大学物理 126 一维势场中的粒子

12.6一维势场中的粒子

12.6.1无限深方势阱中的粒子

12.6.2简谐振子

12.6.3隧道效应设一个质量为m的粒子在一维势场U(x)中运动，能量本征方程1给定势能函数U(x)，求粒子的能量E和相应的本征波函数Φ

(x)；求解两类问题：设粒子以能量E射向势垒U(x)，计算粒子穿透势垒的概率。本征值问题：散射问题：2

一维无限深方势阱U=0EU→∞U→∞U(x)x0，为什么？a金属U(x)U=U0U=U0EU=0x0a12.6.1无限深方势阱中的粒子粒子不可能静止31.分区求通解（1）阱外（x≤0或x≥a）通解：波函数有限要求以为例阱外波函数为零，粒子只能在阱内运动。4（2）阱内（0＜x＜a）设通解：已满足单值、有限条件。2.用波函数的连续条件确定特解D=05粒子的能量本征值，或能级：无限深方势阱中粒子的能量是量子化的能量本征波函数：6712.6.2简谐振子一维简谐振子的势能函数：能量本征方程：变系数二阶常微分方程，采用级数解法。能量本征值：零点能：h/2;能量子：h8可以证明，在光照下带电简谐振子的跃迁只能发生在相邻能级之间，即一次跃迁只能发射或吸收一个能量子。简谐振子是一个十分有用的振动模型，可用于原子核中质子和中子的振动、分子中原子的振动、固体晶格点阵上原子的振动。固体晶格点阵上原子振动的能量就可以用能量子来描述，这时的能量子称为声子。空腔内壁的分子可以看成带电简谐振子，在一定温度下这些简谐振子所发射的各种频率的能量子，在空腔内就形成了辐射场。9能量最低的三个本征波函数：1011【例】设系统的初始状态为其中0和2分别是频率为

的n=1和2的简谐振子能量本征态。（2）求t

时刻系统的状态(x,t)。（1）(x,0)是定态吗？在(x,0)上测量系统的能量，能测到哪些值？测到这些值的概率是多大？测量值的平均值是多少？（只要求了解）12在状态(x,0)上测量能量，能测到的值为测到E0的概率：1/3；测到E2的概率：2/3；它们分别等于展开式中相应展开系数的模方。测量值的平均值：（1）不是定态。解13（2）求（正交归一化）1412.6.3隧道效应一维方势垒的势能函数质量为m的粒子以能量E沿x轴射向势垒。只讨论E＜U0情况，设势垒无吸收，E

不变。波动性粒子有一定概率穿透势垒：隧道效应

15定理：对于势场连续点，或势场不是无限大的间断点，波函数的一阶导数连续。xx0U(x)波函数连续（概率连续）：波函数一阶导数连续：16xx0U(x)证明：有限17给定E和U(x)，求解薛定谔方程得到波函数3，由3计算粒子出现在3区的概率。设特解：18

穿透系数：粒子穿透势垒的概率，等于透射波的概率密度除以入射波的概率密度波函数和波函数一阶导数的连续条件：把特解代入，得关于R、A、B、S的四个代数方程。解出S，可近似地求出穿透系数：19量子隧道效应的应用：隧道二极管，金属场致发射，核的衰变，…（1）原子核的衰变UTh+He2382344通过隧道效应射出对不同的核，算出的衰变概率和实验一致。rRU35MeV4.25MeV0核力势能库仑势能20（2）扫描隧道显微镜（STM）（ScanningTunnelingMicroscopy）

STM是一项技术上的重大发明，原理：利用量子隧道效应1986年诺贝尔物理学奖：鲁斯卡（E.Ruska）1932年发明电子显微镜毕宁（G.Binning）罗尔（Rohrer）发明STM表面的微观结构（不接触、不破坏样品）。用于观察21U0U0U0A

—常量

—样品表面平均势垒高度（~eV）

d~1nm（10A）。d变

i变，反映表面情况。ABdE隧道电流iABUd探针样品电子云重叠22隧道电流反馈传感器参考信号显示器压电控制加电压

扫描隧道显微镜示意图23用STM得到的神经细胞像硅表面STM扫描图像24

1991年恩格勒等用STM在镍单晶表面逐个移动氙原子，拼成了字母IBM，每个字母长5nm。移动分子实验的成功，表明人们朝着用单一原子和小分子构成新分子的目