定点与定值问题课件

1.已知λ∈R,则不论λ取何值，曲线C：λx2-x-λy+1=0恒过定点()DA.(0,1)B.(-1,1)C.(1,0)D.(1,1)由λx2-x-λy+1=0,得λ(x2-y)-(x-1)=0.

x2-y=0x=1

x-1=0y=1,可知不论λ取何值,曲线C过定点(1,1).依题设,即2.已知k∈R,直线y=kx+1与椭圆=1恒有公共点,则实数m的取值范围是

.［1,5)∪(5,+∞)由于直线y=kx+1过定点P(0,1)，则当P(0,1)在椭圆上或椭圆内时，直线与椭圆恒有公共点，因此m≥１且m≠5,求得m∈［1,5)∪(5,+∞).3.双曲线x2-y2=4上一点P(x0,y0)在双曲线的一条渐近线上的射影为Q，已知O为坐标原点，则△POQ的面积为定值

.1如图,双曲线x2-y2=4的两条渐近线为y=±x,即x±y=0.又|PQ|=,|PR|=，所以S△POQ=|PQ||PR|==1.4.已知定点A(2,3),F是椭圆=1的右焦点,M为椭圆上任意一点,则|AM|+2|MF|的最小值为

.6由于点A在椭圆内，过M点作椭圆右准线x=8的垂线，垂足为B.由椭圆第二定义，得2|MF|=|MB|，则|AM|+2|MF|＝｜AM｜+|BM|，当A、B、M三点共线且垂直于准线时，|AM|+2|MF|的最小值为6.题型一定点问题例1已知A(1,0),B(-1,0),P是平面上一动点，且满足||·||=·.

(1)求点P的轨迹C的方程；(2)已知点M(m,2)在曲线C上，过点M作直线l1、l2与C交于D、E两点，且l1、l2的斜率k1、k2满足k1k2=2,求证：直线DE过定点，并求此定点.

(1)设P(x,y),则=（1-x,-y),=(-1-x,-y),=(-2,0),=(2,0).因为||·||=·，所以·2=2(x+1),即y2=4x,所以点P的轨迹C的方程为y2=4x.(2)证明:由(1)知M(1,2),设D(,y1),E(,y2),所以k1k2==2,整理得(y1+2)(y2+2)=8.①kDE===k,所以y1+y2=.②由①②知y1y2=4-,所以直线DE的方程为y-y1=(x-),整理得4x-(y1+y2)y+y1y2=0,即4x-y+4-=0,即(x+1)k-(y+2)=0,所以直线DE过定点(-1,-2).题型二定值问题例2如图，F1(-3,0),F2(3,0)是双曲线C的两焦点,其一条渐近线方程为y=x,A1、A2是双曲线C的两个顶点，点P是双曲线C右支上异于A2的一动点，直线A1P,A2P交直线

x=分别于M、N两点.(1)求双曲线C的方程；

(2)求证：是定值.

(1)由已知，c=3,=.又c2=a2+b2，所以a=2,b=5.所求双曲线C的方程为=1.(2)证明：设P的坐标为(x0,y0),M、N的纵坐标分别为y1、y2,因为A1(-2,0),A2(2,0),所以=(x0+2,y0),=(x0-2,y0),=(，y1),=(-,y2).因为与共线，所以(x0+2)y1=y0,y1=.同理y2=-.因为=(,y1),=(-,y2),所以·=-+y1y2=--=--=-10，为定值.题型三范围与最值问题例3设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点.(1)若P是该椭圆上的一个动点,求的最大值与最小值；(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.(1)由方程易知a=2,b=1,c=3，所以F1(-,0),F2(,0).设P(x,y),则=(--x,-y)·(-x,-y)=x2+y2-3=x2+1--3=(3x2-8).因为x∈［-2,2］，所以0≤x2≤４，故的最大值为1，最小值为-2.(2)显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).

y=kx+2+y2=1,消去y,整理得(k2+)x2+4kx+3=0.所以x1+x2=,x1x2=.由Δ=(4k)2-4(k2+)×3=4k2-3>0,解得k>或k<-.①联立方程组又0°<∠AOB<90°,即cos∠AOB>0,得>0,所以=x1x2+y1y2>0.又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=++4=.所以+>0,即k2<4.②结合①、②知,k的取值范围是(-2,-)∪(,2).学例1

(2007·江西卷)设椭圆=1(a>b>0)的离心率为e=，右焦点为F(c,0)，方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1,x2)()必在圆x2+y2=2内B.必在圆x2+y2=2上C.必在圆x2+y2=2外D.以上三种情形都有可能A椭圆的离心率为e=，故a=2c,