大学物理课件13

第三节ss6-12静电场中的电介质dielectricinelectrostaticfield电介质即使在外电场作用电介质中的电子受所属原子的原子核很强的束缚，无自由电荷的宏观运动。沿电场方向相对于原子核作一微观位移，下也只能无外场作用条件下，从分子的线度看电介质的电结构，可将电介质分成两类无极分子电介质有极分子电介质分子的正、负电荷中心重合分子的正、负电荷中心不重合++如氢、聚丙乙烯、石蜡如水、环氧树脂、陶瓷电介质（电绝缘体）一、电介质的极化位移极化无外电场时，无极分子介质宏观上不呈电性+无极分子设电介质各向同性且均匀无极分子电介质的极化1.E介质中各无极分子的正、负电荷中心发生相对位移，导致介质与外场垂直的两端面出现正、负束缚电荷，称为电介质的位移极化。位移极化外场使正、负电荷中心发生E等效于一个电偶极子相对位移，Eqqlp电矩qll

无极分子电中性同样：E外强，p大端面上束缚电荷越多，电极化程度越高。位移极化+—+—+—+—dSl外场均匀，介质内部外场非均匀，介质内部转向极化外场对有极分子的电矩产生E力矩，使有极分子转向。E+qql电矩qlqqEFqEF转向力矩MlFEMppE介质中各有极分子受转动力矩作用，其电矩端面出现正、负束缚电荷，称为电介质的转向极化。趋向方向，导致介质与外场垂直的两E转向极化位移极化Mp有极分子电介质的极化2.有极分子等效于qq电矩ql+一个电偶极子p使得无极分子介质宏观上不呈电性无外电场时，分子热运动l取向极化可见：E外强，端面上束缚电荷越多，电极化程度越高。+—+—+—+—dSl

有极分子外场均匀，介质内部外场非均匀，介质内部电介质的电极化与导体静电感应本质的区别：电介质：导体：1º两种介质:取向极化→有极分子，位移极化→无极分子。2º对均匀电介质体内无净电荷，束缚电荷只出现在表面上。3º束缚电荷与自由电荷在激发电场方面，具有同等的地位。一般地，E外不同，则介质的极化程度不同。说明介质中的场强二、电介质对电场的影响电介质OE外部的电场强度E介质极化引起的附加场强合场强EOEE介质内的合场强弱，但不为零。E比OE与导体静电平衡时导体内0E内截然不同!两极板间充满各向同性的均匀电介质E0E束缚面电荷密度自由面电荷密度sss0s0自由面电荷导体中的束缚面电荷介质中的合场强的大小EOEEOEe0sE合场强OEE实验现象+++++++验电计充入绝缘液体（电介质）三、电介质的相对介电常数（相对电容率）观察电介质对电场影响的实验0电介质并不导电金属板上自由电荷量不变为什么验电计指针夹角变小？将空气电容器充电后，撤去电源，接上验电计。解释三、电介质的相对介电常数观察电介质对电场影响的实验+++++++++++++++0Q+QSd0U0E0UE++两极板间视为真空时两极板间充满各向同性均匀电介质后U0E0d=U=Ed充满电介质后极化面电荷产生的反向电场，使合场EE0故UU0定义比值U0U=E0Eer为电介质的相对介电常数=用实验的方法可测得各种电介质的相对介电常数。相对电容率若干常用电介质的相对介电常数（相对电容率）电介质真空空气煤油11.0005852~44~11578110610~1034erer玻璃纯水甘油钛酸钡二氧化钡电介质由定义U0U=E0Eer=可以证明当它充满各向同性均匀电介质后，该介质电容器的电容为若真空电容器的电容为C0=QU0C0=QU0U=Qer=erU0QC=er其电容值增大了，是真空时电容值的倍。erE这种现象被称为电极化外场使正、负电荷中心发生E相对位移，等效一个电偶极子或使有极分子的电偶极子转向为了描述电极化的强弱程度，引入一个新的物理量------电极化矢量。(1)的定义：单位体积内所有分子的电偶极矩矢量和单位：C/m2显然：E外=0E外≠0(2)四、电极化矢量对各项同性的电介质有：实验结论：—电极化率即：(3)电极穿—电介质的击穿当E很强时，分子中正负电荷被拉开自由电荷绝缘体导体电介质击穿电介质所能承受不被击穿的最大电场强度击穿场强例：尖端放电，空气电极穿E=3kv/mm理论推导：1）若介质均匀极化，则介质内各点的都相同。若电介质不均匀，不仅电介质表面有极化电荷，内部也产生极化电荷体密度。2）均匀的电介质被均匀的极化时，只在电介质表面产生极化电荷，内部任一点附近的V

中呈电中性。（不是各点的,而是各点的相等。）3）引入线，起于束缚负电荷，止于束缚正电荷。4）还与极化电荷的面密度有关。即：电介质极化时，产生的极化电荷面密度等于电极化强度沿表面的外法线方向的分量。说明:有介质高斯定理五、有电介质时的高斯定理电位移矢量真空中的高斯定理E1qiSdsse0内s有电介质时E1dsse0qiS内s(+S内sqi(高斯面内的自由电荷(真空中不存在束缚电荷)高斯面内的自由电荷高斯面内的束缚电荷因此，不能直接用上式求解电介质中的合场强。E需要推导出一个不以为显函数的表达式。qi与合场强之间还存在一定的内在相互关系。Eqi在一般情况下，只知分布，不知分布，qiqi而且，推导电介质E0EE合场强OEEss0ss0S仍以平行板电容器为例E1dsse0qiS内s(+S内sqi(取图中小圆柱封闭面为高斯面，有Edss(ss01e0S(又因EE0E及EE0ers0e0e0ss0e0er于是得(ss01e0S(s0e0erSeqiS则EdsseqiS此式即为不以为显函数的表达式，qi束缚电荷对合场强的影响，用电介质的绝对电容率来反映。e结论EdsseqiS进一步还可将改写成EdsseqiSs内并定义DEeere0E电位移矢量得到有电介质时的高斯定理的表达式dssqiSs内DD只是一个辅助量，应用该定理时，设计好高斯面，先算出，D然后用DEeere0D计算E等于的自由电荷的代数和电位移通量sD穿过任一高斯面的该高斯面所包围应用应用有电介质时的高斯定理dssqiSs内D和DEeere0E可以很方便地计算电介质无限均匀，或分层均匀，并且电场线处处与界面垂直的某些特殊对称的电场分布问题。

1º

2º

与等价!3º

以上讨论对任何形状的电介质都成立。(2)介质中的环路定理束缚电荷q束产生的电场与自由电荷q自产生的电场相同保守力场说明：(1)介质中高斯定理1º有介质存在时，三个物理量之间的关系：2º四个常数之间的关系:3º解题一般步骤：由q自介质介电常数:相对介电常数:

物理量之间的关系rrrPEDoe+=一个带正电的金属球，半径为R电量为q，浸在一个大油箱中，油的相对介电常数为r。求E、U(r)、P。分析：电荷q及电介质呈球对称分布则E、D也为球对称分布解：取半径为r的高斯同心球面r<R则有：r<Rr<R0例1ºr不同，各点极化程度不同r<RrRURo2º球面处的介质油面上出现了束缚面电荷q’球外的介质油内也出现了束缚体电荷q’(r)---------------3º空间某点处的E仅与该点的电介质有关，而该处的U与积分路径上所有电介质有关。结论：介质电容器C=0Cer的结论对我们已介绍过的几种典型的电容器都适用。充满均匀电介质CL2pe0BRAR()lnC4ARBRARBRe0Cesd0ererper平行板电容器球形电容器圆柱形电容器真空电容器CLBRAR()2pe0lnC4pARBRARBRe0Cesd0000e0er电介质的相对电容率与真空的绝对电容率的乘积称为eere0电介质的绝对电容率两共轴的导体圆筒内外半径分别为R1、R2(R22R1)

其间有两层均匀介质，分界面上半径为r，内外层介质的介电常数分别为1、2(1=22)，

两介质的介电强度都是EM，当电压升高时，那层介质先击穿？解：设内外圆筒电荷线密度为、–当电压升高时，外层介质先达到EM被击穿!例EdsseqiS由击穿时，介质分界处的电场：最大电荷线密度：两筒最大电位差：讨论例dssqiSs内D的应用DEeere0E，例已知导体板带电QS导体板面积tdre1re2QQ++++++++++求该电容器的电容解法提要SSCQU12U关键是要计算两极板间的电势差U12U如图作圆柱形高斯面，用有介质时的高斯定理，分别求出两介质层中的场强。上层D1SsSD1sQS得1ED1e1D1re10eQSre10e下层D2SsSDsQS得22reDeD0eE2222QS0e2reU12U1Et+E2((dtQSre10et+QS0e2re((dtCQU12Ure1S0e2re2ret+re1((dt例aCe0S((d-tCbqUA-UBUA-UB0E((d-t+Et其中即0Ese0e0qS,EDee00EEe00EeqSe得((d-tCbqe0qS+qSetSe0ee((d-t+e0tt+((d-terSe0ere金属tdSSr例金属板介质板e若分别平行插入厚度为的t平行板电容器Sd0Ce0b((a((求电容aCCb,r0E0EEAB例CbSe0ee((d-t+e0t一平行板电容器，两极板间距为b、面积为S，在其间平行地插入一厚度为t，相对介电常数为r，面积为S/2

的均匀介质板。设极板带电Q，忽略边缘效应。

求(1)该电容器的电容C，(2)两极板间的电位差U。b解：（1）等效两电容的并联左半部：右半部：电容并联相加：（2）问：Q左=Q右？例平板电容器极板面积为S间距为d,接在电池上维持V。

均匀介质r

厚度d，插入电容器一半忽略边缘效应求(1)1、2两区域的和。(2)介质内的极化强度，表面的极化电荷密度。(3)1、2两区域极板上自由电荷面密度，。12S解：（1）例(2)介质内的极化强度，表面的极化电荷密度'(3)1、2两区域极板上自由电荷面密度1、212S

一电容器两极板都是边长为a的正方形金属平板，但两板不严格平行有一夹角。证明：当时，该电容器的电容为：忽略边缘效应证明：整体不是平行板电容器但在小块面积

adx

上，可认为是平行板电容器,其电容为：证毕b+xsin例例.介质中半径都是a的两根平行长直导线相距为d(d>>a),求单位长度的电容。解：设导线表面单位长度带电+,–单位长度的电容：d两线间任意P点的场强：x.Pox第四节静电场的能量energyofelectrostaticfieldss6-13电容器充电储能过程一、电容器的储能K...CR电容器带电时具有能量，实验如下：将K倒向a端电容充电再将K到向b端灯泡发出一次强的闪光!能量从哪里来？电容器释放。当电容器带有电量Q、相应的电压为U时，所具有的能量W=？利用放电时电场力作功来计算：放电到某t时刻，极板还剩电荷q，极板的电位差：将(–dq)的正电荷从正极板负极板，电场力作功为：即电容器带有电量Q时具有的能量：可见：

C也标志电容器储能的本领。K...CR续上QQABUVsd电场分布体积忽略边沿效应21ree0E2电场中存在于e0erED21DE21D2e0erds极板面积Ere有电场的地方必有电场能量。非匀强电场中某点的电场能量密度，用该点的和代入上式计算。EreAB电容器充电后储存的能量We2Q2C2C2QC2QABABUUU0CreCree0()sdEdABU可用场量表达We21(ree0E2)sd21(ree0E2)VWe电场能量电场能量密度wWeeV电场能量reEVdV若在各向同性均匀电介质中非匀强电场的空间变化规律已知reE电场能量密度we21ree0E2则的空间分布为dV某点处的体积元含电场能量为WedwedVV体积内含电场能量为VWedwedVWeVdV21ree0E2二、静电场的能量简要归纳电路量表达式21We2CUAB电场量表达式WedVweV电场能量简要归纳We电容器的电容普遍定义：CQABU能量密度E2we21er0e例ABRCR++++R++++++++++++++++++++++++R++++++++AB先后与和接触C,然后各自孤立放置.同半径导体球。+q带电A，R++++求的电场能量BA的电量最后A最后带电为4qB带电为2q电场能量We2Q2C孤立导体球的电容C4pe0R的电场能量BWe((2q22(4pe0R(32peRq02例R++++++odrQ+例例求在空气中半径为R带电量为+QQ+的孤立导体球的电场能量场强分布EI0EIIQ4pre02解法提要WedVweV电场能量21eVE2dVe0r因球对称性可取dV4pr2dr则WeR821e0EII24pr2drR821e024pr2dr(Q4pre02(Q8pe0R8r21dr2Q8pe0R2另法:孤立导体球的电容CQ4pe0RU其电势CQ(4pe0R(We212CU214pe0RQ2(4pe0R(2Q8pe0R2We21UQ4pe0RQ8pe0R2或QQ21((结果一致III1er思考：如果导体球外充满相对电容率为的电介质，结果如何？rerdrVV求一圆柱形电容器的储能W=？解：设电容器极板半径分别为R1、R2

带电线密度分别为

、–，则两极板间的电场为：E

–h求C的另一方法：例圆柱形真空电容器的电容AUBULlnBRAR()CQLBRAR()2pe02pe0ln备选题集备选题集例++++++++++++++++++++++++++++++++qqqQ+Erq2e0p4AABBqq+,示意感应电荷例已知求金属球带电qA同心金属球壳带电QBABO1R1R2R2R3R3RB的内外表面电量AB间的电势差A与接触静电平衡后又如何B1R1R2R2RrdABUrq2e0p4EABld()qe0p41R1R2R2R11AB接触静电平衡后成等势体ABU0只在外表面有电荷，电量仍为BqQ+解法提要例为保持不变qqq真空qq将它充满某种电介质后实验电容器两极板间所加的电压分别为OU和且er1er比值与电介质性质有关，称为相对电容率或相对介电常数由电容器电容qCqererqerOC的普遍定义得C（充满均匀介质）er是OC（真空）时的倍。er具有普遍性。结论：电介质对电容器电容的影响UOUUOUUUOUOU例CqUA-UBSer1er2d1d2ABE1E2例平行填满厚度相对电容率平行板电容器内求此电容器的电容d1、d2er1、er2的电介质，UA-UB+E1E2d1d2qSDe00Ese0e0De1E1e0er1E1,qSE1e0er1qSDeE22e0er2E2,qSE2S2e0erqCqe0er1qSd1+Se02erqd2d1+d2Se02erer12erer1例OU求空隙中0E,D0介质中ED,两极板间U例已知真空时充电电压OUberer插入介质板后切断电源d极板面积sssssD0D0s高斯面ssssDs高斯面解法提要极板带自由电荷电量00qCU0s()e0dU0自由电荷面密度Os0qse0U0desSq0iDfdsDEDee0er空隙中sD0OssD0Ose0U0d0Ee0erD0eD0er空隙1U0derU0E()dbEbU0d()dberU0dbU0d(1b11(介质中sDOssDOse0U0dEe0erDeDerU0der介质1例例平行板电容器dSert1t3tssss0yAB12的平行介质层.其间有一厚为t相对电容率为erd极板距极板面积S电荷面密度s求说明此电容器分布,绘((1yE~图线,Eer的电容器容易击穿.比充满介质设((2求BU0分布,绘Uy~图线,U((3求此电容器电容C1;无介质时电容C0;充满介质时的电容C2,加以比较.解法提要((1应用有介质时的高斯定理得e0ersEDSsS,Ee0ersEee0erEDsse01er~~0E空气层中介质层中1er0EO0EEEy21BA表明空气层比介质层容易超过击穿电场.0EE例如,空气击穿电场为3kV/mmer2.3的聚乙稀的击穿电场为50kV/mm空气层首先被击穿.若将该电容器全部充满电介质,则不易击穿.SS续上解法提要((1应用有介质时的高斯定理得e0ersEDSsS,Ee0ersEee0erEDsse01er~~0E空气层中介质层中1er0EO0EEEy21BA表明空气层比介质层容易超过击穿电场.0EE例如,空气击穿电场为3kV/mmer2.3的聚乙稀的击穿电场为50kV/mm空气层首先被击穿.若将该电容器全部充满电介质,则不易击穿.例平行板电容器dSert1t3tssss0yAB12的平行介质层.其间有一厚为t相对电容率为erd极板距极板面积S电荷面密度s求说明此电容器分布,绘((1yE~图线,Eer的电容器容易击穿.比充满介质设((2求BU0分布,绘Uy~图线,U((3求此电容器电容C1;无介质时电容C0;充满介质时的电容C2,加以比较.P2P3P1E0E0EUBEdlP2P2Edyyt1(e0ersyse0e0ers(t1U1((2UP1BEdlP10E0dyy0E0dyyse0yUBEdlEdyyP3P3t1tU2se01se0(er(t1yyU021BAU1U2UA处yt1U1se0t1:处yU2t1te0ers(se0e0ers(t1((t1tse0(er(t1t:yd处UAse01se0(er(t1d:续上解法提要((1应用有介质时的高斯定理得e0ersEDSsS,Ee0ersEee0erEDsse01er~~0E空气层中介质层中1er0EO0EEEy21BA表明空气层比介质层容易超过击穿电场.0EE例如,空气击穿电场为3kV/mmer2.3的聚乙稀的击穿电场为50kV/mm空气层首先被击穿.若将该电容器全部充满电介质,则不易击穿.例平行板电容器dSert1t3tssss0yAB12的平行介质层.其间有一厚为t相对电容率为erd极板距极板面积S电荷面密度s求说明此电容器分布,绘((1yE~图线,Eer的电容器容易击穿.比充满介质设((2求BU0分布,绘Uy~图线,U((3求此电容器电容C1;无介质时电容C0;充满介质时的电容C2,加以比较.P2P3P1E0E0EUBEdlP2P2Edyyt1(e0ersyse0e0ers(t1U1((2UP1BEdlP10E0dyy0E0dyyse0yUBEdlEdyyP3P3t1tU2se01se0(er(t1yyU021BAU1U2UA处yt1U1se0t1:处yU2t1te0ers(se0e0ers(t1((t1tse0(er(t1t:yd处UAse01se0(er(t1d:C0e0dS若电容充满空气er1t0,qAUBUse01se0(er(t1dSsC1e0erSt(er(der1若电容充满介质,tder1e0dSerC0C2e0erSt(er(der1tder1e0dSe0dSer即C0C1C2((3UAse01se0(er(t1dBU0,,Ssq因例rabROabROrDE通式DsdsSqis内DEe0ereE,解法提要ED、分布先求应用有电介质时的高斯定理10,E10Dp42r,1D0I区s1II区D2p42rQ,E2Qe2D2p42re0s2IV区D4p42rQ,E4Qe4D4p42re0s4III区reD3p42rQ,E3Qe3D3p42re0s3DSqis内p42rDSqis内p42r,本题各区场分布有球对称性例求EU、D、分布RoIIVrrereQQaabbIIIIIIIIIIIoRs1s1s2s2s3s3s4s4续上rabROabROrDE通式DsdsSqis内DEe0ereE,解法提要ED、分布先求应用有电介质时的高斯定理10,E10Dp42r,1D0I区s1II区D2p42rQ,E2Qe2D2p42re0s2IV区D4p42rQ,E4Qe4D4p42re0s4III区reD3p42rQ,E3Qe3D3p42re0s3DSqis内p42rDSqis内p42r,本题各区场分布有球对称性例求EU、D、分布RoIIVrrereQQaabbIIIIIIIIIIIoRs1s1s2s2s3s3s4s40,1DD2p42rQD3D4E10,E3reQp42re0E2,Qp42re0E4IV区不妨先求分布再求U通式UPEdr8PdrU8rE48rQp42re0drQp4re04rb,Qp4e0b((Ub4III区Qrep4e0rUbE3dr+Ubb((1rre134ra,UaQ1b((re1arep4e0((3II区rE2dr+UaUaQp4e01r1(re1(ab1(1(23rR,UR11(re1(ab1(1(Qp4e0R2I区静电平衡导体球等势UUR11(re1(ab1(1(Qp4e0R12续上rabROabROrDE通式DsdsSqis内DEe0ereE,解法提要ED、分布先求应用有电介质时的高斯定理10,E10Dp42r,1D0I区s1II区D2p42rQ,E2Qe2D2p42re0s2IV区D4p42rQ,E4Qe4D4p42re0s4III区reD3p42rQ,E3Qe3D3p42re0s3DSqis内p42rDSqis内p42r,本题各区场分布有球对称性例求EU、D、分布RoIIVrrereQQaabbIIIIIIIIIIIoRs1s1s2s2s3s3s4s40,1DD2p42rQD3D4E10,E3reQp42re0E2,Qp42re0E4IV区不妨先求分布再求U通式UPEdr8PdrU8rE48rQp42re0drQp4re04rb,Qp4e0b((Ub4III区Qrep4e0rUbE3dr+Ubb((1rre134ra,UaQ1b((re1arep4e0((3II区rE2dr+UaUaQp4e01r1(re1(ab1(1(23rR,UR11(re1(ab1(1(Qp4e0R2I区静电平衡导体球等势UUR11(re1(ab1(1(Qp4e0R12U11(re1(ab1(1(Qp4e0R1UQp4e01r1(re1(ab1(1(2UQrep4e0b((1rre13Qp4re0U4abROrU例1er2erabcdo++++++Q+Q+IIIIIIIVAB解法提要((1导体静电平衡后感应电荷分布如图(黑符号)应用含介质高斯定理求得各区场强为I区EI0II区EII4pe0Qr1er2IIIEIII区0IVEIV区4pe0Qr2er2例球形电容器极板间填满三层物质,IIIV、区为电介质,其相对电容率分别为III今让A板带电1er和2er区为导体,Q+Q+,,求((1((2电容器极板间的电势差CUAUB该电容器的电容、AB、ABAUBUadEdlEIIrdab+rdcb+rdIIIEdcIVErdab+4pe0Qr1er20+rddc4pe0Qr2er24pe0Q1erab(dc(+2ercd((ba1er2erabcd++++++++++++++QQ++QQQ+QQQ((2CUAUBQ例例用电容器串联的思想计算下图的球面系统的电容ABC1er2erabcdo导体导体AB导体CDCD+ABCCACDCBCACDCB4pe0erabcdab((dc((ab+ab((cddc((4pe0abcder1er2aber1dc((+ercd2ab((ABC可看成是CAC与DCB的串联CAC4pabe0aber14pe0DCBdcercd2,解法提要球形电容器公式C4pARBRARBRe0erROARBer电容器串联公式C1C2C+1C2C例例求各区间EU分布、R12Rre1ore2re3Qs3s2s1解法提要用有介质高斯定理求分布ErR1ds0D1s1D10,,E10rR2R1dsD2s2Qp42rD2D2p42rQ,E2Qe2D2p42re0re2rR2dsD3s3Qp42rD3D3p42rQ,E3Qe3D3p42re0re3用电势定义法求分布，U以无穷远为电势零点()rU8rR1E1drR1R2E2drR2E3dr()rR14pe0Qre2(1R11R2(4pe0Qre3R2rR2E2dr8R2E3dr4pe0Qre2(11R2(r4pe0Qre3R2rR2R1)(r8E3dr4pe0Qre3rrR2()例分布U()rR14pe0Qre2(1R11R2(4pe0Qre3R24pe0Qre2(11R2(r4pe0Qre3R2rR2R1)(4pe0Qre3rrR2()UUUR1R2roUE3Qp42re0re3E10E2Qp42re0re2E分布ER1R2rorR2D3p42rQrR1D10rR2R1D2p42rQD分布DR1R2ro例求各区间EU分布、R12Rre1ore2re3Qs3s2s1例求两筒间的两介质层中的场强最大值之比两筒间的最大电势差解法提要用介质高斯定理求两介质层中D和E的最大值DsdsSq0iDf内层2pD1MrlrllDR11Ml2pR1,,1MEl2pR1e0re11MEE2MRR1re1re20.04×30.03×60.120.1832E2M1ME即用电势差定义法求两筒间的电势差U12R1Rl2pe0re1rrdR2Rl2pe0re2rrd外层2pD2MrlrllDRl2p,E2MRl2pe0re2R,2Ml2pe01lnR2RR12,E2Ml2pe01将与对比,l2pe0((361R1Rln1R2Rlnl2pe01(R1RlnR2Rln2(+l2pe0((R1R3r6rdR2RrrdU12MlnR2RR12RE2Ml6pe0R因故l2pe01RE2M2得最大电势差,E2M2例已知R1o2R2R6re1re23R1R20.03m0.05mRRR0.04m同轴电缆内筒单位长度带电量为+l内外筒间之有两层绝缘介质rls例例直圆柱形导线AB、半径a相距d,da求单位长度的电容da2a2rdrABll+rooPP可认为静点平衡时,da因电荷均匀分布在导线表面解法提要EPE++E可用高斯定理求E+