流体流动方程

一、基本概念二、连续性方程三、能量衡算方程四、柏努利方程式的应用第二节流体在管内的流动一、基本概念1、流量与流速1）流量2）流速

单位时间内流体在流动方向上流过的距离，称为流速u。单位为：m/s。数学表达式为：

单位时间内流过管道任一截面的流体量，称为流量。

若流量用体积来计量，称为体积流量VS；单位为：m3/s。

若流量用质量来计量，称为质量流量WS；单位：kg/s。

体积流量和质量流量的关系是：流量与流速的关系为：

质量流速：单位时间内流体流过管道单位面积的质量流量用G表示，单位为kg/(m2.s)。

数学表达式为：对于圆形管道，——管道直径的计算式生产实际中，管道直径应如何确定？(气体采用更为方便)流量VS一般由生产任务决定。流速选择：↑→d↓→设备费用↓

流动阻力↑→动力消耗↑

→操作费↑均衡考虑uu适宜费用总费用设备费操作费合理的流速应根据经济权衡决定，一般液体流速为0.5～3m/s。气体为10～30m/s。某些流体在管道中的常用流速范围，可参阅有关手册。圆管中有常温下的水流动,管内径d=100mm,测得其中的质量流量为15.7kg/s,其体积流量为().平均流速为()。

0.0157m3/s2.0m/s2.定态流动与非定态流动流动系统定态流动流动系统中流体的流速、压强、密度等有关物理量仅随位置而改变，而不随时间而改变非定态流动上述物理量不仅随位置而且随时间变化的流动。

化工生产中多属连续定态流动过程。下文中除特别说明外，流体流动皆属定态流动

例以内径105mm的钢管输送压力为2atm、温度为120℃的空气。已知空气在标准状态下的体积流量为630m3/h，试求此空气在管内的流速和质量流速。解:依题意空气在标准状态下的流量应换算为操作状态下的流量。因压力不高，可应用理想气体状态方程计算如下：取空气的平均分子量为Mm=28.9，则实际操作状态下空气的密度为

平均流速依式（1-17），得质量流速在稳定流动系统中，对直径不同的管段做物料衡算衡算范围：取管内壁截面1-1’与截面2-2’间的管段。流体充满管道且连续地由1-1’截面流入，经2-2’截面流出：衡算基准：1s对于连续稳定系统：

二、连续性方程如果把这一关系推广到管路系统的任一截面，有：若流体为不可压缩流体

（ρ恒定）——一维稳定流动的连续性方程

流体流经各截面得质量流量不变，流速随A、ρ而变对于圆形管道，表明：当体积流量VS一定时，管内流体的流速与管道直径的平方成反比。

由此可知，在连续稳定的不可压缩流体的流动中，流体流速与管道的截面积成反比。截面积愈大之处流速愈小，反之亦然。有一段由大管和小管串联的管路，管内液体作连续稳定流动。大管内径为d，而小管内径为d/2，大管内流速为u，则小管内液体的流速为()。

4u三、能量衡算方程式

1）流体本身具有的能量物质内部能量的总和称为内能。(分子平动能，转动能，振动能)

单位质量流体的内能以U表示，单位J/kg。①内能：流体因处于重力场内而具有的能量。②位能：1流动系统的总能量衡算

质量为m流体的位能单位质量流体的位能

流体以一定的流速流动而具有的能量。

③动能：质量为m，流速为u的流体所具有的动能单位质量流体所具有的动能④静压能（流动功）

流动的流体内部任何位置都具有一定的静压强。通过一截面的流体必定要带有与克服该处静压强所需的功相当的能量才能进入系统，流体所具有的这种能量就称为静压能或流动功。流体在截面处所具有的压力流体通过截面所走的距离为

流体通过截面的静压能单位质量流体所具有的静压能

单位质量流体本身所具有的总能量为：

单位质量流体通过划定体积的过程中所吸的热为：Qe(J/kg)；

质量为m的流体所吸的热=mQe[J]。

当流体吸热时Qe为正，流体放热时Qe为负。①热：2）系统与外界交换的能量单位质量通过划定体积的过程中接受的功为：We(J/kg)

质量为m的流体所接受的功=mWe(J)②外功：流体接受外功时，We为正，向外界做功时,We为负。

流体本身所具有能量和热、功就是流动系统的总能量。3）总能量衡算图衡算范围：截面1-1’和截面2-2’间的管道和设备。衡算基准：1kg流体。设1-1’截面的流体流速为u1，压强为P1，截面积A1，比容ν1；

截面2-2’的流体流速为u2，压强为P2，截面积A2，比容v2。取o-o’为基准水平面，截面1-1’和截面2-2’中心与基准水平面的距离为Z1，Z2。对于定态流动系统：∑输入能量=∑输出能量Σ输入能量Σ输出能量——稳定流动过程的总能量衡算式（流动系统的热力学第一定律）

2、流动系统的机械能衡算式——柏努利方程以上能量形式可分为两类：

机械能：位能、动能、静压能及外功，可用于输送流体；内能与热：不能直接转变为输送流体的能量。根据热力学第一定律：流体与环境所交换的热阻力损失1）流动系统的机械能衡算式代入上式得：——流体稳定流动过程中的机械能衡算式2）柏努利方程（Bernalli）或：代入机械能衡算式：对于理想流体：，当没有外功加入时We=0——柏努利方程

当流体不可压缩时，3、柏努利方程式的讨论2）当体系无外功，且处于静止状态时流体的静力平衡是流体流动状态的一个特例1）柏努利方程式表明理想流体在管内做稳定流动，没有外功加入时，任意截面上单位质量流体的总机械能即动能、位能、静压能之和为一常数，用E表示。即：1kg理想流体在各截面上的总机械能相等，但各种形式的机械能却不一定相等，可以相互转换。柏努利方程的物理意义可以从题图中得到说明，若忽略A，B间的阻力损失，试判断B玻璃管水面所处的刻度。（a）3）式中各项的物理意义处于某个截面上的流体本身所具有的能量流体流动过程中所获得或消耗的能量We和Σhf：We：输送设备对单位质量流体所做的有效功，

Ne：单位时间输送设备对流体所做的有效功，即功率轴功率：流体输送机械实际消耗的功率应为

式中N——流体输送机械的轴功率，W；η——流体输送机械的效率。4）柏努利方程的不同形式[m]

位压头，动压头，静压头、

压头损失

He：输送设备对流体所提供的有效压头

a)若以单位重量的流体为衡算基准(1/mg=1/G)[m]b)以单位体积流体为衡算基准(ρ/m=1/v)静压强项P可以用绝对压强值代入，也可以用表压强值代入[pa]5）对于可压缩流体的流动，当所取系统两截面之间的绝对压强变化小于原来压强的20%，仍可使用柏努利方程。式中流体密度应以两截面之间流体的平均密度ρm代替。四、柏努利方程的应用计算：1)管路流量2)设备间的相对位置3)流体截面的压强4)输送设备的功率（有效功率Ne=WeWs，轴功率N=Ne/η，η：泵效率）1）作图并确定衡算范围

根据题意画出流动系统的示意图，并指明流体的流动方向，定出上下截面，以明确流动系统的衡标范围。1、应用柏努利方程的注意事项2）截面的截取

两截面都应与流动方向垂直，并且两截面的流体必须是连续的，所求得未知量应在两截面或两截面之间，截面的有关物理量Z、u、p等除了所求的物理量之外，都必须是已知的或者可以通过其它关系式计算出来。3）基准水平面的选取基准水平面的位置可以任意选取，但必须与地面平行，为了计算方便，通常取基准水平面通过衡算范围的两个截面中位置较低的一个截面。如衡算范围为水平管道，则基准水平面通过管道中心线，ΔZ=0。5)贮槽截面流速视为零.4）单位必须一致

在应用柏努利方程之前，应把有关的物理量换算成一致的单位，然后进行计算。两截面的压强除要求单位一致外，还要求表示方法一致。例：20℃的空气在直径为800mm的水平管流过，现于管路中接一文丘里管，如本题附图所示，文丘里管的上游接一水银U管压差计，在直径为20mm的喉径处接一细管，其下部插入水槽中。空气流入文丘里管的能量损失可忽略不计，当U管压差计读数R=25mm，h=0.5m时，试求此时空气的流量为多少m3/h?

当地大气压强为101.33×103Pa。2、柏努利方程的应用1）确定流体的流量分析：求流量Vh已知d求u直管任取一截面柏努利方程气体判断能否应用？解：取测压处及喉颈分别为截面1-1’和截面2-2’截面2-2’处压强为：流经截面1-1’与2-2’的压强变化为：截面1-1’处压强：在截面1-1’和2-2’之间列柏努利方程式。以管道中心线作基准水平面。由于两截面无外功加入，We=0。

能量损失可忽略不计Σhf=0。

柏努利方程式可写为：

式中：Z1=Z2=0

P1=3335Pa（表压），P2=-4905Pa（表压）化简得：由连续性方程有：联立(a)、(b)两式2）确定容器间的相对位置例：如本题附图所示，密度为850kg/m3的料液从高位槽送入塔中，高位槽中的液面维持恒定，塔内表压强为9.81×103Pa，进料量为5m3/h，连接管直径为φ38×2.5mm，料液在连接管内流动时的能量损失为30J/kg，试求高位槽内液面应比塔内的进料口高出多少？分析：解：

取高位槽液面为截面1-1’，连接管出口内侧为截面2-2’,并以截面2-2’的中心线为基准水平面，在两截面间列柏努利方程式：高位槽、管道出口两截面u、p已知求△Z柏努利方程式中：Z2=0；Z1=?

P1=0(表压)；P2=9.81×103Pa(表压）We=0，u1≈0将上列数值代入柏努利方程式，并整理得：3）确定输送设备的有效功率

例：如图所示，用泵将河水打入洗涤塔中，喷淋下来后流入下水道，已知道管道内径均为0.1m，流量为84.82m3/h，水在塔前管路中流动的总摩擦损失为10J/kg，喷头处的压强较塔内压强高0.02MPa，水从塔中流到下水道的阻力损失可忽略不计，泵的效率为65%，求泵所需功率。分析：求NeNe=WeWs/η求We柏努利方程P2=?塔内压强整体流动非连续截面的选取？

解：取塔内水面为截面3-3’，下水道截面为截面4-4’，取地平面为基准水平面，在3-3’和4-4’间列柏努利方程：将已知数据代入柏努利方程式得：计算塔前管路，取河水表面为1-1’截面，喷头内侧为2-2’截面，在1-1’和2-2’截面间列柏努利方程。式中：将已知数据代入柏努利方程式泵的功率：4)管道内流体的内压强及压强计的指示例1：如图，一管路由两部分组成，一部分管内径为40mm，另一部分管内径为80mm，流体为水。在管路中的流量为13.57m3/h，两部分管上均有一测压点，测压管之间连一个倒U型管压差计，其间充以一定量的空气。若两测压点所在截面间的摩擦损失为260mm水柱。求倒U型管压差计中水柱的高度R为多少为mm?分析：求R1、2两点间的压强差柏努利方程式u已知解：取两测压点处分别为截面1-1’和截面2-2’，管道中心线为基准水平面。在截面1-1’和截面2-2’间列单位重量流体的柏努利方程。式中：z1=0，z2=0代入柏努利方程式：因倒U型管中为空气，若不计空气质量，P3=P4=P

例2：水在本题附图所示的虹吸管内作定态流动，管路直径没有变化，水流经管路的能量损失可