定值问题 赵鹏翔

√√×∠∆°∽⊥⊙1234≠≤≥①②③④⑤∴∵⊕≌xyO□abcy=ax²+bx+c÷S△AOD：S△COB=1：9•∽→↑←↔↕↖↗↘↙定值问题什么是定值问题？

在几何问题中，当一些几何元素按照一定的规律在确定的范围内变化时,与它相关另一些几何元素的某些量或其数量关系保持不变，这种几何问题称之为几何定值问题.

定值问题大致分为俩类：一类是定量问题（如定长度、定角、定比······）;一类是定形问题（如定点、定线、定方向······）解决这类问题要通过题目中的元素动静结合，特殊与一般结合，数形结合去分析，把定值找出来，在进行论证。

1、定量问题：关键在于探求定值，一旦定值被找出，转化为熟悉的几何证明题。

2、定形问题：定形问题指点、直线、定方向等问题。在直角坐标系平面上，定点有对应的坐标。定值问题点为定点线段长度或积为定值角度为定值面积为定值

例1已知（m+1）x-（m-1）y-2m=0为直线L的方程，求证：不论m取任何实数，直线L必过定点，求这个定点的坐标。

证明：由直线的方程得mx-my-2m+x+y=0，即m（x-y-2）+x+y=0，当x-y-2=0且x+y=0时，不论m取任何实数方程恒成立，故直线L必过定点。解方程组x-y-2=0x+y=0得x=1y=-1

即定点坐标为（1，-1）例2，AB为定直线上两定点，动点C在AB的一侧，连AC、BC并以这两条线段为边作正方形，DG和EF垂直AB的延长线，试证无论C如何变化两个正方形中，与C点相对的点的连线到定直线的距离和为定值，且其中点也为定点。MNH例2，AB为定直线上两定点，动点C在AB的一侧，连AC、BC并以这两条线段为边作正方形，DG和EF垂直AB的延长线，试证无论C如何变化两个正方形中，与C点相对的点的连线到定直线的距离和为定值，且其中点也为定点。证:过C点向AB作垂线,垂足为m△CMA≌△DGA△CMB≌△BEFDG+EF=AB找AB的中点N，作直线NH垂直于AB，HN=（DG+EF）例5

如图8,已知△ABC中，AC=BC，∠CAB=α（定值），⊙O的圆心O在AB上,并分别与AC、BC相切于点P、Q、M

.(1)求∠POQ的大小(用α表示);(2)设D是CA延长线上的一个动点,DE与圆O相切于点M,点E在CB的延长线上,求证:∠DOE的度数为定值.

分析：要求证∠DOE的度数为定值，只须证明∠ODE与∠OED和为定值,而OD、OE分别为∠CDE与∠CED的平分线,故只须证∠CDE与∠CED和为定值,由三角形的内角和定理易证.解:(1)易得∠POQ=2α.(2)连结OM.由切线长定理,EM=EQ.又∵OM=OQ,OE=OE,∴△OEM≌△OEQ,∴∠MOE=∠QOE.同理,∠MOD=∠POD.∴∠DOE=(∠POM+∠QOM)=(360°

-∠POQ)=180°

-α.∵α为定值,∴∠DOE的大小为定值.定值为180°

-α.例6如图，已知∠POQ=90°，点A、B分别在射线OP,OQ上移动，∠OAB的角平分线与OBA的外角平分线相交于点C,求证：∠ACB的大小是定值。证明：由于∠ACB是ABC的一个内角，所以可利用三角形的内角和定理以及内外角平分线的定义直接计算∠ACB的大小∵∠ACB=180°－(∠BAC＋∠ABC)＝180°－(∠OAB+∠ABO+∠CBO)＝180°－[(∠OAB+∠ABO+(180°－∠OBA)]=180°－[∠OAB+∠ABO+90°－∠OBA]=180°－(45°+90°)=45°例3如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.

（1）求证:线段GH长度为定值

分析:解决此题时,首先要根据线段GH的特征,添出辅助线,找出与其有关的长度为定值的线段间的联系,从而获得问题的解决.解:(1)延长HG交OP于点E.∵G是△OPH的重心,∴GH=2HE=2.∴GH的长度为定值,其定值为2.圆幂定义过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA×PB=PC×PD割线定理从圆外一点L引两条割线与圆分别交于A.B.C.D则有LA·LB=LC·LD=LT^2。如下图所示。(LT为切线）例4如图6，已知：在直角坐标系中，点E从O点出发，以1个单位每/秒的速度x轴正方向运动，点F从O点出发，以2个单位/秒的速度沿y轴正方向运动.B(4,2),以BE为直径作⊙O1.

若点E提前2秒出发,点F再出发.当点F出发后,E点在A点左侧时,设BA⊥x轴于A点,连接AF交⊙O1于点P,求证:AP•AF为定值.分析:要求证AP•AF为定值,在拥有圆与割线的背景下,应优先考虑圆幂定理,但于本道题无济于事.于是想到构造相似三角形来求解.由于要求的是AP与AF的积,故AB与AF不能是所构造的相似的对应边.而AP与AE是△PAE的两条边,故作∠HFA=∠PEA交x轴于H.易证△HFA∽△PEA,△FHO∽△EBA,从而使问题获证.H证明：连结PE,作∠HFA=∠PEA交x轴于H,∵∠FAH=∠EAP,∴△HFA∽△PEA,∴∠FHO=∠EPA.∵P、E、A、B四点共圆，∴∠EPA=∠B，∴∠FHO=∠B，∵BE为直径,∴∠BAE=900=∠FOH，∴△HFO∽△BEA.∴设OE=2+t,则OF=2t,∵OA=4，∴AE=4-（2+t）=2-t,∴OH×(2-t)=2t×2,∴OH=,∴AH=OH+OA=4+

∵

△HFA∽△PEA

∴AP•AF=AE•AH=(2-t)×=8.∴AP•AF为定值,定值为8.

例7

如图9，正方形ABCD的对角线相交于点O，O是正方形A‘B’C‘O的一个顶点,如果两个正方形的边长为a,求证：正方形A’B’C’O绕点O无论怎样转动，俩个正方形重叠部分的面积总为定值。分析:由于重叠部分图形形状的不确定性,要求证这重叠部分面积为定值,关键是探明这个定值为何值,这可用特殊位置法获得.如图,把正方形旋转到特殊位置图10,易得其面积的定值为,然后,设法证明两种情形下的面积相等.证明:如图9，在正方形ABCD与正方形A'B'C'O中,∵OB=OC,∠EBO=∠FCO=45°,,∠EOF=∠BOC=90°,∴∠EOB=∠FOC,∴△OBE≌△OCF,∴S△OBE=S△OCF,∴S四边形OEBF=S△OBC,∵S△OBC=∴S四边形OEBF=所以不论正方形A‘B’C‘O绕点O怎样转动两个正方形重叠部分的面积总是一个定值.定值为

..例8俩圆⊙O1、⊙O2内切于半径分别为R、r(R>r),任作一直线垂直于连心线所在的直线，并使其在连心线一侧，分别交⊙O1、⊙O2于B、C,求证：△ABC的外接圆的面积为定值。依题意作图，如图，因⊙O1、⊙O2内切于A，故连心线O1O2必过A点，设O1O2分别与⊙O1、⊙O2交于E、F，与BC交于D，连接BE、CF、AC,设△ABC的外接圆半径为，由正弦定理，有又在Rt