现代控制第四章

第4章

李雅普诺夫稳定性哈尔滨工业大学HarbinInstituteofTechnologyStabilityTheoryofLyapunov任课教师：杨庆俊4.1李雅普诺夫稳定性概念4.2李雅普诺夫第一法（间接法）4.3李雅普诺夫第二法（直接法）4.4线性系统的李雅谱诺夫分析本章目录第一法的不足：4.2李雅普诺夫第一法平衡状态处进行线性化，具有近似性。不能给出稳定性的范围。一个振动例子：4.3李雅普诺夫第二法如果存在能量衰减，最终会停在平衡位置，此时能量最小。弹性棒k小球m给我们的启示：4.3李雅普诺夫第二法可否根据能量函数及其变化，来判断系统的稳定性？例如用一个标量函数V(x,t)表示系统能量。表示系统能量的变化。能量大能否根据能量函数及导数的定号性，来判断系统的稳定性？4.3李雅普诺夫第二法利用系统能量函数，并通过及其导数符号来直接判断系统稳定性。不过，并非所有的系统都能找到一个能量函数，经济系统、生物系统、抽象数学系统等。构造一个正定的标量函数，用来代替能量函数，称为李雅普诺夫函数定义4.3.1正定函数：4.3李雅普诺夫第二法

V(x)有连续的偏导数；

V(x)=0；当时，。则称是正定的（正半定）。如果则称是负定的（负半定）。

是向量的标量函数，如果满足：例4.3.1判断一下函数的正定性。4.3李雅普诺夫第二法

正定负半定负定李雅普诺夫函数：4.3李雅普诺夫第二法李雅普诺夫函数比能量函数更为一般，应用也更广泛，但该函数构造并非易事。目前没有一个通用的构造方法，通常可选二次型。正定对称矩阵例如正定函数与二次型4.3李雅普诺夫第二法若标量函数正定称P正定正定函数与二次型4.3李雅普诺夫第二法P正定的判定：1）顺序主子式均大于0正定函数与二次型4.3李雅普诺夫第二法P正定的判定：2）全部特征值>0下面给出李雅普诺夫稳定性定理，每个定理前，首先给出基本思路。4.3李雅普诺夫第二法第二法稳定性定理的基本思路：4.3李雅普诺夫第二法

定理4.3.1a：4.3李雅普诺夫第二法

是正定的；是负定的。假设系统的状态方程为那么系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数并且满足条件：定理4.3.1a：4.3李雅普诺夫第二法

如果随着，有，则为大范围一致渐近稳定。

在上述条件下，即V的等值面扩展到整个状态空间条件下，能保证在全局范围例4.3.2：4.3李雅普诺夫第二法已知系统的状态方程试判断其平衡状态的稳定性。1)计算平衡态2)选择二次型函数4.3李雅普诺夫第二法3)计算导数负定正定4)结论系统大范围一致渐近稳定例4.3.3：4.3李雅普诺夫第二法已知气弹簧系统的状态方程试判断其平衡状态的稳定性。1)计算平衡态2)选择二次型函数4.3李雅普诺夫第二法3)计算导数负定正定4)结论系统大范围一致渐近稳定另一种情况：4.3李雅普诺夫第二法

定理4.3.1b：4.3李雅普诺夫第二法

是正定的；

是负半定的；对任意和任意的，在时不恒等于零。对于系统那么原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数并且满足条件：例4.3.4：4.3李雅普诺夫第二法已知系统的状态方程试用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。1)平衡点2)正定函数3)求导半负定图解：4.3李雅普诺夫第二法一致渐近稳定初值(0.1,1)李雅普诺夫意义下稳定：4.3李雅普诺夫第二法

定理4.3.3：4.3李雅普诺夫第二法

是正定的；

是负半定的；

某点起恒为0。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数并且满足条件：对于系统那么原点处的平衡状态是一致稳定的，但不是渐近稳定。李雅普诺夫意义下稳定，但非渐近稳定！4.3李雅普诺夫第二法

平衡点附近等幅震荡例4.3.5：4.3李雅普诺夫第二法已知系统的状态方程试判断其平衡状态的稳定性。1)平衡点2)V(x,t)4.3李雅普诺夫第二法3)求导4)判定大范围一致稳定不渐近！定理4.3.4：4.3李雅普诺夫第二法

在原点的某一邻域内是正定的；在同样的邻域中也是正定的。或者半正定，但不恒为0。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数并且满足条件：对于系统那么原点处的平衡状态是不稳定的。不稳定：4.3李雅普诺夫第二法

例4.3.6：4.3李雅普诺夫第二法已知系统的状态方程试用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。1)平衡点2)正定函数3)求导半正定4.3李雅普诺夫第二法初值(0.001，0)不稳定！例4.3.7：4.3李雅普诺夫第二法已知系统的状态方程试判断其平衡状态的稳定性。1)计算平衡态2)选择二次型函数4.3李雅普诺夫第二法3)计算导数正定正定4)结论系统不稳定关于第二法几点说明：4.3李雅普诺夫第二法李雅普诺夫函数选取不唯一。充分性。不仅对线性系统，而且对非线性系统，也能提供大范围稳定性的信息。对于某特定系统，如果未找到一个合适的李氏函数证明系统稳定、渐近稳定或不稳定，就不能给出任何稳定性信息。如果系统的原点是稳定的或渐近稳定的，那么具有所要求性质的李雅普诺夫函数一定存在。4.4线性系统的李雅普诺夫分析4.4线性系统的李雅普诺夫分析线性连续系统稳定的充要条件：对给定正定实对称阵Q，存在正定实对称阵P满足：此时证：负定4.4线性系统的李雅普诺夫分析李雅普诺夫方程Q可取为对角阵，甚至单位阵，以简化计算。P中含有个未知数列个方程4.4线性系统的李雅普诺夫分析例4.4.1：解：4.4线性系统的李雅普诺夫分析P正定系统稳定4.4线性系统的李雅普诺夫分析Matlab求解P=lyap(AT,Q)4.4线性系统的李雅普诺夫分析线性非定常：4.4线性系统的李雅普诺夫分析线性离散：正定，负定，则稳定。4.4线性系统的李雅普诺夫分析线性时变离散：形式相同，但求解大为复杂。4.4线性系统的李雅普诺夫分析线性系统的参数优化：不考虑终值，不考虑功耗，时间拉长至无穷，则退化为：