理论力学 第11章 动能定理 (PPT下载)

11.1力的功11.2质点系和刚体的动能11.3质点系动能定理11.4功率和功率方程11.5势力场势能机械能守恒定律11.6动力学普遍定理的综合应用举例

小结第11章动能定理与动力学普遍定理综合应用11.1力的功11.1.1功的一般表达式11.1.2几种常见力的功11.1.3质点系内力的功11.1.4约束力的功11.1.1

功的一般表达式11.1力的功直角坐标形式力在有限路程上的功为力在此路程上元功的定积分。

在一无限小位移中力所做的功称为元功，以表示即或11.1.2几种常见力的功1．常力的功11.1力的功2．重力的功11.1力的功质点沿轨迹由M1运动到M2，其重力在直角坐标轴上的投影为重力的功为对于质系，所有质点重力做功之和为

重力的功仅与质点运动开始和终了位置的高度差有关，而与运动轨迹无关。由此可得由质心坐标公式，有弹性力在有限路程A1A2上的功为式中分别为质点在起点及终点处弹簧的变形量。弹性力在有限路程上的功只决定于弹簧在起始及终了位置的变形量，而与质点的运动路径无关。3．弹性力的功11.1力的功或作用于定轴转动刚体上的力F的元功为于是力在有限转动中的功为11.1力的功4．定轴转动刚体上作用力的功*5．平面运动刚体上力系的功11.1力的功刚体上任意一点Mi的无限小位移可写为其中为质心的无限小位移，为Mi点绕质心C的无限小转动位移作用于点Mi

上的力Fi的元功为用于刚体上的全部力的元功为其中FR为力系的主矢，MC为力系对质心C的主矩。在有限路程上的功为11.1力的功*11.1.3质点系内力的功xzyFAFBAB系统内力

FA＝－FB这一对内力在什么情形下作功？什么情形下不作功？11.1力的功xzyFAFBBrArBA这一结果表明：当两点之间的距离发生变化时，这两点之间的内力所作之元功不等于零。

FA和FB在drA

和drB

上所作之元功11.1力的功*工程上几种内力作功的情形＊

所有发动机作为整体考察，其内力都是有功力。例如汽车内燃机工作时，气缸内膨胀的气体质点之间的内力；气体质点与活塞之间的内力；气体质点与气缸内壁间的内力；这些内力都要作功。＊机器中有相对滑动的两个零件之间的内摩擦力作负功。＊人行走和奔跑时腿的肌肉内力作功。对刚体来说，任何两质点间的距离均保持不变，所以刚体的内力所作功之和恒等于零。11.1.4约束力的功

11.1力的功约束力作功等于零的约束称为理想约束，即（1）光滑固定面和辊轴约束（2）光滑铰链或轴承约束常见的理想约束有其约束力垂直于作用点的位移，约束力不做功。约束力的方向恒与位移的方向垂直，故约束力的功为零。（3）刚性连接的约束这种约束力和刚体的内力一样，其元功之和恒等于零。（4）柔性而不可伸长的绳索约束不可伸长的绳索的约束力元功之和等于零。11.1力的功纯滚动时，静滑动摩擦力(约束力)不作功。OvOC*FFN

C*为瞬时速度中心，在这一瞬时C*点的位移为零。作用在C*点的摩擦力F所作元功为※一般情形下，两个相对滑动物体之间的摩擦力，其作用点都会发生相对位移，而且位移的方向与摩擦力的方向相反，因而，这时的摩擦力作功，且为负功。纯滚动11.2质点系和刚体的动能11.2.1质点的动能11.2.2质点系的动能11.2.3平移刚体的动能11.2.4定轴转动刚体的动能11.2.5平面运动刚体的动能11.2质点系和刚体的动能11.2.1质点的动能11.2.2质点系的动能质点的动能质点系的动能动能是度量质点或质点系整体运动效应的特征量。11.2.3平移刚体的动能平移刚体各点的速度相同，可以用质心的速度表示。平移刚体动能相当于将刚体的质量集中在质心时质点的动能。11.2质点系和刚体的动能11.2.4定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能等于刚体对于定轴的转动惯量与转动角速度平方乘积的一半。当刚体绕固定轴z转动时，其上任一点的速度为11.2质点系和刚体的动能11.2.5平面运动刚体的动能刚体作平面运动时，可视为绕通过速度瞬心并与运动平面垂直的轴的转动，动能可写为平面运动刚体的动能等于刚体跟随质心平移的动能与相对于质心平移系的转动动能之和。11.3质点系动能定理11.3.1

质点的动能定理11.3.2

质点系的动能定理11.3.1质点的动能定理11.3质点系动能定理——微分形式质点动能的微分等于作用在质点上合力的元功——积分形式质点从某一位置运动到另一位置，其动能改变量等于运动过程中作用在质点上的合力所作之功11.3.2质点系的动能定理11.3质点系动能定理质点系动能的微分等于作用在质点系上所有力的元功之和——微分形式质点系从某一位形运动到另一位形，其动能改变量等于运动过程中作用在质点系上的所有有功力所作之功的代数和

——积分形式所有有功力--既包括外力，也包括内力；既包括主动力，也包括约束力。在理想约束系统中，只包括主动力(外力和内力)。11.3质点系动能定理（1）明确分析对象，一般以整个系统为研究对象,以某物体的速度(或角速度)为变量；（2）分析系统的受力，计算力的功。注意区分主动力与约束力，在理想约束的情况下约束力不作功；（3）分析系统的运动，计算系统在任意位置的动能或在起始和终了位置的动能；（4）应用动能定理建立系统的动力学方程，而后求解；（5）对问题作进一步分析与讨论。应用动能定理解题的步骤：

【例11-1】图示均质圆轮A，B的质量均为m,半径均为R，轮A沿斜面作纯滚动，轮B作定轴转动，B处摩擦不计。物块C的质量也为m。A，B，C用轻绳相连，绳相对轮B无滑动。系统初始为静止状态。求：（1）当物块C下降高度为h时，轮A质心的速度以及轮B的角速度；（2）系统运动时，物块C的加速度。11.3质点系动能定理用动能定理的积分形式求解：选择整个系统为对象，作受力分析和运动分析：设物块C下降h时速度为vC

系统动能系统作功11.3质点系动能定理【解法1】根据动能定理：视h为变量，对两边同时对t求导注意到：有11.3质点系动能定理【解法1】用动能定理的微分形式求解系统动能取微分系统所有力的元功之和

11.3质点系动能定理【解法2】积分：求aC：11.3质点系动能定理【解法2】11.4功率和功率方程11.4.1

功率11.4.2

功率方程11.4.3机械效率11.4.1功率11.4功率和功率方程功率(power)

－力所作之功对时间的变化率力的功率等于力与其作用点速度的点积。作用在转动刚体上的力矩或力偶矩的功率等于力矩或力偶矩与刚体转动角速度的乘积。11.4.2功率方程11.4功率和功率方程质点系动能定理的微分形式等式两边同除以dt质点系动能对时间的一阶导数等于作用在系统上所有有功力的功率之代数和。——功率方程

(equationofpower)

——输入功率——有用功率，输出功率——无用功率，损耗功率11.4.3机械效率11.4功率和功率方程有效功率（=）与输入功率的比值称为机器的机械效率

【例11-2】车床的电动机功率P输入

=5.4kW。传动零件之间的摩擦损耗功率占输入功率的30%。工件的直径d=100mm，转速n=42r/min。求允许的最大切削力；若工件的转速改为n'=112r/min，允许的最大切削力为多少？11.4功率和功率方程车床的输入功率为P输入=5.4kW，损耗的无用功率当工件匀速转动时，动能不变，即设切削力为F，切削速度为v

当n=42r/min时，允许的最大切削力为当n'=112r/min时，求得允许的最大切削力为11.4功率和功率方程【解】11.5势力场势能机械能守恒定律11.5.1势力场11.5.2势能11.5.3有势力的功与势能的关系11.5.4机械能守恒定律11.5势力场势能机械能守恒定律11.5.1势力场质点在势力场内所受的力称为有势力或保守力。例如重力、弹性力及万有引力都是有势力。若质点在某空间内任一位置都受有一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，具有这种特性的空间就称为力场，例如地球表面的空间为重力场。若质点在某一力场内运动时，力场中的力对质点所做的功仅与质点起点与终点位置有关，而与质点运动的路径无关，则这种力场称为势力场或保守力场。11.5势力场势能机械能守恒定律11.5.2势能势能零点—人为选定的势能为零的位置M0，称为零势位置，又称为势能零点。

系统在某一位置M的势能，在数值上等于系统从这一位置回到势能零点M0时，其上所有保守力所作之功的总和。势能—系统在某一位置M所具有的对外作功的能力，称为系统在这一位置的势能。11.5势力场势能机械能守恒定律1.重力场中的势能：2.弹性力场中的势能：—扭转弹簧的弹性势能—线弹簧的弹性势能11.5势力场势能机械能守恒定律＊对质点系来说，“零势能位置”应理解为组成质点系的每一个质点的零势能点的集合。11.5.3有势力的功与势能的关系质系从位置1运动到位置2时，有势力的功等于质系在位置1时的势能和在位置2时的势能之差。积分得：根据有势力的定义和功的概念，可得＊若质点系受几种有势力作用时，既可以取同一位置为系统零势能位置，也可以分别选择每种势力场的零势能位置，分别计算对应的势能，其代数和为总势能。11.5势力场势能机械能守恒定律11.5.4机械能守恒定律(conservationofmechanicalenergy)对于保守系统，动能定理保守系统(conservativesystem)

：具有理想约束，且所受的主动力皆为有势力的质系称为保守系统。有势力的功与路径无关，可通过势能计算由此得：

（常量）

上式称为质系机械能守恒定律，即保守系统在运动过程中，其机械能保持不变。或质系的动能和势能可以互相转化，但总的机械能保持不变。—质系在某瞬时的动能与势能的代数和称为机械能(mechanicalenergy)

。11.5势力场势能机械能守恒定律●

动能定理建立了作用在质点系上的力所作之功与质点系动能变化之间的关系；机械能守恒所建立的是质点系的动能与势能之间的相互转化关系。●

动能定理中可以包含任何非有势力所作之功，因此，动能定理所包含的内容比机械能守恒更加广泛。可以说，机械能守恒是质点系所受之力均为有势力时的动能定理。●当系统存在摩擦力，并且摩擦力作功，这时机械能守恒不成立，只能应用动能定理；●当系统存在摩擦力，但是摩擦力不作功，这时机械能守恒成立，可以应用机械能守恒。11.6动力学普遍定理的综合应用举例动力学普遍定理动量定理动量矩动量动能定理分别建立了质系动量和动量矩与质系所受外力系的主矢和外力系的主矩之间的关系。建立了质系的动能与作用于质系上的力的功之间的关系。11.6动力学普遍定理的综合应用举例动量定理、动量矩定理和动能定理的比较●

动量定理、动量矩定理的表达式为矢量形式（常用其投影式），描述质点系整体运动时，不仅涉及有关运动量的大小，而且涉及运动量的方向。●动能定理的表达式为代数量形式，描述质点系整体运动时，不涉及运动量的方向，无论质点系如何运动，动能定理只能提供一个方程。●动量定理、动量矩定理的表达式中只包含外力，而不包含内力(内力的主矢和主矩均为零)。●

动能定理的表达式中可以包含主动力和约束力，主动力中可以是外力，也可以是内力(可变质点系)；对于理想约束，则只包含主动力。11.6动力学普遍定理的综合应用举例2、在所选择的定理表达式中，不出现相关的未知力。若选用动能定理，对于受理想约束的系统，可以不必将系统拆开，而直接对系统整体应用动能定理，建立一个代数量方程，求得速度或加速度(角速度或角加速度)。●

分析和解决复杂系统的动力学问题时，选择哪一个定理的思路是：1、所要求的运动量在所选择的定理中能不能比较容易地表达出来；●

对于由多个刚体组成的复杂系统，求解动力学问题时，若选用动量定理或动量矩定理，需要将系统拆开，不仅涉及的方程数目比较多，而且会涉及求解联立方程。

【例11-3】

在水平面内运动的行星齿轮机构如图所示。质量为m的均质曲柄AB带动均质行星齿轮II在固定齿轮I上纯滚动。齿轮II的质量为m2，半径为r2。定齿轮I的半径为r1。杆与轮铰接处的摩擦力忽略不计。当曲柄受力偶矩为M的常力偶作用时，求杆的角加速度a及轮II边缘所受切向力F。11.6动力学普遍定理的综合应用举例（1）求杆的角加速度选杆（曲柄AB

）和轮Ⅱ组成系统为对象系统具有1个自由度，取j为广义坐标。理想约束力FAx,FAy

,

FN,F不作功，仅有力偶矩M作功系统在任意位置的动能为11.6动力学普遍定理的综合应用举例【解】代入上式经整理得由动能定理的微分形式两边同时除以dt

，11.6动力学普遍定理的综合应用举例【解】

（2）求轮Ⅱ边缘所受的切向力F取轮Ⅱ为研究对象由相对质心B的动量矩定理，得因轮Ⅱ作纯滚，故代入上式且已知得11.6动力学普遍定理的综合应用举例【解】

【例11-4】三角柱体ABC质量为m1，放置于光滑水平面上。质量为m、半径为r的均质圆柱体沿斜面AB向下滚动而不滑动。若斜面倾角为q，系统初始静止。求三角柱体的加速度。11.6动力学普遍定理的综合应用举例

【分析】这是2自由度系统，圆柱相对三角柱作向下纯滚，同时三角柱沿光滑水平面向左作直线平移，三角柱与圆柱组成的系统水平方向合外力为零，故可用动能定理及水平方向动量守恒联合求解。11.6动力学普遍定理的综合应用举例圆柱与三角柱组成系统，受力分析设圆柱相对斜面向下滚动s时，其质心O相对三角柱体的速度vr。此时三角柱向左滑动的速度为v1圆柱质心O绝对速度：圆柱质心O绝对速度的水平分量：圆柱下滚s时：解得11.6动力学普遍定理的综合应用举例【解】初始动能下滚s时动能

式中代入上式，得11.