浙江专用2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何85直线平面垂直的判定与性质课件

§8.5直线、平面垂直的判定与性质基础知识自主学习课时训练题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习_______________________

文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条

直线都垂直，则该直线与此平面垂直

a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b1.直线与平面垂直(1)定义如果直线l与平面α内的

直线都垂直，则直线l与平面α垂直.(2)判定定理与性质定理知识梳理任意一条⇒l⊥α相交性质定理垂直于同一个平面的两条直线____

a⊥αb⊥α⇒a∥b平行__________2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和

所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是

，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是

的角.它在平面上的射影直角0°3.平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的

所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作

的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是

，就说这两个平面互相垂直.两个半平面垂直于棱直二面角

文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的_____，则这两个平面垂直

性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于

的直线与另一个平面垂直

(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理

垂线交线重要结论：(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直.知识拓展判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(

)(2)垂直于同一个平面的两平面平行.(

)(3)直线a⊥α，直线b⊥α，则a∥b.(

)(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.(

)(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直.(

)思考辨析××√×√

考点自测1.(教材改编)下列命题中不正确的是A.如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ答案解析根据面面垂直的性质，知A不正确，直线l可能平行平面β，也可能在平面β内.

2.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.答案解析

3.(2016·宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.其中为真命题的是A.①② B.②③ C.②④ D.①④答案解析①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD.④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.4.(教材改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的_____心.外答案解析如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心.(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的___心.垂答案解析如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高.同理可证BD，AH为△ABC底边上的高，即O为△ABC的垂心.题型分类深度剖析题型一直线与平面垂直的判定与性质例1

(2016·全国甲卷改编)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝

EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.OD′＝证明：D′H⊥平面ABCD.证明由已知得AC⊥BD，AD＝CD.因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.所以OH＝1，D′H＝DH＝3.于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF⊂平面ABCD，所以D′H⊥平面ABCD.证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.思维升华跟踪训练1

(2016·嵊州市高三质检)在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，DB＝DC＝4，∠BDC＝90°，P在线段BC上，CP＝3PB，M，N分别为AD，BD的中点.求证：BC⊥平面MNP.证明因为MN是△ABD的中位线，所以MN∥AB.又AB⊥平面BCD，所以MN⊥平面BCD，又因为BC⊂平面BCD，所以MN⊥BC. ①取BC的中点Q，连接DQ，则DQ⊥BC.由PN是△BDQ的中位线知PN∥DQ，所以PN⊥BC. ②由①②可得BC⊥平面MNP.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2

如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点.(1)求证：CE∥平面PAD；证明方法一取PA的中点H，连接EH，DH.又E为PB的中点，所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD.所以CE∥平面PAD.方法二连接CF.因为F为AB的中点，又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形.因此CF∥AD，又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CF∥平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.证明因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA.又因为AB⊥PA，所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.又因为EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG.所以AB⊥平面EFG.又因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.引申探究1.在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面PAC.证明因为AB⊥PA，AB⊥AC，且PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以AB⊥平面PAC.又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，所以MN⊥平面PAC.又MN⊂平面EMN，所以平面EMN⊥平面PAC.2.在本例条件下，证明：平面EFG∥平面PAC.证明因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，所以EF∥PA，FG∥AC，又EF⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以EF∥平面PAC.同理，FG∥平面PAC.又EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面PAC.(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.思维升华跟踪训练2

(2016·江苏)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；由已知，DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，又∵DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，∴DE∥平面A1C1F.证明(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，A1B1⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，A1F⊂平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D⊂平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.题型三求空间角命题点1求两条异面直线所成的角和二面角例3

如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点.(1)求直线EF和直线AB1所成的角的大小；解答在正方体ABCD—A1B1C1D1中，因为E，F分别是AD，AA1的中点，所以EF∥A1D.因为AD∥B1C1，AD＝B1C1，所以四边形ADC1B1为平行四边形.所以AB1∥DC1.所以∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角.因为△A1DC1是等边三角形，所以∠A1DC1＝60°，即直线AB1和EF所成的角是60°.(2)求二面角D—A1C1—D1的正切值.解答在正方体ABCD—A1B1C1D1中，连接B1D1交A1C1于点M，连接DM，则D1M⊥A1C1.又DD1⊥平面A1C1，所以DD1⊥A1C1，且D1M∩DD1＝D1，所以A1C1⊥平面DD1M，又DM⊂平面DD1M，所以DM⊥A1C1.故∠DMD1为二面角D—A1C1—D1的平面角，命题点2求直线和平面所成的角例4

(2016·温州一模)如图，在三棱锥D—ABC中，DA＝DB＝DC，点D在底面ABC上的射影为点E，AB⊥BC，DF⊥AB于点F.(1)求证：平面ABD⊥平面DEF；证明如图，由题意知DE⊥平面ABC，所以AB⊥DE，又AB⊥DF，DE∩DF＝D，所以AB⊥平面DEF，又AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面DEF.(2)若AD⊥DC，AC＝4，∠BAC＝60°，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值.解答由DA＝DB＝DC，知EA＝EB＝EC，E为AC的中点，所以E是△ABC的外心.过点E作EH⊥DF于点H，则由(1)知EH⊥平面DAB，所以∠EBH即为BE与平面DAB所成的角.求空间角的策略(1)利用定义将空间角转化为两条相交直线所成的角，然后在三角形中计算.(2)要遵循求角的四个步骤：作、指、算、答；注意不要忽略角的范围.思维升华跟踪训练3在如图所示的多面体ABCDE中，已知AB∥DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB＝2，BC＝

F是CD的中点.(1)求证：AF∥平面BCE；证明如图所示，取CE的中点为M，连接BM，MF，因为F为CD的中点，所以四边形ABMF为平行四边形.所以BM∥AF.因为BM⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，所以AF∥平面BCE.(2)求直线CE与平面ABED所成角的余弦值.解答因为△ACD是正三角形，所以AC＝AD＝CD＝2.所以AB2＋AC2＝BC2，故AB⊥AC.又AB⊥AD，AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD.如图所示，取AD的中点H，连接CH，EH，则AB⊥CH.又AC＝CD，所以CH⊥AD.又AB∩AD＝A，所以CH⊥平面ABED，所以∠CEH是直线CE与平面ABED所成的角.典例

(14分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点.求证：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.立体几何证明问题中的转化思想思想与方法系列19规范解答思想方法指导(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.返回证明(1)如图所示，连接NK.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD. [2分]∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四边形DD1KN为平行四边形， [4分]∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，∴四边形AA1KN为平行四边形，∴AN∥A1K. [6分]∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，∴AN∥平面A1MK. [8分](2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM＝C1K，∴四边形BC1KM为平行四边形，∴MK∥BC1. [10分]在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C. [12分]∴MK⊥B1C.∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵MK⊂平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK. [14分]返回课时训练1.(2016·嘉兴期末)设α，β是两个不同的平面，m是直线，且m⊂α，则“m⊥β”是“α⊥β”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√答案解析若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；反之，若α⊥β，m⊂α，则m与β的位置关系不确定，所以“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故选A.123456789101112132.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是A.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB.若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥nC.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β√答案解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中，m与n可平行、可异面；C中，若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误.故选D.123456789101112133.(2016·芜湖模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在A.直线AB上 B.直线BC上C.直线AC上 D.△ABC内部由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上.答案解析√123456789101112134.(2016·包头模拟)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是A.CC1与B1E是异面直线B.AC⊥平面ABB1A1C.AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1D.A1C1∥平面AB1E答案解析√12345678910111213A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故AC不可能垂直平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，易得AE⊥BC,而B1C1∥BC，所以AE⊥B1C1；D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确，故选C.123456789101112135.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是A.①②④ B.①②③C.②③④ D.①③④答案解析√12345678910111213由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，由②知③正确；由①知④错.故选B.123456789101112136.已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AC1与底面ABC所成角的余弦值等于√答案解析12345678910111213设三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长为a，A1在底面ABC内的射影为O.由题意得四面体A1—ABC为四面体，所以∠A1AC＝60°，∠AA1C1＝120°.12345678910111213123456789101112137.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有____________；与AP垂直的直线有____.∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴与AP垂直的直线是AB.AB、BC、ACAB答案解析123456789101112138.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________.答案解析12345678910111213设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，12345678910111213在Rt△DB1E中，123456789101112139.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________.答案解析①②③12345678910111213由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正确.1234567891011121310.(2016·保定模拟)在直二面角α－MN－β中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊂α，一直角边AC⊂β，BC与β所成角的正弦值为

则AB与β所成的角是________.答案解析12345678910111213如图所示，作BH⊥MN于点H，连接AH，则BH⊥β，∠BCH为BC与β所成的角.∴AB与β所成的角为∠BAH.1234567891011121311.(2016·四川)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝解答(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；12345678910111213取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点，理由如下：连接BM，CM.所以BC∥AM，且BC＝AM，所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB.又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB.所以CM∥平面PAB.(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)12345678910111213证明(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.12345678910111213由已知，PA⊥AB，PA⊥CD.所以直线AB与CD相交，因为AB⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD，又因为BD⊂平面ABCD