在球面上分别作两个大圆弧与中央子午线正交于D、E，弧线在投影面上投影分别是ad和be。8.7方向改化公式可以证明，ad、be都是垂直于轴的直线。大圆弧是过球心的平面与球面所截得弧线，垂直于中央子午线的大圆弧，并不是平行圈，大圆弧上点纬度不相等.图8－188.7.1、方向改化近似公式的推导球面四边形A、B、E、D投影到高斯平面后，除描写形ab是曲线外都是直线。高斯投影是等角投影，所以球面上和平面上两个四边形内角和应相等，设方向改正分别为和，则有等式，从中可得：。式中ε是球面角超，计算公式为。8.7.1、方向改化近似公式的推导球面角超是球面多边形内角和大于对应平面直线边多边形内角和的数值，式中p是球面多边形面积。实际上由于ε是一个小量，因此对p的计算精度要求不高，可以用平面投影图形面积代替，因而最后得到方向改化计算公式：（8－139）（8－139）计算精度达0.1秒，可用于三四等三角导线测量改正。计算用到的平面坐标，可采用近似坐标。

8.7方向改化公式方向改化的量级可见92页表8－5。由表可见，两点距离较近或者两点距中央子午线较近时，改化值数值很小。8.7.2方向改化较精密公式的推导精密公式精确到0.01－0.001秒,用于一二等三角、导线测量方向值改化。在工程测量中一般边长较短，或者采用独立中央子午线ym值很小，所以大多数情况向不需要做方向改化，即使要也只需要用近似公式计算即可。

8.8距离改化公式将椭球面上两点间大地线长S改化为高斯平面上投影点间的直线长度D，需要加改正数⊿s，计算⊿s的公式就是距离改化公式。8.7.1.s与D的关系本节讨论S投影后曲线s与直线的关系。根据图8－22，可知两者间微分关系式为：，因此：。式中v是一小角，最大不会超过方向改化δ，将cosv展开为级数，取至2次项代入积分式，并以最大值δ代替v，就得（8－148）式。图8－228.7.1.s与D的关系按最不利的条件δ＝40″，s=50km估算，可以得出结论：D、s之差不会超过1mm，所以大多数情况下，椭球面边长投影到高斯平面上时，可完全不顾及以弦线代替弧线的引起的距离差别。距离改化⊿s事实上就是大地线S投影到高斯平面上变为曲线s的改正量。(8-148)8.8距离改化公式8.8.2、长度比和长度变形高斯投影的长度比一般大于1（中央子午线上等于1），因此（m-1）是等于或大于0的值，称为长度变形。高斯投影属于正形投影，投影比只与位置有关，而与方向无关，所以m应是位置的函数。1、以大地坐标表示长度比m的公式由长度比定义式第2式(8-53),得到:(8-149)8.8.2、长度比和长度变形由高斯投影正算公式(8-73)对l求偏导，代入（8－149）式，并整理就得到大地坐标表示的公式：8.8.2、长度比和长度变形2.以高斯平面坐标表示长度比m的公式仅取高斯投影正算公式（8－73）式中第二式的主项，得到

,代入（8－151），顾及到,就得到以高斯平面坐标表示的投影比公式(8-156)(8-151)8.8距离改化公式几点结论：（1）、长度比是y坐标的函数。（2）、中央子午线、纵坐标轴上长度比为1。（3）、除满足条件（2）的情况外，椭球面上弧长投影到高斯平面上后长度加大。（4）、离中央子午线越长，投影后变长越多。99页表8－7列出了不同的纬度和ym值，长度比的值，从中可以了解长度变形的具体量值。（8－156）8.8距离改化公式8.8.3.距离改化公式由于投影比是坐标的函数，理论上1条边中的各微分弧段的投影比是不同的。但对于距离不长的一条边而言，m在线段上变化很微小。若以D/S代替ds/dS，以端点坐标平均值ym代替y,直接可得到：工程测量距离较短，此公式已有足够的精度。(8-160)8.8.3.距离改化公式若要采用精确到0.001米的公式，则整个大地线弧段S上，投影比m不能视为常数，投影后曲线长度（可视为直线D）：经过变化整理，就达到精确到0.001米的改化公式：（8－164）8.9高斯投影坐标的邻带换算由于为了限制长度及面积变形，高斯投影采用分带投影，较大的投影区域被分割成多个不同原点和坐标轴的坐标系统。当需要同时使用属于不同投影带的已知点坐标时，就需要进行高斯投影的邻带换算，将某一带的坐标改算到另一带，或者将分属两带的已知点坐标同时改算为一个以新中央子午线为纵轴的坐标系统。换代计算是分带投影带来的必然结果.也是测绘生产实践中常遇到的问题,是测绘专业技术人员必须熟练掌握的专业基础.8.9高斯投影坐标的邻带换算8.8.1应用应用高斯正反算投影公式间接进行换代计算这种方法是以大地坐标为过渡坐标，按下列程序进行：这种方法利用电算程序进行，理论严密、方便快捷，并且可以取任意经度值为中央子午线值，是目前普遍采用的方法。在应用高斯反算公式时,要注意y坐标必须是去掉带号和500公里常数的坐标值。有些成果资料可能省略了坐标前几位的大数，工程坐标系统加常数不一定是500公里，或者采用任意中央子午线，如果这些数值都不清楚，会给换带计算带来困难。8.8.2.应用换带表进行换带计算在当前普遍使用计算机程序计算的背景下，已经较少使用.8.10通用横轴墨卡托投影及高斯－克吕格投影簇概念8.10.1、通用横轴墨卡托投影概念这种投影方法与高斯投影类似，差别在于中央子午线上投影比m≠1，而是等于0.9996，,即通用横轴墨卡托投影m0=0.9996X

，正算公式各系数均由此导出，所以对比高斯投影和通用横轴墨卡托投影公式就知道，通用横轴墨卡托投影式(8-200)就是高斯投影式(8-73)等号右边通乘了0.9996而已。由于中央子午线上投影比小于1，而同高斯投影一样，随着离中央子午线距离加大，投影后距离变长，所以中央子午线两侧必各有一条线上长度变形为0，这条线称做割线。作为分界线，两条割线以内变形为负，割线以外变形为正。通用横轴墨卡托投影直角坐标和高斯投影相同,并且和高斯投影坐标有简单的换算关系8.10通用横轴墨卡托投影及高斯－克吕格投影簇概念8.10.2、高斯投影簇的概念将高斯投影中央子午线上的长度比不再设为1,而是表示为纬度B函数m=f(B)，则随着函数值的不同，投影取得多种形式。由于其基本方法与高斯投影类似，所以称之为高斯投影簇。高斯投影簇公式推导与高斯投影公式推导相同，只是长度比在中央子午线上改为，代入的具体表达式，即得到相应的投影公式（正算，反算公式推导类似）。8.10通用横轴墨卡托投影及高斯－克吕格投影簇概念8.10.2、高斯投影簇的概念假如设中央子午线上投影比，其中q,k是常系数，即推导投影公式时,.那么当q=0时，投影就是高斯投影；设q=0.0004，k=0，投影就是通用横轴墨卡托投影。由此可见，取不同的q，k值，可确定不同的投影方案，在高斯投影簇中包含无穷多种投影方法。8.11兰勃脱投影概述兰勃脱投影是正形、正轴、圆锥投影，圆锥轴与旋转轴一致，圆锥面与椭球的一条纬线相切。兰勃脱投影变形与经度无关，而与纬度有关，所以这是一种适合南北狭窄、东西延伸的国家或地区使用的投影方法，是我国解放前采用的投影方法。兰勃脱投影变形随纬差（与相切纬线－标准纬线的纬度差）增大而迅速增加。为控制变形，兰勃脱投影采用按纬度分带。8.12工程测量投影面与投影带选择的概念8.12.1.工程测量中投影面与投影带选择的基本出发点1、归算、投影变形的基本概念投影面与投影带的选择，主要是解决长度变形的问题。而长度变形发生在归算和投影过程中。（1）实测边长归算到椭球面的变形：8.12工程测量投影面与投影带选择的概念设长度归算变形为△s1

，将长度归算公式只取一次项可得：，相对变形。式中R是归算方向法截弧曲率半径，Hm是归算边两端平均大地高。由于Hm值相对于R较小，R可直接取概值6370km。另外从公式中可见归算变形使距离缩短，缩短量与Hm成正比，若不同边间高差相对平均高程较小，则各边归算变形是近似成比例的，这是综合控制归算投影变形的基础。设椭球面边长为S0,则8.12.1.工程测量中投影面与投影带选择的基本出发点（2）将椭球面上边长投影到高斯平面上的变形：设长度变形量为△S2

，则从中可见，除ym=0即中央子午线上外，变形值△S2恒为正，就是长度在投影后变长，并且离子午线越远，变形越大。投影变形与ym的平方成正比，各投影变变形不成比例。但若投影区域很小，东西两端y坐标差相对于投影区域平距y坐标是一个小量的话，投影变形同样是近似成比例的，这也是综合控制归算投影变形的基础。8.12.1.工程测量中投影面与投影带选择的基本出发点2、有关工程测量平面控制网的精度要求的概念工程测量为满足施工测量的精度，要求实地测量的水平边长应与坐标反算的边长尽可能相等。一般的说，归算、投影变形引起的长度变形应小于施工放样容许误差的2分之1，若取长度放样相对误差为1／5000－1／20000，则归算、投影变形引起的相对误差应为1／1000－1／40000，即归算、投影每公里长度改正数不能大于1.0cm-2.5cm。8.12.1.工程测量中投影面与投影带选择的基本出发点3、工程测量投影面和投影带选择的基本出发点：（1）、当归算、投影变形能满足工程测量的精度要求时，工程控制网应采用国家统一的基准面和投影中央子午线。（2）、当采用国家大地网的椭球面和投影带不能满足工程测量精度要求时，可选用独立归算面和任意经线作为中央子午线。主要的做法有以下3种：3、工程测量投影面和投影带选择的基本出发点：（a）、通过改变Hm，即取代替Hm，使式△S1＋△S2≈0。即通过归算变形△S1抵偿投影变形△S2。式