大物小测复习大纲

小测复习大纲大学物理课后题１.电场强度与场强叠加原理２.静电场的高斯定理３.静电场环路定理电势能电势４.静电场中的导体与电介质５.电容器电场能量６.直流电流和圆电流的磁场磁场的高斯定理课后题７.安培环路定理８.电磁感应动生电动势９.自感互感磁场能量46.3

在坐标原点及点

分别放置电荷Q1＝-2.010-6C及Q2＝1.010-6C的点电荷，求点P

处的场强（坐标单位为m）。解：6.4

如图所示，长为L的均匀带电细棒AB。设电荷的线密度为l。求：（1）AB棒延长线上P1点的场强（P1点到B点的距离为a）。解：

取P1点为原点、P1A向为x轴正向建立坐标系。在AB上距P1为x处取电荷元dq=ldx，其在P1产生的场强：即P1点场强大小为方向沿AP1方向。6.5一根玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，其上电荷均匀分布，总电荷为q，求半圆中心O点的场强。解：以半圆圆心为原点、对称轴为x轴建立坐标系，如图，根据对称性EOy=0在棒上取电荷元dq。写成矢量式：6-11两个均匀的带电同心球面，内球面带有电荷q1，外球面带有电荷q2，两球面之间区域中距球心为r的点的场强为，方向沿球面半径指向球心；外球面之外距球心为r的点的场强为，方向沿球面半径向外。试求q1和q2各等于多少？

解：设A、B分别为两球面之间区域和外球面之外区域中的点，过A、B分别作两球面SA、SB为高斯面，并取高斯面法线单位矢量沿径向背离球心。根据高斯定理A点(两球面之间区域)：B点(外球面之外区域)：6-13.两无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2(R2>R1)，分别带有等量异号电荷（内圆柱面带正电），且两圆柱面沿轴线每单位长度所带电荷的数值都为l。试分别求出以下三区域中离圆柱面轴线为r处的场强：求距离轴线r远处的场强：⑴

r<R1；⑵

R1<r<R2；⑶r>R2。解：分别在三个区域作半径为r高为h的同轴柱面为高斯面。根据高斯定理⑴r<R1

⑵R1<r<R2

⑶r>R2

场强方向：沿矢径方向背离球心6-14.一半径为R的带电球，其上电荷分布的体密度r为一常数。试求此带电球体内、外的场强分布。解：在带电球体内、外分别作半径为r的同心球面为高斯面。根据高斯定理当r<R时，当r>R时，6-17 如图所示，A点有电荷+q，B点有电荷-q，AB=2l，OCD是以B为中心、l为半径的半圆。（1） 将单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场力做功多少？（2） 将单位负电荷从D点沿AB移到无穷远处，电场力做功多少？解：（1）选择无穷远处为电势零点D点电势：O点电势：单位正电荷从O点移到D点，电场力做功为：（2）单位负电荷从D点移到无穷远处，电场力做功为：6-19 在半径分别为R1和R2的两个同心球面上，分别均匀带电，电荷量各为Q1和Q2，且R1<R2。求下列区域内的电势分布：（1）r<R1；（2）R1<r<R2；（3）r>R2。解：半径为R均匀带电Q的球面在空间产生的电势为：因此，根据球面电势的叠加原理6-20 电荷q均匀分布在长为2a的细棒上。求棒的延长线上离棒的中点O点为x的点P的电势。解：建立如图所示的坐标系：6-23两个均匀带电的金属同心球壳，内球壳（厚度不计）半径为R1=5.0cm

，带电荷q1=0.6010-8C

；外球壳内半径

R2=7.5cm，外半径R3=9.0cm，所带总电荷q2=-2.0010-8C

，（1）求：距离球心3.0cm，6.0cm，8.0cm，10.0cm各点处的场强和电势；（2）如果用导线把两个球壳连起来结果又怎样？解：静电平衡后q1=0.6010-8C

电荷分布在内球壳表面。外球壳内表面有电荷-q1，外表面有电荷q1+q2=-1.4010-8C

。(1)由高斯定理r=6.0cm(R1<r<R2)r=3.0cm(r<R1)r=8.0cm(R2<r<R3)r=10.0cm(r>R3)半径为R的均匀带电Q的球面电势分布为根据球面电势公式和电势叠加原理，r=6.0cm(R1<r<R2)r=3.0cm(r<R1)r=8.0cm(R2<r<R3)r=10.0cm(r>R3)（2）如果用导线把两个球壳连起来，内球壳和外球壳内表面不带电，外球壳外表面带电为q3’=-1.4×10-8C。导体内部场强处处为零，由于静电屏蔽，外球壳的外表面电荷不影响导体空腔内部。因此r<R3区域，E=0，即r=10.0cm(r>R3)由高斯定理

用导线把两个球壳连起来后，导体是个等势体。r=10.0cm(r>R3)6-24在一半径为a的长直导线的外面,套有内半径为b的同轴导体薄圆筒,它们之间充以相对介电常数为εr的均匀电介质,设导线和圆筒都均匀带电,且沿轴线单位且沿轴线单位长度所带电荷分别为λ和-λ.（1）试求导线内、导线和圆筒间、圆筒外三个空间区域中的点的场强大小；（2）求导线和圆筒间电势差。（1）根据高斯定理a<r<b时，r<a时，r>b时，(2)ab之间的电势差解：在三个空间区域分别取半径为r高度为h的高斯面6-25A、B、C是三块平行金属板，面积均为200cm2，A、B相距4.0mm,A、C相距2.0mm,B、C两板都接地，如图所示，设A板带正电q=3.0×10-7C,不计边缘效应(即认为电场集中在平板之间是均匀的)。(1)若平板之间为空气(εr≈1.00),求B板和C板上的感应电荷，以及A板上的电势；（2）若在A、B间另充以εr=5的均匀电介质，再求B板和C板上的感应电荷，以及A板的电势。由静电感应可知,A、C相向两面带等量异号电荷，A、B相向两面也带等量异号电荷。解：B、C两板都接地，解以上两式：(2)由静电感应可知,A、C相向两面带等量异号电荷，A、B相向两面也带等量异号电荷。B、C两板都接地，解以上两式：电场能量：6-28一空气平板电容器的电容C=1.0pF，充电到电荷为Q=1.0×10-6C后，将电源切断。（1）求极板间的电势差和电场能量：（2）将两极板拉开，使距离增到原距离的2倍，试计算拉开前后电场能的改变，并解释其原因。

(2)距离拉长2倍后，电容变为解:(1)由得电场能量：电场能量增量：原因：将两极板拉开时，电场力做负功，电场能量增加。6.29平板电容器两板间的空间（体积为V）被相对介电常数为r的均匀电介质填满。极板上电荷的面密度为。试计算将电介质从电容器中取出过程中外力所作的功。解：外力做功等于电容器电场能的增加：将代入，得解：在球形电容器两极板间作半径为r的同心高斯球面S

6.30若球形电容器两同心金属球面半径分别为RA和RB（RA<RB）,带电荷分别为+Q和-Q，两球面间充满介电常量为的均匀电介质，设其电容量为C，试证明次电容器电场的能量为

由高斯定理得得则则半径为r处的能量密度为

则球形电容器的电场能量为

又因为球形电容器的电容即7-11一条无限长直导线在一处弯折成半径为R的圆弧，如图所示，若已知导线中电流强度为I。试利用毕奥－萨伐尔定理求：（1）当圆弧为半圆周时，圆心O处的磁感应强度；（2）当圆弧为1/4圆周时，圆心O处的磁感应强度。解：（1）因左右两边的半无限长的延迟线经过圆心，因而在圆心产生的磁感应强度为0，因此圆心O处的磁感应强度仅由半圆形电流产生。（2）同理，圆心O处的磁感应强度仅由1/4圆弧电流产生。（2）

(1)方向：垂直纸面向里方向：垂直纸面向里7-13一长直导线ab,通过电流I1=20A，旁放置一段导线cd，通过电流I2=10A，且ab和cd在同一平面上，c端距ab为1cm,d端距ab为10cm,求导线cd所受的作用力。解：如图建立坐标系，长直导线产生的磁感应强度为在cd段上的感应强度分布随x的增大而减小，因而可取cd段上一小段导线dl，所受的ab段对其作用力为：7-17如图所示，载流长直导线中的电流为I，求通过矩形CDEF的磁通量解：如图建立坐标系，长直导线产生的磁感应强度为如图对矩形CDEF进行分割，得到高度为l,宽度为dx的小矩形，该面积的磁通量为总磁通量为7-20一根长直导体直圆筒，内外半径分别为a，b，电流I沿管轴方向，并且均匀的分布在管壁的横截面上。空间某点P到管轴的距离为r，求下列三种情况下p点的磁感应强度：

解：根据安培环路定理：7.21一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱（半径为a)和一同轴的导体圆管（内外半径分别为b,c)构成，使用时，电流I从一导体流去，从一导体流回，设电流都是均匀地分布在导体的截面上，求（1）导体圆柱内r<a,（2）两导体之间a<r<b（3）导体圆筒内b<r<c，（4）电缆外r>c，各点处的磁感应强度大小。解：根据安培环路定理：7.23矩形截面的螺绕环，绕有N匝线圈，通有电流I，尺寸如图所示：（1）求环内磁感应强度分布；（2）证明通过螺绕环截面的磁通量

解（1）螺绕环内B线为圆心在环轴的系列同心圆，且同一B线各点B的大小应相等，在管内作环路半径为r的圆环，环路内电流代数和：（2）在螺绕环截面上取距环轴r，宽dr的窄条做面元，面法线与B同向，则8-5有一无限长直螺线管，单位长度上线圈的匝数为n，在管的中心放置一绕了N圈，半径为r的圆形小线圈，其轴线与螺线管的轴线平行，设螺线管内电流变化率为dI/dt，求小线圈中感应的电动势。解：无限长直螺线管内部的磁场为：B=0nI通过N匝圆形小线圈的磁通量为m=NBS=Nμ0nIπr2由法拉第电磁感应定律得：8-8一长直导线，载有电流I=40A。在其旁边放置一金属杆AB。A端与导线的距离为a=0.1m，B端与导线的距离为b=1.0m。如图所示。设金属杆AB以匀速v=2m/s向上移动，试求此金属杆中的感应电动势，并问哪一端电势较高。解：分割导体元dx。导体元处的磁场为：电动势方向：B→AA端电势高。8-9长为l的一金属棒ab，水平放置在均匀磁场B中，如图所示。金属棒可绕O点在水平面内以角速度旋转，O点离a端的距离为l/k（设k>2）。试求a、b两端的电势差，并指出那端电势高。解：以O点为坐标原点。距离原点x位置取微元dx，axBdxbl/klω则dx产生的感应电动势为对整根导体棒进行积分：axBdxbl/klω电动势方向：b→a，a端电势高。8-15一纸筒长,截面直径为，筒上绕有匝线圈，求这线圈的自感。解：8-17一由两薄圆筒构成的同轴长电缆，内筒半径为R1，外筒半径为R2，两筒间的介质ur=1，设内圆筒和外圆筒中的电流方向相反，而电流强度I相等，求长度为l的一段同轴电缆所贮磁能为若干？解：根据对称性和安培环路定理，在内圆筒和外圆筒外的空间磁场为零。两圆筒(如右图所示)间磁场为因磁场是非均匀的，则体积元中的磁场能量为l所以磁场能为8-18两个共轴圆线圈，半径分别为R及r（R>>r

），匝数分别为N1，N2，两线圈的中心相距为l，设r很小，则小线圈所在处的磁场可以视为均匀的。求两线圈的互感系数。解：因为R>>r，且小线圈所在处的磁场可以视为均匀（如图所示），则由载流圆线圈轴线上的磁场表达式可知L1在L2处产生的磁感应大小为方向沿两线圈的轴线方向，其中表示线圈L1激发的磁场通过L2的磁通量课文第四章气体动理论第六章静电场第七章恒定磁场第八章电磁感应电磁场例：如图，两容积不变、导热的容器A和B，容积分别为VA=3.73升、VB=2.73升，用绝热细管连通，在27℃时两容器内气压均为1大气压。今把A置于沸水中，B置于0℃的冰中，则达到热平衡后，求容器A中的气压和A中气体的分子数。

解：设两容器中的分子总数为N，初态时末态时联立解得

理想气体在常温下，分子内各原子间的距离认为不变，可不考虑分子内部的振动，而认为分子是刚性的。此时气体分子只有平动自由度和转动自由度。单原子分子气体例：He、Ne、Ar等。其模型可用一个质点来代替。平动自由度转动自由度总自由度

将理想气体模型稍作修改，将气体分为单原子分子气体，双原子分子气体，多原子分子气体。刚性双原子分子气体如：H2、O2等。其模型可用两个刚性质点来代替。平动自由度转动自由度总自由度轴刚性多原子分子气体如：CO2、CH4等。其模型可用多个刚性质点来代替。平动自由度转动自由度总自由度轴例：处于平衡态的理想气体，压强p＝5×102Pa，容积V＝4.0×10-3m3，则气体分子总平动动能为【】。B（A）2J（D）9J（C）5J（B）3J解：例：用总分子数N、气体分子速率v和速率分布函数f(v)表示下列各量：(1)速率大于100m/s的分子数；(2)速率大于100m/s的那些分子速率之和。由速率分布函数的物理意义出发解:vv+dv区间的分子数速率大于100m/s的分子数vv+dv区间的分子速率和速率大于100m/s的那些分子速率之和例：经典的氢原子中电子绕核旋转，质子质量Mp=1.6710-27kg,电子质量me=9.1110-31kg,求电子与质子间的库仑力Fe与万有引力F引之比。解：库仑力大小万有引力大小库仑定律：例：求点电荷q所激发的电场中各点的电场强度矢量。场点O场源r0时，E，此结论正确吗？解：要求出电场中各点的场强，只要求出其中任意一点P的场强即可。在P点放置试探电荷q0。的方向：从源点指向场点。例：正电荷均匀分布在一根长直细棒上，此棒电荷线密度为。试计算距细棒垂直距离为a的P点的场强。已知细棒两端和P点连线的夹角分别为1和2

。解:同理可得：例：如图所示，均匀带正电细圆环半径为R，带电量为q，求圆环轴线上与环心O距离为x的P点的场强。解:由场对称性r与x都为常量电荷元dq的场强例：用细的塑料棒弯成半径为R=50cm的圆环，两端间空隙为l=2cm，电量为Q=3.12×10—9C的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处的电场强度的大小和方向。解：电荷的线密度：带电为l的电荷可以看成点电荷，场强方向由圆心指向缺口的中心。

根据对称性，圆心处的电场强度可看成是与缺口对称的长度为l、电荷线密度为的电荷产生的。例：求电偶极子中垂线上一点的电场强度。电偶极子：一对等量异号的点电荷系。电偶极矩:解：由对称性分析Ey=0写成矢量式：4.带电体在电场中的受力点电荷所受的电场力：连续带电体所受电场力：例：如图所示，长为L的均匀带电细杆，电荷线密度为+。如在P点处有一带电量为q的正电荷，求该电荷所受的电场力。解：如图建坐标系,方向：水平向右长度为dx的电荷元dx,在Ｐ点产生的电场强度为：例：半径R、带电量为q的均匀带电球体，计算球体内、外的电场强度。1.球体外部r>R作半径为r的球面；面内电荷代数和：高斯面球面上各点的场强大小相等，方向与法线同向。解：场强方向沿着径向且在球面上的场强处处相等。根据高斯定理：有：2.球体内部r<R作半径为r的球面；面内电荷代数和：与电荷q全部集中在中心的场的分布相同。同理例：无限长均匀带电直线，线电荷密度为，计算电场强度分布

。解：作半径为r高为h的闭合圆柱面，侧面上各点的场强大小相等，方向与法线相同。面内电荷代数和为根据高斯定理有：例：一无限长均匀带电圆柱体，体电荷密度为，截面半径为R。（1）求柱内外电场强度分布；解：柱内(r<R)作半径为r高为h的闭合圆柱面，有：根据高斯定理，柱外(r>R)作半径为r高为h的闭合圆柱面，同理：例：无限大均匀带电平面，面电荷密度为，求平面附近某点的电场强度。解：作如图所示闭合圆柱面为高斯面。面内电荷代数和：根据高斯定理有：例：求点电荷q产生的电场中的电势分布。负点电荷周围的场电势为离负电荷越远，电势越高。正点电荷周围的场电势为离正电荷越远，电势越低。解：以无穷远处为电势零点。例：均匀带电圆环，半径为R，带电为q，求圆环轴线上与环心O距离为x的P点的电势U。解：以无穷远处为电势零点，环上各点到轴线等距。将圆环分割成无限多个电荷元，例：均匀带电球面半径为R，电量为q，求：球面内、外的电势分布。高斯面解：球面内、外分别作半径为r的高斯球面；IIII区：球面内，r<R，II区：球面外，r>R，根据高斯定理，有：I区：球面内(r<R)电势选无穷远为电势零点，II区：球面外(r>R)电势高斯面III例：无限长带电直线线电荷密度为，求电势分布。解：无限长带电直线的场强：若选无穷远为电势零点，选取距带电直导线为R的Q点为电势零点，

当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能选在无穷远处。已知电势分布时电场力所做功的求解例：在正方形四个顶点上各放置带电量为+q的四个电荷，各顶点到正方形中心O的距离为r。求：(1)O点的电势；(2)把试探电荷q0从无穷远处移到O点时电场力所做的功。解：(1)以无穷远为电势零点，(2)解:以无穷远处为电势零点将一单位正电荷从B点沿半圆弧轨道BCD移到D点，则电场力所做的功：例：图示BCD是以O点为圆心、以R为半径的半圆弧。在A点有一电量为q的点电荷，O点另有一电量为-q的点电荷，直线段AB=R。现将一单位正电荷从B点沿半圆弧轨道BCD移到D点，求电场力所做的功。例：在电量为+q的点电荷的电场中，放入一不带电金属球，从球心O到点电荷所在处的矢径为r，求金属球上的感应电荷净电量以及这些感应电荷在球心O处产生的电场强度。根据电荷守恒，金属球上感应电荷净电量为零，在静电平衡时，金属球内场强为零，解：例：A、B、C是三块平行金属板，面积均为200cm2，A、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B、C两板都接地，如图所示，设A板带正电q=3.0×10-7C,不计边缘效应(即认为电场集中在平板之间是均匀的)。若平板之间为空气，求B板和C板上的感应电荷，以及A板上的电势；由静电感应可知,A、C相向两面带等量异号电荷，A、B相向两面也带等量异号电荷。解：B、C两板都接地，解以上两式：例：将电荷q放置于半径为R相对介电常数为r的介质球中心，求：I区、II区的D、E、

及U。解：在介质球内、外各作半径为r的高斯球面。I区：II区：

球面上各点的场强D大小相等，方向与法线同向。根据介质中的高斯定理：有：I区：II区：由I区：II区：由I区：II区：例：A、B、C是三块平行金属板，面积均为200cm2，A、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B、C两板都接地，如图所示，设A板带正电q=3.0×10-7C,不计边缘效应(即认为电场集中在平板之间是均匀的)。若在A、B间充以εr=5的均匀电介质，求B板和C板上的感应电荷以及A板的电势。由静电感应可知,A、C相向两面带等量异号电荷，A、B相向两面也带等量异号电荷。解：B、C两板都接地，解以上两式：例：平行板电容器极板间距为d,极板面积为S，面电荷密度为0,其间插有厚度为d′、相对介电常数为r的电介质。求：(1)P1、P2点的场强；(2)

电容器的电容。解：（1）过P1点作高斯柱面,左右底面分别经过导体和P1点。导体内D=0，根据介质中的高斯定理：有：过P2点作高斯柱面,左右底面分别经过导体和P2点。同理，可求得：（2）电容C例：同轴电缆由内径为R1、外径为R2的两无限长金属圆柱面构成，单位长度带电量分别为+、-，其间充有相对介电常数为r的电介质。求：(1)两柱面间电势差U；(2)单位长度电容；(3)单位长度贮存能量。解：（1）两柱面间作高为h半径为r的高斯柱面，场强由介质中高斯定理：有：（2）单位长度电容（3）单位长度贮存能量或例：球形电容器内外半径分别为R1和R2，两极板间充满相对介电常数为r的各向同性均匀电介质，两极板带有等量异号电荷Q。

(1)用电场能量密度积分的方法求电容器内所储电场能量；(2)证明此结果与按电容器储能公式计算的结果相等。

解：（1）依据高斯定理，易得：(2)或两种方法结果相等。例：一平板电容器面积为S，间距d，用电源充电后，两极板分别带电为+q和-q，断开电源，再把两极板缓慢地拉至2d，试求外力克服电力所做的功。解：初态末态

电容器两个状态下所存贮的能量差等于外力的功。初态末态

若把电容器极板缓慢拉开一倍的距离，所需外力的功等于电容器原来具有的能量。例：如图所示，在磁感应强度为B的均匀磁场中，放置一半圆形半径为R通有电流为I的闭合载流导线，求：（1）圆弧abc所受的安培力；（2）闭合载流导线所受的合力。解：（1）以直代弯：（2）⊙闭合载流导线所受的合力：例：如图所示，一段有限长载流直导线，通电流为I，求距导线为a的P点磁感应强度。已知细棒两端和P点连线的夹角分别为1和2。解:分割电流元讨论:1.无限长载流直导线的磁场：2.半无限长载流直导线的磁场：注意：载流导线延长线上任一点的磁场任意点的磁场：例：一载流圆环半径为R，通有电流为I。求圆环轴线上与环心O距离为x的P点的磁感应强度。解：将圆环分割为无限多个电流元；

由对称性可知，例：计算组合载流导体在O点的磁感应强度。解：规定垂直纸面向里为正向，例：一正方形载流线圈边长为b，通有电流为I。求正方形中心的磁感应强度。解：例：如图所示，在通有电流为I的长直载流导线旁，共面放置一矩形回路。求通过矩形回路的磁通量。解：建立坐标系，如图所示取一窄带dx，电流I产生的磁感应强度为：例：在无限长载流直导线I1旁，垂直放置另一长为L的载流直导线I2

,I2

导线左端距I1为a，求导线I2

所受到的安培力。解：建立坐标系,坐标原点选在I1上，分割电流元，长度为dx,例：一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如图所示，其上均匀绕有N匝线圈，线圈中通有电流I。试求：（1）环内距轴线为r处的磁感应强度；（2）通过螺线管截面的磁通量。解：（1）在管内作环路半径为r的圆环，环路内电流代数和：（2）环路内电流代数和：r<R区域选取半径为r的环路，解：导体内外的磁场是以中心轴线为对称分布的。例：无限长直载流圆柱形导体半径为R，通有电流为I，电流在导体横载面上均匀分布，求圆柱体内、外的磁感应强度的分布。1.圆柱体内部根据安培环路定理，环路内电流代数和：2.圆柱体外一点r>R区域在圆柱体外作一环路，同理：分布曲线：与电流全部集中在轴线上的场的分布相同。例：半径为R的无限长金属圆柱上，通过的电流为I，电流沿轴线均匀分布，则通过图示长方形阴影面积的磁通量m。解：如图，r<R区域选取半径为r的环路，由安培环路定理阴影面积的磁通量m

：例：长直螺线管半径为R，通有电流I，线圈密度为n,管内插有半径为r,相对磁导率为r

磁介质，求介质内和管内真空部分的磁感应强度B。解：

管内的场各处均匀一致，管外的场为零；1.介质内部，作abcda矩形回路。在环路上应用介质中的环路定理：回路内的传导电流代数和为：2.管内真空中

作环路abcda;在环路上应用介质中的安培环路定理，同理有：例：如图所示，在通有电流为I的长直载流导线旁，共面放置一矩形回路。回路以速度v

水平向右运动，求回路中的感应电动势。解：建立坐标系，如图所示取一窄带dx，电流I产生的磁感应强度为：方向：顺时针方向例：在磁感应强度大小为B的均匀磁场中，一长为L的导体棒绕端点o以角速度

转动，