2023年自考经济类国际贸易理论与实务笔记

2０23年默认标题-2023年3月15日深圳市菁优网络科技有限公司

终边相同的角一、选择题(共16小题)1、已知A={第一象限角}，Ｂ＝{锐角}，Ｃ={小于的角},那么A、B、C关系是() A、Ｂ＝A∩Cﻩ B、B∪C＝CﻩC、A⊊C ﻩD、A＝B=C2、下列各组角中，终边相同的角是(）ﻩA、与（k∈Ｚ）ﻩﻩB、（k∈Z)ﻩＣ、(2k+１）π与（４k±１)π(ｋ∈Ｚ)ﻩﻩD、(k∈Z)3、若sin（π＋θ）=,siｎ（）=，则θ角的终边在（)ﻩA、第一象限ﻩ B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限4、若角α，β的终边互为反向延长线，则α与β的关系一定是（)ﻩA、α=﹣βﻩ B、α﹣β=﹣k•36０°(ｋ∈Ｚ) C、α=180°+βﻩﻩD、α=(2k+１）180°+β(k∈Z）5、已知角α的终边上一点的坐标为,则角α的最小正值为（)ﻩＡ、ﻩﻩB、 C、ﻩﻩD、6、假如角α与x＋45°具有相同的终边，角β与x﹣４５°具有相同的终边,那么α与β之间的关系是()ﻩA、α﹣β=9０° B、α+β=0°ﻩＣ、α﹣β=90°＋k•360°，k∈Z D、α﹣β=k•360°,k∈Z7、角的顶点与坐标原点重合始边与x轴正半轴重合,下列各角中与角终边相同的是() A、﹣ﻩﻩB、4２0° Ｃ、 D、﹣２４0°8、已知锐角α终边上的一点P坐标是（2sin2,﹣2ｃos2)，则α＝（)ﻩA、2ﻩﻩＢ、﹣２ﻩC、ﻩﻩＤ、9、如图,以Oｘ为始边作任意角α，β，它们的终边与单位圆分别交于A，B点，则的值等于() A、siｎ（α+β）ﻩ B、ｓｉｎ（α﹣β） Ｃ、cos（α+β)ﻩ D、ｃoｓ（α﹣β）1０、设ｃosα=t，则tan(π﹣α）等于（) A、 Ｂ、﹣ C、±ﻩﻩD、±1１、计算ｓｉn１05°=（） Ａ、ﻩﻩB、ﻩC、 D、1２、ｓｉｎ2０23°的值属于区间（）ﻩA、 Ｂ、 C、ﻩﻩD、13、已知钝角α的终边通过点P(sｉn2θ,ｓｉn4θ)，且ｃosθ＝０.5,则α的值为(） A、 ﻩB、arctan(﹣１)ﻩC、ﻩﻩD、14、已知角α的终边与角β的终边关于直线ｙ=﹣x对称，则siｎα=（） Ａ、﹣sｉnβﻩﻩB、﹣cosβ C、sｉnβ ﻩD、ｃosβ15、已知角α的终边上一点的坐标为(），角α的最小正值为（)ﻩA、ﻩ B、ﻩC、 ﻩD、16、给定集合M={,ｋ∈Ｚ}，N={ｘ|coｓ2ｘ＝0}，P＝{a|sｉn2a＝１｝，则下列关系式中，成立的是(）ﻩＡ、P⊂Ｎ⊂MﻩﻩB、P=N⊂M C、P⊂N=M ﻩD、Ｐ=N=M二、填空题（共9小题）17、若﹣90°＜α＜β<90°，则α﹣β的范围是＿_＿____＿_．1８、时钟三点半时,时针与分针所成最小正角的弧度数是:______＿__.１９、已知α,β都是锐角,sinα=,coｓ(α＋β）=，则siｎβ的值等于__＿______．２0、已知点Ｐ(sｉｎα﹣cosα，tanα)在第一象限，且α∈[0，2π]，则α的取值范围是

ﻪ_____＿_＿_.2１、方程sin2ｘ﹣２sinx＝0的解集为_____＿___.２2、方程ｓinx=cosｘ在[0，2π)上的解集是_＿___＿__＿.23、α的终边与的终边关于直线y=ｘ对称，则α＝＿＿＿＿＿____．２4、已知α,β角的终边关于y轴对称，则α与β的关系为____＿____．25、若的终边所在直线方程为___＿_____．三、解答题(共5小题）２6、（1）设90°＜α<180°，角α的终边上一点为P(ｘ,),且coｓα=x，求sinα与tanα的值;（２）已知角θ的终边上有一点P（x,﹣1）(x≠0)，且tａnθ=﹣x，求ｓinθ,cosθ．2７、已知，用单位圆求证下面的不等式:(１)sｉｎx＜ｘ<taｎx;（2).２8、如图,A、B是单位圆O上的点，C是圆O与x轴正半轴的交点,点Ａ的坐标为，三角形AＯＢ为直角三角形.（１）求sin∠COA，cｏs∠CＯA的值;(2）求coｓ∠COB的值.2９、如图,已知Ａ、B是单位圆Ｏ上的点，C是圆与x轴正半轴的交点,点A的坐标为，点B在第二象限，且△AOB为正三角形.（Ⅰ）求ｓin∠COA；(Ⅱ）求△ＢＯＣ的面积．30、设,化简.ﻬ答案与评分标准一、选择题(共１6小题)1、已知A＝{第一象限角｝,B={锐角},C={小于的角},那么A、Ｂ、Ｃ关系是（)ﻩA、B=A∩C B、B∪C=ＣﻩC、Ａ⊊Ｃ ﻩD、Ａ=B=C考点:任意角的概念;集合的包含关系判断及应用。分析：先明确第一象限角的定义，锐角的定义,小于的角的定义,结合所给的选项,通过举反例、排除等手段,选出应选的选项．解答:解:A＝{第一象限角}={θ｜2kπ<θ＜2kπ＋，ｋ∈z}，C={小于的角}={θ|θ<},Ｂ=｛锐角｝＝,故选B.点评：本题考察任意角的概念,集合间的包含关系的判断及应用，准确理解好定义是解决问题的关键．2、下列各组角中，终边相同的角是() A、与(ｋ∈Z）ﻩ B、（k∈Z）ﻩＣ、(2k+1)π与(4k±1)π(k∈Z）ﻩﻩD、(ｋ∈Z）考点:终边相同的角。专题：计算题。分析:把数学符号语言转化为文字语言，结合终边相同的角的表达方法，做出判断．解答：解:由于表达的整数倍，而=（2k＋1)表达的奇数倍,故这两个角不是终边相同的角，故A不满足条件.由于kπ±=（3k±1)表达的非3的整数倍,而表达的整数倍，故这两个角不是终边相同的角，故Ｂ不满足条件．(２k+１)π表达π的奇数倍，（4k±1）π也表达π的奇数倍,故(２k＋１)π与（4k±1）π(ｋ∈Z)是终边相同的角,故C满足条件．ｋπ+=,表达的倍，而kπ±=表达的倍,故这两个角不是终边相同的角，故D不满足条件.故选C.点评：本题考察终边相同的角的表达方法，把数学符号语言转化为文字语言，以及式子所表达的意义．３、若ｓiｎ（π+θ)=，ｓin（）=，则θ角的终边在()ﻩA、第一象限ﻩ B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限考点:终边相同的角;任意角的三角函数的定义；三角函数值的符号;诱导公式一。专题:计算题。分析:由已知中ｓin（π+θ)＝,ｓｉn(）＝,运用诱导公式，我们可以求出siｎθ，coｓθ的值,并判断出其符号，根据任意角三角函数的定义，即可判断出θ角的终边的位置．解答：解：∵sｉn（π+θ)＝，∴sｉnθ＝﹣<0,又∵ｓin（）=，∴coｓθ＝＞0，∴θ角的终边在第四象限.故选D点评:本题考察的知识点是任意角的三角形函数的定义,诱导公式，其中根据诱导公式和已知条件,判断出sinθ,cosθ的符号,是解答本题的关键.4、若角α，β的终边互为反向延长线，则α与β的关系一定是(） A、α＝﹣βﻩﻩB、α﹣β=﹣ｋ•3６0°（k∈Z)ﻩC、α=180°＋βﻩ Ｄ、α=(２k+１）18０°+β(k∈Z)考点：终边相同的角。专题：计算题。分析：角α,β的终边互为反向延长线,则α与β的角的度数的差是π的整数倍，写出结果即可.解答:解:角α，β的终边互为反向延长线,则α与β的角的度数的差是π的整数倍，所以α=（2ｋ＋1)180°+β（k∈Z），故选D．点评：运用角的终边的关系是平角,推出结果是解题的关键，考察理解能力，表达能力．5、已知角α的终边上一点的坐标为,则角α的最小正值为（）ﻩA、 Ｂ、ﻩC、 ﻩＤ、考点:终边相同的角。专题:计算题。分析:先拟定此点的坐标,判断此点的终边所在的象限，并求出此角的正切值,从而得到此角的最小值．解答：解:角α的终边上一点的坐标为，即(,﹣），此点到原点的距离为1，此点在第四象限，tanα=﹣，故角α的最小值为,故选C．点评：本题考察特殊角的三角函数值，正切函数的定义以及各个象限内点的坐标的符号规律．６、假如角α与ｘ+４5°具有相同的终边,角β与ｘ﹣45°具有相同的终边，那么α与β之间的关系是（） Ａ、α﹣β=90°ﻩﻩＢ、α+β＝０°ﻩＣ、α﹣β=90°+ｋ•３60°,k∈ZﻩﻩD、α﹣β＝k•36０°,k∈Ｚ考点：终边相同的角。专题:计算题。分析：表达出角α与x+45°具有相同的终边,角β与x﹣45°具有相同的终边的角,然后求出α﹣β=9０°+k•360°，ｋ∈Z,可得选项.解答:解：α=x+45°＋m3６0°β=x﹣45°+n３60°ｍ,n∈整数α﹣β＝90°+k360°k∈Z故选C点评:本题考察终边相同的角，考察计算能力,是基础题．7、角的顶点与坐标原点重合始边与ｘ轴正半轴重合,下列各角中与角终边相同的是（) A、﹣ Ｂ、4２０° Ｃ、 Ｄ、﹣24０°考点：终边相同的角。专题：计算题。分析：写出与角终边相同的角的集合,分析四个答案中的角,看是否存在满足条件的k使它与角终相差周角的整数倍,即可得到答案．解答:解：∵与角终边相同的角的集合为：{α|α＝+2kπ,k∈Z}={α|α＝60°＋ｋ×3６0°,k∈Z}当k＝１时，α=420°,满足条件故选B点评:本题考察的知识点是终边相同的角，其中根据终边相同的角相差周角的整数倍，写出与角终边相同的角的集合，是解答的关键.8、已知锐角α终边上的一点P坐标是(2sin2,﹣2ｃos2)，则α＝() A、2ﻩﻩB、﹣2 C、ﻩﻩＤ、考点：终边相同的角；任意角的三角函数的定义。专题:计算题；综合题。分析：运用任意角的三角函数，直接求出α的正切值,再求α.解答：解:锐角α终边上的一点P坐标是(2siｎ2，﹣２ｃｏs２)，ｔanα==tａｎ（）,所以α＝.故选C.点评:本题考察终边相同的角，任意角的三角函数的定义，考察计算能力，分析问题解决问题的能力，是基础题.9、如图,以Ox为始边作任意角α,β,它们的终边与单位圆分别交于A,B点,则的值等于（) Ａ、sｉn(α＋β） ﻩB、siｎ（α﹣β) C、coｓ（α+β) ﻩD、ｃoｓ(α﹣β）考点:单位圆与周期性；终边相同的角。专题：计算题。分析:直接求出A，B的坐标,运用向量是数量积求解即可.解答:解:由题意可知A(cosα，sｉnα）,B(cosβ,ｓｉnβ），所以=cosαcosβ＋ｓｉnαsinβ＝ｃoｓ（α﹣β）．故选D．点评:本题是基础题，考察向量的数量积的应用，两角差的余弦函数公式的推导过程，考察计算能力.1０、设ｃｏsα=t，则tａｎ（π﹣α）等于（）ﻩA、ﻩﻩB、﹣ﻩC、± ﻩＤ、±考点:诱导公式一;弦切互化。分析:根据诱导公式可得taｎ(π﹣α)=﹣ｔanα，再由，sｉｎ2α＋cｏs2α=1可得答案．解答：解：tａn(π﹣α)＝﹣tanα＝﹣.∵cosα=t，又∵ｓinα＝±,∴tan(π﹣α）=±．故选Ｃ.点评:本题重要考察三角函数的诱导公式以及三角基本关系式，属基础题.11、计算sｉｎ10５°=(） Ａ、ﻩﻩＢ、 Ｃ、 ﻩD、考点：诱导公式一。专题：计算题。分析:运用１０５°=90°+15°,１５°=4５°﹣30°化简三角函数使之成为特殊角的三角函数，然后求之.解答:解：sｉn105°=ｓin（90°+１５°)=﹣cos15°＝﹣ｃｏs(４５°﹣30°）=﹣(cｏs４5°cｏs30°＋siｎ45°sin30°）=﹣．故选D．点评：本题考察三角函数的诱导公式，是基础题．12、siｎ20２3°的值属于区间() Ａ、ﻩﻩB、ﻩC、ﻩﻩＤ、考点:诱导公式一。专题：计算题。分析:运用诱导公式求出０°~180°之间的正弦值,即可拟定选项．解答：解：sin２0２３°=ｓｉｎ(6×360°﹣14９°)=﹣ｓiｎ1４9°﹣sin149°＜﹣sin15０°＝故选C．点评:本题考察诱导公式,是基础题．13、已知钝角α的终边通过点P（ｓiｎ2θ，sin4θ）,且ｃosθ＝0.5，则α的值为（)ﻩＡ、ﻩﻩB、arctan（﹣１) C、 Ｄ、考点：终边相同的角；任意角的三角函数的定义;同角三角函数间的基本关系。专题:计算题。分析:运用三角函数的定义,求出tａnα，运用二倍角公式化简,cｏs2θ，求出tanα的值，再求α的值.解答：解：由三角函数的定义可知tanα==＝4cos２θ﹣2=﹣１由于α是钝角,所以α=故选D.点评:本题考察任意角的三角函数的定义，同角三角函数间的基本关系,考察计算能力,是基础题．1４、已知角α的终边与角β的终边关于直线ｙ＝﹣x对称,则ｓｉnα=()ﻩA、﹣sｉnβ B、﹣cｏｓβﻩC、sinβﻩﻩD、cosβ考点：终边相同的角。专题：计算题;转化思想。分析:由已知中角α的终边与角β的终边关于直线y=﹣x对称,根据对称的性质，我们可得角α的终边与角﹣β的终边重合,即角α与角﹣β的各三角函数值均相等，由诱导公式,易得到答案．解答：解:∵角α的终边与角β的终边关于直线y＝﹣x对称则角α的终边与角﹣β的终边重合∴sinα=ｓin（﹣β)=﹣cｏsβ故选Ｂ点评:本题考察的知识点是终边相同的角，角终边的对称变换，诱导公式,其中根据角α的终边与角β的终边关于直线y＝﹣x对称,得到角α的终边与角﹣β的终边重合，是解答本题的关键．１5、已知角α的终边上一点的坐标为（)，角α的最小正值为()ﻩＡ、 ﻩB、 Ｃ、ﻩﻩD、考点:终边相同的角。专题:计算题。分析:将点的坐标化简,据点的坐标的符号判断出点所在的象限,运用三角函数的定义求出角α的正弦,求出角α的最小正值解答：解:=∴角α的终边在第四象限∵到原点的距离为1∴∴α的最小正值为故选Ｄ点评：已知一个角的终边上的一个点求角的三角函数值,应当运用三角函数的定义来解决.16、给定集合Ｍ={,k∈Z}，N＝{x|coｓ2x=0}，P={ａ|ｓiｎ2ａ=1}，则下列关系式中，成立的是()ﻩＡ、P⊂Ｎ⊂Mﻩ B、P=Ｎ⊂M C、P⊂N=Ｍ D、P＝Ｎ=M考点：终边相同的角;集合的包含关系判断及应用。专题:计算题。分析：通过解三角方程化简集合M，N；通过对k的讨论化简集合M,根据集合间的包含关系得到选项．解答：解：N＝{x｜ｃｏs2x=0}＝{x｜,P={ａ｜sin２a=1}＝{a|a＝又∵Ｍ＝{=∴p⊂Ｎ⊂M故选A点评：求三角方程的解时，一般结合三角函数的图象;判断角的集合间的包含关系时,应当先将各个集合的形式化为相同的．二、填空题(共9小题)17、若﹣90°＜α＜β<９0°，则α﹣β的范围是（﹣180°，０°）.考点:任意角的概念。专题：计算题。分析:先求﹣β的取值范围，直接运用不等式的性质求α﹣β的取值范围,.解答:解:∵α<β，∴α﹣β<０°①;∵﹣90°<α<90°，﹣90°＜β<9０°,∴﹣90°＜﹣β＜９0°,∴﹣18０°<α﹣β<180°②;由①②可得，﹣１８0°＜α﹣β＜0，故答案为：（﹣180°，0）.点评：本题考察了不等式的基本性质，注意同向不等式可以相加,但不能相减.18、时钟三点半时，时针与分针所成最小正角的弧度数是：.考点:任意角的概念。专题：计算题。分析：如图所示:时钟三点半时,时针在3与４的正中间位置Ａ,分针在6(B)处,故有∠ＡOB＝﹣.解答：解：如图所示：时钟三点半时，时针在３与4的正中间位置A，分针在6(B)处，∴∠AOB=﹣=．故答案为:．点评：本题重要考察任意角的定义，角的弧度数的求法,体现了数形结合的数学思想．19、已知α，β都是锐角，sinα=，cｏｓ（α+β）=，则ｓiｎβ的值等于.考点:同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数。专题：计算题。分析：由α,β都是锐角,得出α+β的范围，由ｓinα和cos（α+β）的值，运用同角三角函数间的基本关系分别求出coｓα和sin（α+β）的值，然后把所求式子的角β变为(α+β)﹣α,运用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即即可求出值．解答:解：∵α,β都是锐角,∴α+β∈（0,π),又sinα=，cos（α+β)=,∴cosα＝，ｓiｎ(α+β)＝，则ｓiｎβ=ｓｉn[(α+β)﹣α]=sin(α＋β）cosα﹣cos（α＋β)siｎα=×﹣×=．故答案为:点评：此题考察了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式,纯熟掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围．20、已知点P(sinα﹣coｓα,tanα)在第一象限，且α∈[0,2π],则α的取值范围是

＜α<或π<α＜.考点:三角函数值的符号。专题：计算题。分析：由第一象限点的坐标的符号列出三角函数的不等式，根据三角函数的性质求解,结合α∈[0,2π］,求出角α的取值范围．解答：解：由已知得：sinα＞coｓα,tanα＞0∴或π+２kπ＜α<，k∈Z.当ｋ=0时，<α＜或π＜α＜.∵０≤α≤2π,∴<α<或π<α＜.故答案为：＜α<或π＜α＜点评:本题的考点是运用三角函数性质求三角函数的不等式，需要根据题意列出三角函数的不等式，再由三角函数的性质求出解集,结合已知的范围再求出交集．21、方程sｉn2x﹣２sｉnx=0的解集为{x|ｘ=kπ，ｋ∈Z}.考点：终边相同的角。专题:计算题。分析：方程即sinx（sｉnｘ﹣2）=０,由于﹣1≤ｓinx≤1，故由原方程得到ｓinx=0，可得答案．解答：解:方程ｓｉn２x﹣2sｉnx=0即sｉnx(sｉnx﹣2)=0.∵﹣1≤sｉｎx≤1，∴sinｘ=0，故x=kπ，k∈Z，故答案为{x｜x=kπ，ｋ∈Z｝．点评:本题考察一元二次方程的解法，正弦函数的有界性，终边相同的角的表达方式．运用正弦函数的有界性是解题的易错点．22、方程sinｘ=ｃoｓx在[0,2π)上的解集是．考点:终边相同的角。专题：计算题。分析：方程sｉnx＝cｏsx,即ｔaｎx=1,当x在［0，２π）上时，x=，或ｘ=．解答:解:方程ｓinx=cosx，即tanx=１，当ｘ在[０,2π)上时,x＝,或x=,故答案为:.点评：本题考察根据三角函数的值求角的方法，得到ｔａnx=1，是解题的关键.２3、α的终边与的终边关于直线y=x对称，则α＝．考点：终边相同的角。专题：计算题。分析：运用y＝x的倾斜角为，先求出应当关于ｙ=x对称的角，再终边相同的角的公式求出与的终边关于直线y=ｘ对称的角.解答：解：∵∴∴故答案为：.点评:解决终边相同的角的问题，常用终边相同的角的公式：与α的终边相同的角为2kπ+α（k∈z）２4、已知α，β角的终边关于y轴对称,则α与β的关系为α+β=π+2ｋπ，（k∈z).考点：终边相同的角;象限角、轴线角。专题:计算题。分析:由α，β角的终边关于y轴对称，得到,从而得出α与β的关系.解答:解:∵α，β角的终边关于y轴对称，∴,即α+β＝π＋2ｋπ，（k∈ｚ),故答案为：α+β=π+２kπ，(ｋ∈z).点评：本题考察终边相同的角的表达方法，α，β角的终边关于y轴对称即.25、若的终边所在直线方程为24ｘ﹣7ｙ=0．考点:终边相同的角。专题：计算题。分析:根据倍角公式和题意，先求出sｉnθ和cｏsθ的值,再拟定终边上的一点坐标,再由点斜式求出直线方程.解答:解:∵，∴sinθ==,cosθ==，∴角θ的终边所在直线上一点P的坐标是（﹣7,﹣2４）,∴所求的直线方程是y=,即24x﹣7y＝０,故答案为：2４ｘ﹣7y＝０.点评:本题考察了倍角公式的应用，三角函数的定义，以及直线方程的求法.三、解答题（共5小题）26、（1)设90°＜α<1８0°，角α的终边上一点为P(x，）,且ｃosα=x，求sinα与tanα的值；(２）已知角θ的终边上有一点Ｐ（x，﹣１)(x≠０）,且tａnθ＝﹣x,求sinθ，coｓθ．考点：任意角的概念。专题:计算题。分析：（1）由题意求点Ｐ和原点之间的距离r=,再由余弦函数的定义列出方程，求出ｘ的值,再根据角的范围拟定ｘ的值,再根据任意角的三角函数定义求出siｎα与tanα的值;（2)根据正切函数的定义，列出方程求出x的值,因x的值有两个故分两种情况,根据任意角的三角函数定义求出sinθ,ｃosθ的值.解答：解：（１)由题意知，r=,∴coｓα=，∴x=,解得x＝0或x=±．∵9０°＜α＜1８０°,∴x<0,因此ｘ=﹣．故r=2,sｉnα==,tａnα==﹣．（2）∵θ的终边过点（ｘ，﹣１)，∴tａnθ=﹣,又∵tanθ＝﹣x,∴ｘ2=1,解得x=±1．当ｘ=1时,siｎθ=﹣，cosθ=;当ｘ=﹣1时，sinθ=﹣,cosθ=﹣．点评:本题考察了任意角的三角函数定义，即由角的终边上的一点坐标表达出该角的三角函数值.2７、已知,用单位圆求证下面的不等式：（1）ｓinｘ<x＜tanx;（２）．考点：单位圆与周期性；不等式的证明。专题：作图题；证明题。分析：(1)运用单位圆中的三角函数线,通过面积关系证明ｓiｎｘ<x<tａｎx；（2）运用(1)的结论，采用放缩法,求出＝推出结果．解答:证明：（１)如图,在单位圆中,有sｉnx=MＡ，cｏsｘ=ＯM,tanx＝ＮT，连接AN,则S△ＯＡN<Ｓ扇形ＯＡＮ＜S△OＮT，设的长为l,则，∴,即MA＜ｘ＜NT,又ｓinｘ=MＡ,cosｘ=ＯM，tanx＝NT，∴sinx<x<tanx;（2）∵均为小于的正数，由(1)中的sｉｎx＜x得,，将以上２0２3道式相乘得＝