大学统计学第7章 参数估计

第7章参数估计第7章参数估计7.1

参数估计的一般问题7.2一个总体参数的区间估计7.3两个总体参数的区间估计7.4样本容量的确定7.1参数估计的一般问题7.1.1估计量与估计值7.1.2点估计与区间估计7.1.3评价估计量的标准估计量：用于估计总体参数的统计量的名称如样本均值，样本比例、样本方差等例如:样本均值就是总体均值的一个估计量参数用表示，估计量用表示估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值x

=80，则80就是的估计值估计量与估计值

(estimator&estimatedvalue)参数估计的方法估计方法点估计区间估计点估计(pointestimate)用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值

无法给出估计值接近总体参数程度的信息虽然在重复抽样条件下，点估计的均值可望等于总体真值，但由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值评价估计量的标准无偏性有效性一致性无偏性(unbiasedness)

无偏性估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数P(

)BA无偏有偏有效性(efficiency)有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效

AB

的抽样分布

的抽样分布P(

)一致性(consistency)一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本容量较大的样本容量P(

)区间估计(intervalestimate)在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减估计误差而得到根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在60～80之间，置信水平是95%

区间估计的基本要素包括：样本点估计值、抽样极限误差、估计的可靠程度样本点估计值抽样极限误差：也称边际误差，可允许的误差范围。抽样估计的可靠程度（置信度、置信水平）区间估计(intervalestimate)参数区间估计的含义：估计总体参数的区间范围，并给出区间估计成立的概率值。其中：1-α(0<α<1)称为置信度；α是区间估计的显著性水平，其取值大小由实际问题确定，经常取1%、5%和10%。注间对上式的理解：例如抽取了1000组样本，根据每一组样本均构造了一个置信区间，，这样，由1000组样本构造的总体参数的1000个置信区间中，有95%的区间包含了总体参数的真值，而5%的置信区间则没有包含。这里，95%这个值被称为置信水平（或置信度）。一般地，将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平。区间估计的图示x95%的样本-1.96x+1.96x99%的样本-2.58x+2.58x90%的样本-1.65x+1.65x区间估计的图示x95%的样本-1.96x+1.96x置信区间与置信水平

均值的抽样分布(1-)区间包含了1–a

a/2a/2比例为1-α的样本均值会落在总体均值μ两侧的范围内。也就是,比例为1-α的样本均值构造的置信区间，会包含总体均值μ。常用置信水平的值置信水平αα/290%0.10.051.6595%0.050.0251.9699%0.010.0052.58影响区间宽度的因素

中，是点估计值，是边际误差1. 总体数据的离散程度，用来测度样本容量置信水平(1-)，影响z的大小7.2一个总体参数的区间估计7.2.1总体均值的区间估计7.2.2总体比例的区间估计7.2.3总体方差的区间估计一个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值比例方差总体均值的区间估计

(正态总体、２已知，或非正态总体、大样本)总体均值的区间估计

(大样本)1. 假定条件总体服从正态分布,且方差(２)

已知总体服从正态分布,且方差(２)

未知，大样本如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n

30)使用正态分布统计量z总体均值在1-置信水平下的置信区间为总体均值的区间估计

(正态总体、２未知、小样本)总体均值的区间估计(小样本)1. 假定条件总体服从正态分布,但方差(２)

未知小样本(n<30)使用t

分布统计量总体均值在1-置信水平下的置信区间为小结总体正态？n≥30？σ2已知？否是是否否是根据中心极限定理得到的近似结果。

σ未知时用s来估计。增大n？数学变换?总体比例的区间估计总体比例的区间估计1.

假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似使用正态分布统计量z3.总体比例在1-置信水平下的置信区间为总体方差的区间估计总体方差的区间估计

(图示)221-2总体方差1-的置信区间自由度为n-1的2总体方差的区间估计1. 估计一个总体的方差或标准差2. 假设总体服从正态分布3.总体方差2

的点估计量为s2,且4.

总体方差在1-置信水平下的置信区间为总体均值的区间估计

(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量（单位：g）如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3总体均值的区间估计

(例题分析)解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得：。由于是正态总体，且方差已知。总体均值在1-置信水平下的置信区间为在95%的置信度下，该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g总体均值的区间估计

(例题分析)【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(单位：周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间36个投保人年龄的数据233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532总体均值的区间估计

(例题分析)解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根据样本数据计算得：，

总体均值在1-置信水平下的置信区间为在90%的置信度下，投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁总体均值的区间估计

(例题分析)【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(单位：h)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间16只灯泡使用寿命的数据1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470总体均值的区间估计

(例题分析)解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131

根据样本数据计算得：，

总体均值在1-置信水平下的置信区间为该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8h～1503.2h总体比例的置信区间：例子解：显然有因此可以用正态分布进行估计。Ｚ/2=1.645结论：我们有90％的把握认为悉尼青少年中每天都抽烟的青少年比例在19.55%~23.85%之间。1986年对悉尼995名青少年的随机调查发现，有216人每天都抽烟。试估计悉尼青少年中每天都抽烟的青少年比例的90%的置信区间。

p(1-p)总体方差的区间估计

(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间25袋食品的重量单位：g112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3总体方差的区间估计

(例题分析)解:已知n＝25，1-＝95%,根据样本数据计算得

s2=93.21

2置信度为95%的置信区间为该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区间为7.54g~13.43g一个总体参数的区间估计

(小结)待估参数均值比例方差大样本小样本大样本2分布2已知2已知Z分布2未知Z分布Z分布Z分布2未知t分布7.3两个总体参数的区间估计7.3.1两个总体均值之差的区间估计7.3.2两个总体比例之差的区间估计7.3.3两个总体方差比的区间估计两个总体均值之差的区间估计

(独立大样本)两个总体均值之差的估计

(大样本)1. 假定条件两个总体都服从正态分布，1２，

2２已知若不是正态分布,可以用正态分布来近似(n130和n230)两个样本是独立的随机样本使用正态分布统计量z两个总体均值之差的估计

(大样本)1. 1２，2２已知时，两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为1２，2２未知时，两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为两个总体均值之差的区间估计

(独立小样本，总体方差未知)两个总体均值之差的估计

(小样本:

12=22

)1. 假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知但相等：1２=2２两个独立的小样本(n1<30和n2<30)总体方差的合并估计量2.估计量x1-x2的抽样标准差两个总体均值之差的估计

(小样本:12=22

)两个样本均值之差的标准化两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为两个总体均值之差的估计

(小样本:1222

)1. 假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知且不相等：1２2２两个独立的小样本(n1<30和n2<30)使用统计量两个总体均值之差的估计

(小样本:1222

)两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为自由度两个总体均值之差的区间估计

(匹配样本)两个总体均值之差的估计

(例题分析)【例】为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各随机安排12名工人，每个工人组装一件产品所需的时间(单位：min)如下表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差相等。试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间两个方法组装产品所需的时间方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.521两个总体均值之差的估计

(匹配小样本)假定条件两个匹配的小样本(n1<30和n2<30)两个总体各观察值的配对差服从正态分布

两个总体均值之差d=1-2在1-置信水平下的置信区间为两个总体比例之差区间的估计1. 假定条件两个总体服从二项分布可以用正态分布来近似两个样本是独立的2. 两个总体比例之差1-2在1-置信水平下的置信区间为两个总体比例之差的区间估计两个总体比例之差的估计

(例题分析)【例】在某个电视节目的收视率调查中，农村随机调查了400人，有32%的人收看了该节目；城市随机调查了500人，有45%的人收看了该节目。试以95%的置信水平估计城市与农村收视率差别的置信区间12两个总体比例之差的估计

(例题分析)解:

已知

n1=500，n2=400，p1=45%，p2=32%，

1-=95%，z/2=1.96

1-2置信度为95%的置信区间为城市与农村收视率差值的置信区间为6.68%~19.32%两个总体方差比的区间估计两个总体方差比的区间估计

(图示)FF1-F总体方差比1-的置信区间方差比置信区间示意图两个总体方差比的区间估计1. 比较两个总体的方差比用两个样本的方差比来判断如果S12/S22接近于1,说明两个总体方差很接近如果S12/S22远离1,说明两个总体方差之间存在差异总体方差比在1-置信水平下的置信区间为两个总体方差比的区间估计

(例题分析)【例】为了研究男女学生在生活费支出(单位：元)上的差异，在某大学各随机抽取25名男学生和25名女学生，得到下面的结果

男学生：女学生：

试以90%置信水平估计男女学生生活费支出方差比的置信区间两个总体方差比的区间估计

(例题分析)解:根据自由度

n1=25-1=24，n2